三角形初中中考压轴题带答案doc.docx

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三角形初中中考压轴题带答案doc

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中考专题-------三角形

一．选择题（共3小题）

1．如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=2AE，直角三角形FEG的两直角边EF、EG分别

交BC、DC于点M、N．若正方形ABCD的边长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为（）

A．a2B．a2C．a2D．a2

考点：

全等三角形的判定与性质；正方形的性质．

专题：

几何图形问题；压轴题．

分析：

过E作EP⊥BC于点P，EQ⊥CD于点Q，△EPM≌△EQN，利用四边形EMCN的面积等于正方形

PCQE的面积求解．

解答：

解：

过E作EP⊥BC于点P，EQ⊥CD于点Q，

∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD=90°，

又∵∠EPM=∠EQN=90°，∴∠PEQ=90°，∴∠PEM+∠MEQ=90°，

∵三角形FEG是直角三角形，∴∠NEF=∠NEQ+∠MEQ=90°，∴∠PEM=∠NEQ，

∵AC是∠BCD的角平分线，∠EPC=∠EQC=90°，∴EP=EQ，四边形PCQE是正方形，

在△EPM和△EQN中，∴△EPM≌△EQN（ASA）∴S△EQN=S△EPM，

∴四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积

∵正方形ABCD的边长为a，∴AC=a，∵EC=2AE，∴EC=a，

标准文案

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∴EP=PC=a，∴正方形PCQE的面积=a×a=a2，∴四边形EMCN的面积=a2，故选：

D．

点评：

本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的判定及性质，解题的关键是作出辅助线，证出△EPM

≌△EQN．

2．如图∠A=∠ABC=∠C=45°，E、F分别是AB、BC的中点，则下列结论，①EF⊥BD，②EF=BD，③

∠ADC=∠BEF+∠BFE，④AD=DC，其中正确的是（）

A．①②③④B．①②③C．①②④D．②③④

考点：

三角形中位线定理；全等三角形的判定与性质．

专题：

压轴题．

分析：

根据三角形的中位线定理“三角形的中位线平行于第三边”同时利用三角形的全等性质求解．

解答：

解：

如下图所示：

连接AC，延长BD交AC于点M，延长AD交BC于Q，延长CD交AB于P．

∵∠ABC=∠C=45°∴CP⊥AB∵∠ABC=∠A=45°∴AQ⊥BC

点D为两条高的交点，所以BM为AC边上的高，即：

BM⊥AC．

由中位线定理可得EF∥AC，EF=AC∴BD⊥EF，故①正确．

∵∠DBQ+∠DCA=45°，∠DCA+∠CAQ=45°，∴∠DBQ=∠CAQ，∵∠A=∠ABC，∴AQ=BQ，

∵∠BQD=∠AQC=90°，∴根据以上条件得△AQC≌△BQD，∴BD=AC∴EF=AC，故②正确．

∵∠A=∠ABC=∠C=45°∴∠DAC+∠DCA=180°﹣（∠A+∠ABC+∠C）=45°

∴∠ADC=180°﹣（∠DAC+∠DCA）=135°=∠BEF+∠BFE=180°﹣∠ABC

故③∠ADC=∠BEF+∠BFE成立；无法证明AD=CD，故④错误．故选B．

点评：

本题考点在于三角形的中位线和三角形全等的判断及应用．

标准文案

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3．四形ABCD中，AC和BD交于点E，若AC平分∠DAB，且AB=AE，AC=AD，有以下四个命：

