中考数学专题4几何模型之隐圆问题含答案.docx
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中考数学专题4几何模型之隐圆问题含答案
AD=AC=ABZADB=ZACB2/ADB=ZACB
2020中考专题4——几何模型之隐圆问题
班级姓名・
【模型讲解】
常见的隐EI模型有：
（1）动点到定点的距凄为定长：
＜2）四点共圜：
（3）定边对定至（专题3）等.
ZBAC十ZBDC=I30'
【例題分析】
例1底例299M3£
例2.在矩形ABCD中，己知肋■2沏，BC-3cm,现有一根长为2c加的木棒EF索贴着矩形的边（即两个端点姑终落在矩形的边上儿按逆时针方向滑动一間.则木燈EF的中点P在运动过程中所围成的SS形的面祝为cm2.
例3.J□S,定饪弦CZ）在以肋为直径的（DO上滑动（点C.D与点人B不重含〉∙M是CD的中点，过点C作CP丄43于点”若AB=8,则PM的最大值是•
例4・如图，点/与点B的坐标分别是（1,0）,C5,0）■点P是该直您坐标系内的一个动点・
（1〉使Z*PB=3（Γ的点P有个$
（2〉若点P在y轴上，且ZAPB=3Q∙,求漓足条件的点P的坐标；
（3）当点P在y轴上移动时."PB是否存在最大值？
若存在•求点P的坐标：
若不存在•请说明理由-
【巩固训练］
1•如图1,矩形FBCD中，AB∙29ΛD∙3,点E.F分别Q、DC边上的点，且EF∙2,点G
为EF的中点•点P为BC上一动点■则PA^PG的最小值为•
2•如图2,在矩形/BCD中，AB≈4,AD≈6fE是肋边的中点■F是找段BC边上的动点，将
A£SF沿M所左直线折叠得到△ΣBtFf连⅛BfD.则FD的最小值是—・
3•在平面直角坐标系中，点/的坐标为（3,0）,点〃为＞・栢正半粧上的一点.点C是第一象Pg内一点，KXC-2.设tanZBOC≡wj则加的取«范團是・
4•如图3.往RtAABC中,ZC=90o,AC≈69BC=8,点F在边ACJl9并且CF=2,点E为
边BC上的动点，将ACEF沿直线M和折，点C落在点P处，则点P到边距蘆的最小值
是
5•如004,四边形ABCD中，DCfiAB,5C-1,AB∙AC∙AD∙2.则加的长为.
6•如图5∙在四边形ABCD中，∙4B=∕C=XZλ若ZBAC=2599ZCQ=75'•则ZBDC=_
ZDBC=•
7•定球射门.不考虑其他因素,仅考虑射点到球门肿的张介犬小时•张角越大，射门越好•如图6的正方形网格中，点A9B∙C9D9E均在格点上，球员帝球沿CQ方向进攻，最好的射点在（）
B•点D或点E
C∙线段DE（异于毘点）上一点D•线段CD（异于端点）上一点
&如GE7∙己知。
的査径，PQ是©O的弦，PQ与不平行∙R是PQ的中点•作PS丄
AB,QTLAB,垂足分别为S、T（5≠Γ）,芥且ZSΛΓ=60・，则孕的值磚于_・
AB
9.如图8.若PA=PB∙ZAPB=2Z*CB,AC与PB交于点D9且PB=4∙PD=3,则AD∙DC=
10・左平页直角坐标系中■己知点H（4,OXB（一6,0〉■点C是y箱上的一个动点.当ZBCA=
43。
时，点C的坐标为.
11,如图9,^^ABC中，ZC=90°,AC=ZiBC=4,点D在血边上，点E是BC边上一点（不与点以C重合），且DA=DE,则Q的取值范匡是・
12•如图10,在平面直角坐标系的第一象很内有一魚B,坐标为（2∙W）•过点〃作AB±yfe9BC丄X辭，垂足分别为儿Ct若点P在线段肋上滑动（点P可以与点/、B重合），发现使得ZoPC
=45-的位置有两个，则加的取直范≡≡为•
13.左锐卉!
△肋C中9AB=49BC=5fZACB=45%将△肋C绕点B按逆时针方甸贡转得到∆A,BtC.（1〉如图11-1,当点C：
在线段C4的延长线上时，求ZCCiAl的度数；
（2〉如SSII・2,连接心“CG•若△虫B＜的面积为4,求△（?
〃?
：
的面枳富
（3〉如图1卜3,点E为线段肋中点，点P是线段ACl.的动点，在SC绕点3技逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P：
求线段£P：
长度的最犬值与最小值.
«3
14・如刃，抛物线y=-^-±x+3与X帕交于人B两点（点4在点B的左侧人与y轻交于点
C.
