第三课函数的单调性与奇偶性.docx

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第三课函数的单调性与奇偶性

第三课函数的单调性与奇偶性

编制范云芬审核储六春

一、知识点回顾：

（一）、函数的单调性：

⒈函数单调性的定义：

如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1＜x2时,都有f（x1）＜f（x2）,那么就说f（x）在这个区间上是增函数.这个区间叫增区间.

如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1＜x2时,都有f（x1）＞f（x2）,那么就说f（x）在这个区间上是减函数.这个区间叫减区间.

注意：

函数的单调区间（增区间或减区间）是其定义域的子集；函数的定义域不一定是函数的单调区间.

⒉函数单调性的判别方法：

（1）图象法.若函数f（x）的图象在区间D上从左至右是上升（下降）的,则f（x）在区间D上是增（减）函数；

（2）定义法.其一般步骤是：

1取值.在所给区间上任取x1＜x2；②作差f（x1）−f（x2）；

③变形.分解因式或配方等；④定号.看f（x1）−f（x2）的符号；⑤下结论.

（3）利用复合函数的单调性性质

（4）利用复合函数的单调性性质可直接证出.

①函数f（x）与f（x）+c（c为常数）具有相同的单调性；

2当c＞0时,函数f（x）与cf（x）具有相同的单调性；

当c＜0时,函数f（x）与cf（x）具有相反的单调性；

③若f（x）≠0,则函数f（x）与

具有相反的单调性；

④若f（x）≥0,则函数f（x）与

具有相同的单调性；

⑤若函数f（x）,g（x）都是增函数,则f（x）+g（x）也是增函数；（增+增=增）

⑥若函数f（x）,g（x）都是减函数,则f（x）+g（x）也是减函数；（减+减=减）

⑦若函数f（x）是增函数,g（x）是减函数,则f（x）−g（x）也是增函数；（增−减=增）

⑧若函数f（x）是减函数,g（x）是增函数,则f（x）−g（x）也是减函数；（减−增=减）

⒊一些特殊函数的单调性：

⑴一次函数y=kx+b,当k＞0时,在R上是；当k＜0时,在R上是.

⑵二次函数y=ax2+bx+c,

当a＞0时,在（−∞,

]上为,在[

+∞）上为；

当a＜0时,在（−∞,

]上为,在[

+∞）上为.

⑶反比例函数y=

当k＞0时,在（−∞,0）,（0,+∞）上都是；

当k＜0时,在（−∞,0）,（0,+∞）上都是.

⑷指数函数y=ax,当a＞1时,在R上是,当0＜a＜1时,在R上是.

⑸对数函数y=logax,当a＞1时,在（0,+∞）是,当0＜a＜1时,在（0,+∞）是.

⑹*记住重要函数y=x+

的单调性,并会证明：

当x＞0时，函数在（0,

）上单调递减,在[

+∞]上单调递增；

当x＜0时，函数在上单调递减,在上单调递增.

（二）、函数的奇偶性：

⒈函数奇偶性的定义：

如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x,都有f（−x）=f（x）,那么函数f（x）叫做偶函数.

如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x,都有f（−x）=−f（x）,那么函数f（x）叫做奇函数.

注意：

⑴由定义可知,函数具有奇偶性的必要条件是定义域关于________对称.

⑵函数的奇偶性可分为四类：

奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数（此时我们说该函数具有奇偶性）、既不是奇函数又不是偶函数（此时我们说该函数不具有奇偶性）.

注意：

设函数f（x）的定义域关于原点对称,那么函数f（x）既是奇函数又是偶函数的充要条件是f（x）恒等于0.

例：

f（x）=0,x∈（−1,1）；f（x）=0,x∈[−2,2]；f（x）=

等

⒉具有奇偶性函数的图象特征：

⑴奇函数图象关于对称；⑵偶函数图象关于____对称.

