)(^2)»/(X)在册,花所在区间上是增长。
当/(X2),/(X)在XvX2所在区间上是减少。
2、函数奇偶性
立义:
设函数y=f(x)zk义区间D关于坐标原点对称(即若x^D,则有一xeP)
(1)偶函数/(x)——VxgD・恒有f(-x)=/(x)o
⑵奇函数/⑴一一VxgD,恒有f(-x)=-f(x)o
三、基本初等函数
1、常数函数:
y=c,泄义域是(-s,+s),图形是一条平行于x轴直线。
2、幕函数:
y=x\("是常数)©它立义域随着“不同而不同。
图形过原点。
3、指数函数
定义:
y=f(x)=ax,(d是常数且a>0,“Hl).图形过(0,1)点。
4、对数函数
定义:
y=/(x)=log,x,(d是常数且a>0,oHl)。
图形过(1,0)点。
5、三角函数
(1)正弦函数:
y=sinx
T=2兀,£)(/)=(—8,+s),f(£))=[-1,1]o
⑵余弦函数:
y=cosx.
T=2兀,£>(/)=(-s,+s),/(£))=[-1,1]。
(3).正切函数:
y=tanx.
T=兀、D(f)={x\xeR,x^(2k+\)^-,keZ}./(£>)=(-oo,+s)•
(4)余切函数:
y=cotx.
T=7i>D(f)={x\xeR,x^k7r,keZ},/(£))=(-s,+s).
5、反三角函数
(1)反正弦函数:
y=arcsinx,£>(/)=[—1,1],/(D)=[-^,-]o
22
(2)反余弦函数:
y=arccosr,£>(/)=[—1,1],/(D)=[0,刃。
⑶反if切函数:
y=arctaiw,£)(/)=(-8,+s),/(£>)=(-^,―)«
22
(4)反余切函数:
y=arccotr,£>(/)=(-s,+s),/(£))=(0,龙)。
极限
一、求极限办法
1、代入法
代入法重要是运用了“初等函数在某点极限.等于该点函数值/因而遇到大某些简朴
题目时候,可以直接代入进行极限求解。
2、老式求极限办法
(1)运用极限四则运算法则求极限。
(2)运用等价无穷小量代换求极限。
(3)运用两个重要极限求极限。
(4)运用罗比达法则就极限。
二、函数极限四则运算法则
设limu=limv=B»贝U
x—
(1)liin(M±v)=liinz/±limv=A±B
a—>2.v—
(2)lim(w・v)=limu-limv=AB・
XT/I.r—>2xT/i
推论
(a)lim(Cv)=Climv,(C为常数)。
.v—>2
limuA
(3)==(BhO).
3vliinvB
KT久
(4)设P(x)为多项式P(x)=%x“+吗兀心+…+陽,则limP(x)=P(x0)
XT")
(5)
设PM.Q(x)均为多项式,且0(x)HO,贝ijlimd2=空心
fQ(x)QM
三、等价无穷小
惯用等价无穷小虽代换有:
当x—>0时,sinx~x,tanx~x,arctanx〜x,arcsinx〜x,ln(l+x)~x,e'-l~x,1-cosx~^x2»
对这些等价无穷小量代换,应当更深一层地理解为:
当□TO时,sin□〜匚],别的类似。
四、两个重要极限
qin工
重要极限Ilim—=1.
5x
八、洛必达(L'Hospital)法则
“V”型和“上”型不定式,存在有limZU2==A(或8)。
0O0Fg(x)fg(x)
一元函数微分学
一、导数定义
设函数y=f(x)在点%某一邻域内有泄义,当自变量兀在心处获得增疑(点%+心仍在该邻域内)时,相应地函数y获得增量3=/(人)+心)一/(兀)。
如果当山—0时,函数增量△>,与自变量Ax增量之比极限
lim—=liin竺±亠2二2如=广&)注意两个符号心和心在题目中也许换成其'TOAvatozkr
她符号表达。
二、求导公式
1、基本初等函数导数公式
(1)(cy=o(C为常数)
(2){xay=oxa^(a为任意常数)
(3)(axy=ax\na(«>0,«^l)特殊状况(ex)f=ex
(4)(logax\=—log"e=—!