（1）求点A.B的坐标；
（2）若直线/过点£（4,O）,M为直线/上的动点，当以*、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线/的解析式.
15.如刃，直线j=-∣x+3与X轴、＞•轴分别交于B、4两点，点P是线段OB上的一动点，若能
在斜边肋上找到一点G使ZoCP=90*,设点P的坐标为g0）,求加的取值范囲・
例1•【解⅛]^AB=AC=AD9
:
∙B,CfZ）在以.4为31心,AB为半径的圆上,:
•乙CAD=2厶CBD∙厶BAC=2∕BDC∖
YZCBD=2ZBDC,ZδAC=449,∙∙∙ZCAD=2ZBAC=8丁.
故答案为：
88-•
例2【解答】解：
如图所示：
由题亘根克直角三角形斜边上的中线尊于斜边的一半，得出P到B点距凄始终为1.
则木棒£F的中点P左运动过程中的轨迹为分别以乂，BtCtD为回心，1st为半径的弧，故所围成的图形的面积为：
矩形面积-4个型形面积=6-4X驾F=Or（心）.
故答案为：
6-∕r∙
例3・【解苔】解：
连按CO9MO9
•:
乙CPO=乙CMo=W,
ΛC,MO9P9四点共Eh且CO为直径（E为圆心）■
连按PM则PM为C）E的一条弦，当PM为直経时PM最大.所以
PM=Co=4时PJ/最大•即PMa=4・
例4【解答】解：
（1）以肋为访，在第一象項内作尊边三角形肋G
以点C为SI心，SC为半径作OG交y抽于点PxPi.
在优弧APIB上任取一点P,如GEl,则ZAPB=丄ZACB=^×6Q9=30*•22
：
.^9ZAPB=3Q9的点P有无歎个.畝答案为，无数•
（2）①当点P在的正半粕上时，过点C作QG丄A3,垂足为G如0S1∙
•••点4（L0）,点B（5,0）,ΛO4=1,OB=S.
•••肋=4∙
•••点C为Ba心∙CG丄AS9AG=BG=^AB=2.
2
：
.OG=OA^AG=3.
"ABC是等边三角形，.∙MC=BC=肋=4.
λCG=√AC2-AG2=V42-22=2λ^∙
・・・点C的坐标为＜3,2√3）.
过点C作CD一y轴，垂足为D∙连按CPi9如3S1∙•••点C的坐标为（3,2√3）,:
∙CD=3∙OD=2√3.
VPBP2ΛOC与）轴的交点，:
∙ZAPiB=ZAPzB=30∙.
∙∙∙CPq=CA=A,CD=3∙ΛDP2=J42.32=√7.
由SInZ如违得：
当血
•••点C为圆心，CQ丄PIPhΛP1D=P1D=√7.
ΛΛ（O,2√3∙√V>∙Pl（0,2√3÷√7>.
②当点P在y轴的负半轴上时，
同渥可得：
P3（0,・2√3∙√7>∙Pa（0,-2√3÷√7）.
综上所述：
满足条件的点P的坐标有：
（0,2√3∙√V人（0,2√3÷√7）.（0,・2√3・√Y>∙（0,-2√>√7λ
（3）当过点X.〃的OE与P紬相切于点P时，ZAPB最大•理由：
可证：
ZAPB=ZAEH9当Z加最大时，ZAEH最犬•
屡小即M最小时.厶EH最大•所以当［≡与［艳相切时・•ΛAPB大・
①当点P在〉•轴的正半轴上时•
连按E4,作EH丄X轻，垂足为H∙如图2・
VO^与J•轴相切于点P,∙∙∙PE丄OP.
HEH丄肋∙OP丄OH,：
•ZEPO=ZPOH=ZEHO=93.•••囚边形OPEH是矩形•OP=EH9PE=OH=3.：
.EA=3.VZEHA=909,AH=2∙瓦4=3.
Λ∞=√EA2.AH2=√32.22=√5
AoP=√ξAP（0,√5）.
②当点P在〉•紿的负半轴上时，同淫可得:
P（0,-√5）.
渥由，①若点P在>・結的正半轴上.左）轴的正半轴上任取一点M（不与点P重合〉，连按A£4,MB9交G）E于点N.连按NA,如區2所示•VZANB是MMV的外角，∙∙∙^ANB>ΛA∖{B.
■厶APB=ZANB,J.ΛAPB>AΛMB・
②若点P在〉•轴的负半轴上，
间理可证得：
ZAPB>ZAXfB・
塚上所述：
当点P在J轴上移动时•厶APB有绘大值，此时点P的坐标为（0,√5）和（0,-√5）.
【巩固训练】答案
1•解:
vfF≡2■点G为EF的中点,λ∞≡1,
•・・G是以D为圆心■以1为半径的SI弧上的点，
作虫关于BC的对称点4,连按AD9交BC于P,交以D为El心.