①AC⊥BD；②BC=DE；③∠DBC=∠DAB；④AB=BE=AE．其中命一定成立的是（）

A．①②B．②③C．①③D．②④

考点：

全等三角形的判定与性；等三角形的性．

：

．

分析：

根据等腰三角形的性，等三角形的判定，内接四形的性，全等三角形的性判断各

是否正确即可．

解答：

解：

∵AB=AE，一个三角形的直角和斜一定不相等，∴AC不垂直于BD，①；

利用角定理可得△ADE≌△ABC，那么BC=DE，②正确；

由△ADE≌△ABC可得∠ADE=∠ACB，那么A，B，C，D四点共，∴∠DBC=∠DAC=∠DAB，③

正确；△ABE不一定是等三角形，那么④不一定正确；②③正确，故B．

点：

此主要考了全等三角形的性，以及直角三角形中斜最；全等三角形的相等；等

三角形的三相等．

二．填空（共6小）

4．如，将一个正三角形片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同的方法剪成四个更小

的正三角形，⋯如此下去，果如下表，an=3n+1（用含n的代数式表示）．

标准文案

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所剪次数

1

2

3

4

⋯

n

正三角形个数

4

7

10

13

⋯

an

考点：

等三角形的性．

：

；律型．

分析：

根据跟表我可以看出n代表所剪次数，an代表小正三角形的个数，也可以根据形找出律

加以求解．

解答：

解：

由可知没剪的候，有一个三角形，以后每剪一次就多出三个，所以的个数

3n+1．

故答案：

3n+1．

点：

此主要考学生的思能力以及能力．

5．如，在△ABC中，AC=BC＞AB，点P△ABC所在平面内一点，且点

P与△ABC的任意两个点构

成△PAB，△PBC，△PAC均是等腰三角形，足上述条件的所有点

P的个数

6个．

考点：

等腰三角形的判定与性．

：

．

分析：

根据段垂直平分上的点到段两端点的距离相等，作出AB的垂直平分，首先△ABC的外心

足，再根据的半径相等，以点C心，以AC半径画，AB的垂直平分相交于两点，

分以点A、B心，以AC半径画，与AB的垂直平分相交于一点，再分以点A、B

标准文案

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为圆心，以AB长为半径画圆，与⊙C相交于两点，即可得解．