—(x>0,6/>0,aH1),(Inx)f=—
xxlnax
(5)(sinx)'=cosx
(6)(cosx)"=-sinx
(7)(tanx)=—
cos°x
1
(8)(cotx)=一s—
sin。
x
(9)(arcsinx)=((-1(x
(1)
Jl—F
I
(10)(arccosx)=_’(_l〈x〈l)
Jl-x,
(11)(arctanx)=
l+Q
1
<12)(t/rccotx)=一y
l+Q
2、导数四则运算公式
(1)[u(x)±V(X)Y=u'(x)±v\x)
(2)[u(x)v(x)]f=u(x)v(x)+u(x)vf(x)
(3)[ku],=ku,(比为常数)
9
([)凹]_“3咻)T心)畑
|_而_|
3、复合函数求导公式:
设y=f(u),//=(p(x),且f(u)及0(x)都可导,则复合函数>'=fl(pM]导数为g=g•半=f(“).0(x)。
三、导数应用
1、函数单调性
/(x)>0则/(x)在(ab)内严格单调增长。
/W<0则/(x)在(“")内严格单调减少。
2、函数极值
/(x)=0点一一函数/(兀)驻点。
设为卞
(1)若x0:
x>x0时,/(%)<0,则/(兀))为/(X)极大值点。
(2)若xx>x0时,/(x)>0,则/(儿))为/(兀)极小值点。
(3)如果/(%)在心两侧符号相似,那么/(心)不是极值点。
3、曲线凹凸性
厂匕)>0,则曲线y=/(x)在(a,〃)内是凹。
/(x)<0,则曲线y=/(x)在(a")内是凸。
4、曲线拐点
(1)当/"(X)在心左、右两侧异号时,点(x0,/(x0))为曲线y=f(x)拐点,此时八忑)=0.
(2)当f\x)在心左、右两侧同号时,点(心,/(心))不为曲线y=f(x)拐点。
5、函数最大值与最小值
极值和端点函数值中最大和最小就是最大值和最小值。
四、微分公式
dy=f\x)dx.求微分就是求导数。
一元函数积分学
一、不定积分
1、泄义,不左积分是求导逆运算,最后成果是函数+C表达形式。
公式可以用求导公式来记
忆。
2、不左积分性质
2、基本积分公式(规泄纯熟记忆)
(8)
f——_dx=tanx+C.
Jcos'x
f—\—lx=-cotx+C.
Jsin2x
(10)f/1dx=arcsinx+C.
J
3.第一类换元积分法
对不怎微分Jg(x\lx,将被积表达式g(x)dx凑成g(x)dx=f[(p(x)](p\x)dx=f(p(x)d(p{x),这是核心一步。
惯用凑微分公式有:
f(ax+b)dx=—f{ax+b)d(cix+b)
a
f(axk+b)•xk~ldx=—f(axk+b)d(axk+h)
XXX
f(exyexdx=f(ex)d{ex)
/(Inx\—dx=/(Inx)M(lnx)x
/(sinx)-cosAzZv=/(sinA)t/(sinx)
f(cosx)・sinxdx=-f(cQsx)d(cosx)
/(tanx)5—dx=/(tanx)J(tanx)
cos°x
/(cotx)•—\—clx=-f(cotx)d(cotx)
sirrx
/(arcsinx)-.clx=/(arcsiiix)J(arcsinx)VI-x2
f(arccosx)•dx=一f(arccosx)J(arccosx)
VI-x2
纟Qdx="(In血x)|)(0(x)H0)
0(x)
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
4、分部积分法^udv=uv-^vdu
二、定积分公式
1、(牛顿一莱布尼茨公式)如果F(x)是持续函数/(x)在区间⑺"]上任意一种原函数,
s=[[/(%)-g(x)k/x.