1为半径的圆于G,此时PAtPG的值最小，最小值为才G的长I•：
AB■29AD■39.*.AA9■4■.∖ArD■59
：
.MG■才D-DG・5-】・4：
/.PA÷PG的最小值为4：
故答案为4.
2•解：
如03所示点〃在以E为圆心以为半径的2）上运动，当D∙B∖E关线时时.此时FD的（MbJs
根据折直的性质，SEBF釜4EBE
・•.Eff丄BtF,
:
.EB'=EB,
∙∙∙E是M边的中点，AB≈4f
:
.AE=EBf=29
9:
AD≈6,
.∖D5=√62+22=2√10,
.∙.BR=2顶-2.
3•解：
C在以4为Bl心，以2为半径作El周上，只有当OC与Ud相切（即到C点）时，ABOC绘小•
AC≈290A^3f由勾股定理得：
0C≡√5,
∙.∙ZBOA=XACO=90°,
∙∙Z50C+厶OC■90SZCAO^ZAOC∙9Q∖
・・ABOC=AOAC,
tanZBoC=tanZOAC
OC√5
=I
AC2
随着C的移动，ZJoC越来越大’
∙∙∙c在第一象限,：
・C不到汇轴爲
WZ^C<900,Atan^oC孕故答案为,
√5
2•
4•解,如图所示,当PEUAB.
½RtlABC中，VZC-90°,FC∙6,BC∙8∙
.∙,XB-√62÷8i-10,
由期折的性质可知：
PF∙FC∙ltZFPE-ZC-90β.VPEUAB9
AZPDB-90°.
由垂线段最短可知此时”有最小值.又•••朋为定值，
:
.PD有最小值.
又•••厶∙SZACB.ΛADF■:
.MFD5MBC.
•••PD・DF-FP・32・2∙L2∙
5•解，以川为圆心，/1B长为半包作Bh延长BA交64于F，连按DF•
∙∙∙FB是0/的直径，λZFDB=90o,二BD=JBF'-DF'=√B.
6.【解答】解：
法一：
-AB=AC=AD9
:
∙ZADB=乙ABD,ZACB=ZABC9ZADC=ZACD,
VZBAC=259,ZCAD=I59,
ΛZACB=C180,-25β）÷2=77.5,,ZDAB=ZDAC+ZCAB=Ig,
ZADC=ZACD=（180s-759）÷2=52.5β,
AZADB=C180t・100'）÷2=40*,
AZBDC=AADC・/ADB=525。
・4（Γ=12.S,,
ZDCB=ZDCA+ZACB=525∙÷77.5t=BOe,
ΛZDBC=↑809・ZDCB・ZBDC=∖8L-130s-12.5β=37.59•AZJDC=12.5t,ZDBC=37.5t.
7.【解答】解：
连^BCfAC9BD9ADfAEfBEf
己知儿B9D9E四点共圆，同弧所对的圆亶角相等，ZADB=ZAEB9然后El同孤对应的“31内危“大于IS周理「圆外角“小于Hl周角，因而射门点在W上时介最九射门点在D点右上方或点E左下方时角度则会更小•
故选，C.
8•【解签】⅜?
:
连结OP,OQ9OR9如05,
TR是Po的中点,^OR丄P0
•：
OP=OQ,：
•ZPOR=ZQQR,
TPS丄肋.•••ZPSO=ZPRO=9Q∙,
•••点P、S∙6R四点在以OP为直径的31上■:
∙ZPSR=ZPOR,
同理可得ZQTR=ZQOR,：
.ZPSR=ZQTR9：
.ZRST=ZRTS9而ZSRT=609,
MRST为等边三角形.：
.ZRST=60・∙ZRTS=6099
：
・ZRPo=ZRSo=6W,ZRQo=ZRTOw,MOPQ为等边三箱形，
：
.PQ=OP9：
.AB=IPQ9•••匹=丄•故答案为丄•
AB22
9•解析：
本超主更考査三点共Hl判定和相交弦定理•
由刃=P乩ZAPB=2乙ACB,可知，A,B,C三点芜SI,SJ心为P半径为PB・由梅交弦定理可知*AD■DC=（PB∙PD）（PB-PD）=7
10•【解答】解，设线段B4的中点为E
T点戏（4.0人B—6.0）,：
.AB=∖Q.E（・1∙0）∙
（1）如答图1所示，过点E在第二象刀作EP丄且刃=LaB=5,则易知ΔPB4为尋至直
2
角三角形■ZBRi=909,PA=PB=5√2;
以点P为引心，PA（或P5）长为半径作G）P,与Iy牠的正半璀文于点C,
VZBCA为。
P的El局走，∙∙∙ZBC4=丄Z5刃=45',即则点C即为所求・
2
过点P作PF丄丁雜于点F,^OF=PE=5,PF=I,
在RtAPFC中，PF=I,PC=&√2,由勾股定瑾得：
CF=JPC兀pι3=7,
：
•OC=OF+CF=5+7=12,
•••点C坐标为（0,12）：
C2）如答BS2所示，在第3至踐可以參觅
（1）作同样探作，同理求负半轴上的虑O坐标为（0,・12）.