⒊判断函数奇偶性的方法：

⑴图象法；

⑵定义法.其一般步骤是：

①求函数的定义域,并判断定义域是否关于原点对称,若不对称,则此函数不具有奇偶性；若对称,再进行第二步；

②判断f（−x）与f（x）的关系,并下结论.

若f（−x）=−f（x）且f（x）不恒等于0,则此函数为奇函数；

若f（−x）=f（x）且f（x）不恒等于0,则此函数为偶函数；

若f（−x）=−f（x）且f（−x）=f（x）,则此函数为既是奇函数又是偶函数；

若f（−x）≠−f（x）且f（−x）≠f（x）,则此函数为既不是奇函数又不是偶函数.

（4）奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；

偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性；

（5）若f（x）是奇函数，且f（0）有意义，则必有f（0）=.

（三）、函数图象的变换：

⒈平移变换：

⑴y=f（x）的图象沿x轴向右平移a（a＞0）个单位得到y=f（x−a）的图象；

⑵y=f（x）的图象沿x轴向左平移a（a＞0）个单位得到y=f（x+a）的图象；

⑶y=f（x）的图象沿y轴向上平移a（a＞0）个单位得到y=f（x）+a的图象；

⑷y=f（x）的图象沿y轴向下平移a（a＞0）个单位得到y=f（x）−a的图象.

2.对称变换：

两个函数图象的对称关系：

⑴y=f（x）与y=−f（x）的图象关于x轴对称；

⑵y=f（x）与y=f（−x）的图象关于y轴对称；

⑶y=f（x）与y=−f（−x）的图象关于原点轴对称；

⑷y=f（x）与y=f−1（x）的图象关于直线y=x轴对称；

⑸y=f（|x|）的图象是保留y=f（x）的图象中y轴右边部分,并作其关于y轴对称的图象,再擦掉y=f（x）的图象中y轴左边部分而得到；

⑹y=|f（x）|的图象是保留y=f（x）的图象中x轴上方的图象及x轴上的点,并将x轴下方的图象以x轴为对称轴翻折到x轴上方去；

⑺*函数y=f（a+mx）与函数y=f（b−mx）（a、b：

m∈R,m≠0）的图象关于直线x=

对称.

二、典型例题

【例1】判断下列函数的奇偶性．

（1）f（x）＝

·

；

（2）f（x）＝

＋

；

（3）f（x）＝

[解答]

（1）由

得x＝±1，∴f（x）＝0，又它的定义域关于原点对称，f（x）＝f（－x）＝－f（x）＝0，

∴f（x）既是奇函数又是偶函数．

（2）由

得x>0，函数f（x）的定义域不关于原点对称，∴f（x）既不是奇函数也不是偶函数．

（3）函数的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），关于原点对称．

当x>0时，－x<0，f（x）＝x2＋x＋1，f（－x）＝（－x）2－（－x）＋1＝x2＋x＋1＝f（x）；当x<0时，－x>0，f（x）＝x2－x＋1，f（－x）＝（－x）2＋（－x）＋1＝x2－x＋1＝f（x）．∴函数f（x）为偶函数．

【例2】判断函数f（x）＝

（a≠0）在区间（－1,1）上的单调性．

[解答]任取x1、x2∈（－1,1），且x1

则f（x1）－f（x2）＝

.

由－1

>0，

∴a>0时，f（x1）－f（x2）>0，f（x1）>f（x2），

∴f（x）在（－1,1）上单调递减．

同理可得：

a<0时，f（x）在（－1,1）上单调递增．

【例3】已知函数f（x）对任意的实数m，n有f（m＋n）＝f（m）＋f（n），且当x＞0时，有f（x）＞0.

（1）求证：

f（x）在（－∞，＋∞）上为增函数；

（2）若f

（1）＝1，解不等式：

f（log2（x2－x－2））＜2.