3、计算旋转体体积
设某立体是由持续曲线y=/(x)(/(x)>0)和直线x=«,A-=b(a<“)及久轴所用平而图形绕久轴旋转一周所形成旋转体,如图所示。
则该旋转体体积V可由下式求岀:
Vx=f7tj'2(x)dx=/rff2(x)dx.
多元函数微分学
1、偏导数,对某个变量求导,把其她变量看做常数。
2、全微分公式:
dz=df(x,y)=AAx+BAy。
3、复合函数偏导数一一运用函数构造图
如果”=0(x,y)、v=y)在点(x,y)处存在持续偏导数殂
dxdydxdy
且在相应于(x,y)点(“*)处,函数z=/Gap)存在持续偏导数空,三,则复合函数dudv
z,=/[0(忑y),0gy)]在点(上刃处存在对X及y持续偏导数,且
dzdzdudz,dvdzdzdudzdv
=+,=—o
dxdudxdvdxdydudydvdy
4、隐函数导数
对于方程F(x,y)=0所拟定隐函数y=f(x),可以由下列公式求出y对x导数:
-F、(x,刃’
2、隐函数偏导数
对于由方程F(x,y,z)=0所拟定隐函数z=/(兀刃,可用下列公式求偏导数:
空=_F;(x,y,z)
&F.(a\y,z)'勿F;(x,y,z)'
5、二元函数极值
设函数Z=/Uo,儿)在点(旺,儿)某邻域内有一阶和二阶持续偏导数,且
A(^oO'o)=0,/'(x0,y0)=0又设兀(心,儿)=A,人(氐,)"=B,扎,(心九)=C,则:
(1)当B2-AC<0时,函数/(X,y)在点(勺,儿)处获得极值,且当4<0
时有极大值,当A>0时有极小值。
(2)当B2-AC>0时,函数/(X,y)在点(“,儿)处无极值。
(3)当B2-AC=0时,函数/(x,y)在点(x°,儿)处与否有极值不能拟左,要用其他办法另作讨论。
平面与直线
1.平而方程
•1)T而点;丿.:
d间直角坐标系屮,过点MoEZ。
)•觉得n={A,B,C}
向量平而方程为
A(x一兀)+B(y一儿)+C(z-zo)=O称之为平面点法式方程
(2)平而普通式方程
Ax+By+Cz+D=O称Z为平而普通式方程
2、特姝平面方程
By+Cz=0表达过原点平而方程
Ax+By+D=O表达平行于Oz.轴平而方程
你+By=0表达过Oz.轴平而方程
Cz+D=O表达平行于坐标平而xOy平面方程
3、两个平面间关系
设有平面码:
4兀+$y+C忆+0=0
&:
A2x+B2y+C2z+D2=0
平面街和禺互相垂直充分必要条件是:
A}A2+B,B2+C&2=0
平而®和心平行充分必要条件是:
企=如=£1工2
・AB.GO
厶&&*
平而街和龙2重叠冬件出A=A=S=£i
■a2b2c2d2
4、直线方程
(1)直线原则式方程过点Mog,儿,和)且平行于向量s={加,n,p}直线方棵匚乞=口1=口1称之为直线原则式方程(又称点向式方程、对称式方程)。
mnp
常称s={m,n,p}为所给F[线方向向mC
(2)直线普通式方程
和+场y+C忆+D=0称之为直线普通式方程
A2x+B2y+C2z+D2=0
5.两直线间关系
乙_
P\
x-x2
y—儿
m2
心Pi
直线/厂人丫彳必耍条件为空=乞;
m2n2
直线厶,/2互相垂直充分必要条件为叫加2+叩2+pxp2=0
6、直线/与平面兀间关系
设直线/与平而兀方程为
z>x-x0_y-y0_Z-Zo
mnp
兀:
A(x—)+B(y-儿)+C(z—5)=0
ARC
直钱/15屮必要条件为:
-=-=-
mnp
N•线/仃平而;r平行充分必要条件为:
“线/落在平而兀I:
充分必要条何为<
Am+Bn+Cp=0A“)+Bnf+Ci*+0^0
Am+Bn+Cp=0
A//?
o+Bn(i+Cp©+£)=0
将初等函数展开成幕级数
1.-I1:
vkf(x)6-U(x^)内具条任总阶导数,且
汕心,尺心倆(r严则在呱Q内
n=0
n\
称上式为f(x)在点X。
泰勒级数。
或称卜式为将/(兀)展开为JC=Xq幕级数。
2.几种惯用原则展开式
1x
1一Xn-0
8Y£n
⑤cos牙=y(-l)"-—n=0(2〃)!