解答：

解：

如图所示，作AB的垂直平分线，①△ABC的外心P1为满足条件的一个点，

②以点C为圆心，以AC长为半径画圆，P2、P3为满足条件的点，

③分别以点A、B为圆心，以AC长为半径画圆，P4为满足条件的点，

④分别以点A、B为圆心，以AB长为半径画圆，P5、P6为满足条件的点，

综上所述，满足条件的所有点P的个数为6．

故答案为：

6．

点评：

本题考查了等腰三角形的判定与性质，主要利用了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等

的性质，三角形的外心到三个顶点的距离相等，圆的半径相等的性质，作出图形更形象直观．

6．如图，△ABC是边长为1的等边三角形，取BC的中点E，作ED∥AB，EF∥AC，得到四边形EDAF，

它的面积记为S1，取BE的中点E1，作E1D1∥FB，E1F1∥EF．得到四边形E1D1FF1，它的面积记作S2，

照此规律，则S2012=．

标准文案

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考点：

等三角形的性；三角形中位定理．

：

；律型．

分析：

求出△ABC的面是，求出DE是三角形ABC的中位，根据相似三角形的性得出

==，求出S△CDE=×，S△BEF=×，求出S1=×，同理S2=×S△BEF=

××，S3=×××S4=××××，推出S2012=×××⋯××（2011个），即

可得出答案．

解答：

解：

∵BC的中点E，ED∥AB，∴EBC中点，∴DE=AB，

∵DE∥AB，∴△CDE∽△CAB，∴==（）2=，

∵△ABC的面是×1×=∴S△CDE=×，

推理=，∴S△BEF=×∴S1=××=×，

同理S2=×S△BEF=××，S3=×××S4=××××，⋯，

S2012=×××⋯××（2011个），==，故答案：

．

点：

本考了相似三角形的性和判定，等三角形的性的用，解此的关是出律，

目比好，但是有一定的度．

7．如，在正方形ABCD中，点E，F分在BC，CD上，如果AE=4，EF=3，AF=5，那么正方形

ABCDn的面等于．

考点：

勾股定理的逆定理；解分式方程；相似三角形的判定与性．

：

．

标准文案

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分析：

根据△ABE∽△ECF，可将AB与BE之间的关系式表示出来，在Rt△ABE中，根据勾股定理

AB2+BE2=AC2，可将正方形ABCD的边长AB求出，进而可将正方形ABCD的面积求出．

解答：

解：

设正方形的边长为x，BE的长为a

∵∠AEB+∠BAE=∠AEB+∠CEF=90°∴∠BAE=∠CEF∵∠B=∠C∴△ABE∽△ECF

∴=，即=解得x=4a①

在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2∴x2+a2=42②将①代入②，可得：

a=

∴正方形ABCD的面积为：

x2=16a2=．

点评：

本题是一道根据三角形相似和勾股定理来求正方形的边长结合求解的综合题．隐含了整体的数学思

想和正确运算的能力．注意后面可以直接这样x2+a2=42②，∴x2+（）2=42，x2+x2=42，

x2=16，x2=．无需算出算出x．

8．已知a，b，c是直角三角形的三条边，且a＜b＜c，斜边上的高为h，则下列说法中正确的是

②．（只填序号）

①a2b2+h4=（a2+b2+1）h2；②b4+c2h2=b2c2；③由可以构成三角形；④直角三角形

的面积的最大值是．

考点：

勾股定理的逆定理；勾股定理．

专题：

计算题；压轴题．

分析：

根据直角三角形的面积公式和勾股定理将各式化简，等式成立者即为正确答案．

解答：

解：

根据直角三角形的面积的不同算法，有ab=ch，解得h=．

①将h=代入a2b2+h4=（a2+b2+1）h2，得a2b2+（）4=（a2+b2+1）（）2，

得a2b2+（）4=（c2+1）（）2，得a2b2+（）4=a2b2+，即（）4=，

a2b2=c2，不一定成立，故本选项错误；

4

+c

2

2

=b

2

2

4

2

2

2

2

，b

4

+b

2

2

=b

2

2

4

+b

2

2

2

2

=0

，

②将h=代入b

h

c

，得b

+c（

）=b

c

a

c

，整理得b

a

﹣b

c

标准文案

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b2（b2+a2﹣c2）=0，∵b2+a2﹣c2=0，∴b2（b2+a2﹣c2）=0成立，故本选项正确；

③∵b2+a2=c2，（

）2+（

）2=a+b，（

）2=c，∴不能说明（

）2+（

）2=（

）2，

故本选项错误；

④直角三角形的面积为ab，随ab的变化而变化，所以无最大值，故本选项错误．故答案为②．

点评：

此题不仅考查了勾股定理，还考查了面积法求直角三角形的高，等式变形计算较复杂，要仔细．

9．如图，A、B、C分别是线段A1B，B1C，C1A的中点，若△ABC的面积是1，那么△A1B1C1的面积

7．

考点：

三角形的面积．

专题：

压轴题．

分析：

连接AB1，BC1，CA1，根据等底等高的三角形的面积相等求出△ABB1，△A1AB1的面积，从而求

出△A1BB1的面积，同理可求△B1CC1的面积，△A1AC1的面积，然后相加即可得解．

解答：

解：

如图，连接AB1，BC1，CA1，

∵A、B分别是线段A1B，B1C的中点，∴S△ABB1=S△ABC=1，S△A1AB1=S△ABB1=1，

∴S△A1BB1=S△A1AB1+S△ABB1=1+1=2，同理：

S△B1CC1=2，S△A1AC1=2，

∴△A1B1C1的面积=S△A1BB1+S△B1CC1+S△A1AC1+S△ABC=2+2+2+1=7．故答案为：

7．

点评：

本题考查了三角形的面积，主要利用了等底等高的三角形的面积相等，作辅助线把三角形进行分割

是解题的关键．

三．解答题（共5小题）

标准文案

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10．已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作菱形

ADEF（A、D、E、F按逆时针排列），使∠DAF=60°，连接CF．

（1）如图1，当点D在边BC上时，求证：

①BD=CF；②AC=CF+CD；

（2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立？

若不成立，

请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由；

（3）如图3，当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD

之间存在的数量关系．

考点：

全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；菱形的性质．

专题：

几何综合题；压轴题．

分析：

（1）根据已知得出AF=AD，AB=BC=AC，∠BAC=∠DAF=60°，求出∠BAD=CAF，证△BAD≌△

CAF，推出CF=BD即可；

（2）求出∠BAD=∠CAF，根据SAS证△BAD≌△CAF，推出BD=CF即可；

（3）画出图形后，根据SAS证△BAD≌△CAF，推出CF=BD即可．

解答：

（1）证明：

∵菱形AFED，∴AF=AD，∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC，∠BAC=60°=∠DAF，

∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAF﹣∠DAC，即∠BAD=∠CAF，

∵在△BAD和△CAF中，∴△BAD≌△CAF，∴CF=BD，∴CF+CD=BD+CD=BC=AC，

即①BD=CF，②AC=CF+CD．

（2）解：

AC=CF+CD不成立，AC、CF、CD之间存在的数量关系是AC=CF﹣CD，

标准文案

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理由是：

由

（1）知：

AB=AC=BC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=60°，∴∠BAC+∠DAC=∠DAF+∠DAC，