综上所述，点C坐标为（0,12）或（0,・12）.
故答案为=（0∙12〉或（6・12〉.
IL【解答】7RtA4BC中，ZC=90t,AC=3,BC=4,
AC2+BC2=5,以Z）为EI心,AD的长为半径S]0D
①如图1,当OD与万Ctfl切时，DE丄BC时，
设AD=X9则DE=AD=X9BD=AB・ΛD=5•心
•：
ZBED=ZC=W9ZB是公共角，
•••△BDEs△朋c,•••型史匕^—~9解險x=-ι
ABAC538
②如图2.当C）D与0C相交时.若文点为B或C,贝IJzD=
τς
:
S41=4.:
∙SaCBG=—-:
4
（3）①如图1,过点〃作BD丄XC,D为垂足,:
∆ABC为锐矩三角形…••点D在线段ACJl9
当卩在ACl.运动.BP与/C垂直的时候.AABC绕点B媒捷，使点P的对圧点Pl在线段肋
②当P在XC上运动至点GHABC绕点B贯转，便点P的灯应点Pl在线段AB的延上銭上时.EPL最大,最大值为*EPl=BC∙BE=2+5=1∙
Kl
14.［解答】韬
（1）令y=0,即J∙x2J∙x+3=0,
84
解得D=・4,X2=2,
•"、3点的坐标为/1<-4,OλB（2,0）.
（2）抛物线y=丄∕2χ+3的对称粧是直线K=・——=・1,
S42X（峙）
即D点的横坐标杲•1,
S土CB=丄,45∙QC=9,
2
在Rtd40C中，√oa2+oc2=√42+32=5,
设"C刀中ΛC上的高为儿则⅜l∕ic∙λ=9,解得A=I^・
25
如答罔1,在坐标平面内作直线平行于2C,且到AC的距蔑=力=半，这样的直线有2条，分别是h和h,则直线与对称轴X=・1的两个交点即为所求的点D・
设∕ι交》紬于E,过C作CF丄h于尸，贝'JCF=A=Ii,
18
・CE=-^-X=9
••5_SinZCEF-SinZOCA_仝一兀
设直线/4C的解析式为y=Eb,将/（・4,¢）,C<0,3）坐标代入,
rk^
k"4,
23
•••直线AC解析式为y=Λ÷3.
4
直线h可以看做直线ACħ下平移①也度单位个长度单位）而形成的.
2
•••直经IX的解祈式为＞=丄"3-2=2X・1.
4242
则DI的纵坐标为2x（-1）-2=JLlΛD1（-E丄）•
4244
间孔直^AC向上平移刍个长厦址位得到匕可求得D（∙h空〉
24
综上所述∙D点坐标为*D1（-1>-Λ）,D2（・1.互〉•
44
（3〉如答EB2,以/方为直径作O氏GH心为E过E点作OF的切线，这样的切线有2条.连接FM过M作AfV丄X轴于点N∙
（O）,B（2,O）,
：
.F（-1,O）,C）F半径FM=FB=3•又TE（4,0）,
:
∙FE=5,
在RtΔΛ4EF中，.WE=√52-32=4,sinZ.WF^=l,COSNMFE=丄.
55
在Rt△用Mv中，MN=•好∙sιnZME=3x2=i^
55
ZW=W∙coszmfe=3x3=2则αv=l,
555
∙∙∙M点坐标为（±歿）
55
直线/过M（±丄Z）∙E（4,0）,
55
设直线/的解折式为y=kx±b,则有
一4,
b=3
所以直线/的解析式为y=令+3
I5k+b=⅛和卜2
4k+b=0
同岂可以求得另一条切线的解析式为＞=lχ・3・4
综上所述，直线/的解析式为y=^.χ÷3或y=2v∙3∙
44
15.方法提示】令y=0求出点B的坐标■过点C作CD丄）（箱于D∙设点C的横坐标为a∙
则OD=3,PD=m-a,求出△□（：
D和ΔCPD相似，刘用相似三角形对应边成比例列式表示岀m.然右求出m的最小值：
再根据点P在线段OB上判断出OC丄AB时.点P、B盍合，m圮大•然方即可写tBm的取值范團・
n∩的取值范围是3≤m≤4・
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