常微分方程
1、一阶微分方程
(1)可分离变量微分方程
若一阶微分方程F(x,y,y‘)=0通过变形后可写成g(y)dy=f{x)dx则称方程F(x,y,y')=0为可分离变量微分方程.
2、、可分离变量微分方程解
方程g(y)dy=f(x)dx必存在隐式通解G(y)=F(x)+C。
其中:
G(y)=Jg(y)〃y,F(x)=jf(x)dx.
即两边取积分。
(2)一阶线性微分方程
1、泄义:
方程y+p(x)y=e(x)称为一阶线性微分方程.
(1)非齐次方程一一Q(x)HO;
⑵齐次方程一一y+P(x)y=O.
2、求解一阶线性微分方程
(1)先求齐次方程y'+P(x)y=O通解:
y=H-'PC为任意常数。
(2)将齐次通斛C埃成"(x)HI:
y=u(x)eiPix'dx
(3)
代入非齐次方程『+P(x)y=。
(劝,得
2、二阶线性常系数微分方程
(1)可降阶二阶微分方程
1、y"=/(x)型微分方程
例3:
求方程>,"=丄戶-sinx通解.分析:
y1=fy^dx=—e2x+cos.v+Cx:
2、y"=/(x,y')型微分方程
解法:
(1)令p=y',方程化为p‘=f(x,/?
):
(2)解此方程得通解p=©(x,G):
(3)再解方程y'=0(x,G)得原方程通解
y=^(p{x,C})dx+C2.
3、/=/(>*,/)型微分方程
解法:
(1)令p=y\并视〃为),函数,那么丫"=业=也.空=卩也,axdydxdy
⑵代入原方程,得p^-=f(y\p)
dy
(3)解此方程得通解p=®(y,CJ;
⑷再解方程y=©(”G)得原方程通解
f———=x+C‘.
例4:
求方程yy*-/2=0通解.
分析:
(1)令卩=:
/,并视"为y函数,那么〉』=吃=吐.空=p如.
dxaydxdy
(2)代入原方程,得yp^-/r=O或^=—
dypy
(3)解上方程,得hilpl=hilyl+lnC=>p=C$,(C,=±C).
(4)再解方程y'=C{y=>—=C}=>lnlyl=C$+C;.
y
(5)于是原方程通解为y=C2ec'x,(C2=±^)
(2)常系数线性微分方程
(1)、二阶常系数齐次线性方程yH+py+qy=0解.
写出特性方程并求解
r2+pr+q=0.
下面记△=“2-4。
,人,q为特性方程两个根.
(1)△=/「一4§>0时,则齐次方程通解为:
[uCy+C?
*,。
(2)△=〃2_4§=0时,则齐次方程通解为
y=C严+C2xeriX=刃(G+C2x).
(3)△=“2-4qv0时,有q=a+e、q=a_W邙丰0),则齐次方程通解为
y=严(GcosJ3x+C2sinfix).
(2)二阶常系数非齐次方程解法
方程形式:
y”+pyf+qy=f(x)解法环节:
(1)写出方程特性方程r2+pr+q=Oi
(2)求出特性方程两个根斤,勺:
(3)原方程通解如下表所示:
特性方程根
方程通解
C}er'x+C2er2X
(G+CqX)丹
r=a±ip
严(GcosPx+C2sin/?
v)(0工0)
(4)再求出非齐次方程一种特解/(X);
(5)那么原方程通解为y=CiN(x)+C2y2(x)+。