即∠BAD=∠CAF，

∵在△BAD和△CAF中，∴△BAD≌△CAF，∴BD=CF，

∴CF﹣CD=BD﹣CD=BC=AC，即AC=CF﹣CD．

（3）AC=CD﹣CF．理由是：

∵∠BAC=∠DAF=60°，∴∠DAB=∠CAF，∵在△BAD和△CAF中，

∴△BAD≌△CAF（SAS），∴CF=BD，∴CD﹣CF=CD﹣BD=BC=AC，即AC=CD﹣CF．

点评：

本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质，菱形的性质的应用，主要考查学生的推

理能力，注意：

证明过程类似，题目具有一定的代表性，难度适中．

11．如图，△ABC中AB=AC，BC=6，，点P从点B出发沿射线BA移动，同时，点Q从点C

出发沿线段AC的延长线移动，已知点P、Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D．

（1）如图①，当点P为AB的中点时，求CD的长；

（2）如图②，过点P作直线BC的垂线垂足为E，当点P、Q在移动的过程中，线段BE、DE、CD中

是否存在长度保持不变的线段？

请说明理由；

考点：

等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质．

专题：

几何综合题；压轴题；分类讨论．

分析：

（1）过点P做PF平行与AQ，由平行我们得出一对同位角和一对内错角的相等，再由AB=AC，

根据等边对等角得角B和角ACB的相等，根据等量代换的角B和角PFB的相等，根据等角对等边

标准文案

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得BP=PF，又因点P和点Q同时出发，且速度相同即BP=CQ，等量代换得PF=CQ，在加上对等

角的相等，证得三角形PFD和三角形QCD的全等，根据全等三角形的对应边边相等得出

DF=CD=CF，而又因P是AB的中点，PF∥AQ得出F是BC的中点，进而根据已知的BC的长，

求出CF，即可得出CD的长．

（2）分两种情况讨论，第一种情况点P在线段AB上，根据等腰三角形的三线合一得BE=EF，再

又第一问的全等可知DF=CD，所以ED=，得出线段DE的长为定值；第二

种情况，P在BA的延长线上，作PM平行于AC交BC的延长线于M，根据两直线平行，同位角

相等推出角PMB等于角ACB，而角ACB等于角ABC，根据等量代换得到角ABC等于角PMB，

根据等角对等边得到PM等于PB，根据三线合一，得到BE等于EM，同理可得△PMD全等于△QCD，

得到CD等于DM，根据DE等于EM减DM，把EM换为BC加CM的一半，化简后得值为定值．

解答：

解：

（1）如图，过P点作PF∥AC交BC于F，

∵点P和点Q同时出发，且速度相同，∴BP=CQ，∵PF∥AQ，∴∠PFB=∠ACB，∠DPF=∠CQD，

又∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∴∠B=∠PFB，∴BP=PF，∴PF=CQ，又∠PDF=∠QDC，

∴证得△PFD≌△QCD，∴DF=CD=CF，

又因P是AB的中点，PF∥AQ，∴F是BC的中点，即FC=BC=3，∴CD=CF=；

（2）分两种情况讨论，得ED为定值，是不变的线段

如图，如果点P在线段AB上，过点P作PF∥AC交BC于F，

∵△PBF为等腰三角形，∴PB=PF，BE=EF，∴PF=CQ，∴FD=DC，∴ED=，

∴ED为定值，

同理，如图，若P在BA的延长线上，

作PM∥AC的延长线于M，∴∠PMC=∠ACB，

又∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∴∠B=∠PMC，∴PM=PB，根据三线合一得BE=EM，

同理可得△PMD≌△QCD，所以CD=DM，

标准文案

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，

综上所述，线段ED的长度保持不变．

点评：

此题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判断与性质，考查了分类讨论的数学思想，是一道综

合题．

12．如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的

右侧作正方形ADEF．

（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，

①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为垂直，

线段CF、BD的数量关系为相等；

②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；

（2）如果AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当∠ACB满足什么条件时，CF⊥BC（点C、F不重合），并说明理由．

考点：

全等三角形的判定与性质．

专题：

压轴题；开放型．

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分析：

（1）当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．由正方形ADEF的性质可推出△DAB≌△FAC，

所以CF=BD，∠ACF=∠ABD．结合∠BAC=90°，AB=AC，得到∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°．即CF

⊥BD．

（2）当∠ACB=45°时，过点A作AG⊥AC交CB的延长线于点G，则∠GAC=90°，可推出∠ACB=

∠AGC，所以AC=AG，由

（1）①可知CF⊥BD．

解答：

证明：

（1）①正方形ADEF中，AD=AF，

∵∠BAC=∠DAF=90°，∴∠BAD=