[解答]证明：

（1）任取定义域（－∞，＋∞）内x1、x2且x1＜x2，则x2－x1＞0，

∴f（x1）－f（x2）＝f（x1）－f（x2－x1＋x1）

＝f（x1）－f（x2－x1）－f（x1）

＝－f（x2－x1）＜0，∴f（x1）＜f（x2），

∴f（x）在（－∞，＋∞）上单调递增．

（2）∵f

（1）＝1，∴2＝f

（1）＋f

（1）＝f

（2），

由已知得f[log2（x2－x－2）]＜f

（2）．

又∵f（x）在R上递增，

∴log2（x2－x－2）＜2，

∴

∴

∴－2＜x＜－1或2＜x＜3.

∴原不等式的解集为{x|－2＜x＜－1或2＜x＜3}．

【例4】定义域为R的奇函数f（x）满足f（x）＝f（x－2k）（k∈Z），且当x∈（0,1）时，f（x）＝

.

（1）求f（x）在[－1,1]上的解析式；

（2）证明：

f（x）在（0,1）上是减函数；

（3）当m取何值时，方程f（x）＝m在（0,1）上有解？

[解答]

（1）设－1

∴f（－x）＝

=

＝－f（x），

∴f（x）＝－ 

，x∈（－1,0）．

又f（x）为奇函数，∴f（0）＝－f（0），从而f（0）＝0；

又f（x）＝f（x－2k），k∈Z，∴f

（1）＝f（－1），

而f（－1）＝－f

（1），从而f

（1）＝0，且f（－1）＝0，

综上所述，f（x）＝

（2）证明：

设0

f（x1）－f（x2）＝

，

∵0

∴

∴f（x1）－f（x2）>0，即f（x1）>f（x2），

从而f（x）在（0,1）上是减函数．

（3）由

（2）可知f（x）在（0,1）上单调递减，

∴要使方程f（x）＝m在（0,1）上有解，

只需

，故m∈

.

三、课堂练习

1．函数f（x）＝log2（x2－4x－5）的单调增区间为________．

答案：

（5，＋∞）　[解析]由题意知x2－4x－5>0，解得x<－1或x>5，即函数f（x）＝log2（x2－4x－5）的定义域为（－∞，－1）∪（5，＋∞），根据外层函数为单调增函数，而内层函数u＝x2－4x－5＝（x－2）2－9在（5，＋∞）上单调递增，所以所求函数的单调增区间为（5，＋∞）.

2．若函数f（x）＝log2（x2－ax＋3a）在区间[2，＋∞）上是增函数，则实数a的取值范围是________．

答案：

－4

（2）>0.

∴

∴－4

3．若函数f（x）＝x2－2（1＋a）x＋8在区间（－∞，4]上是减函数，则实数a的取值范围为________．

答案：

a≥3　[解析]由题意知：

函数f（x）＝x2－2（1＋a）x＋8的单调减区间为（－∞，（1＋a）]，又函数在（－∞，4]上为减函数，所以有4≤1＋a，解得a≥3.

4．已知函数f（x）＝

满足对任意x1≠x2，都有

<0成立，则a的取值范围是________．

答案：

0

　[解析]由题意知，f（x）为减函数，所以

解得0

.

5．设f（x）是定义在（－∞，＋∞）上的奇函数，且f（x＋2）＝－f（x），当0≤x≤1时，f（x）＝x，则f（7.5）＝________.

答案：

－0.5　[解析]由题意得f（x＋4）＝f[（x＋2）＋2]＝－f（x＋2）＝f（x），所以f（x）是以4为周期的函数，所以f（7.5）＝f（7.5－8）＝f（－0.5）＝－f（0.5）＝－0.5.

6．若函数f（x）＝（x＋a）（bx＋2a）（常数a，b∈R）是偶函数，且它的值域为（－∞，4]，则该函数的解析式f（x）＝________.

答案：

－2x2＋4　[解析]f（x）＝（x＋a）（bx＋2a）＝bx2＋（2a＋ab）x＋2a2是偶函数，则其图象关于y轴对称，∴2a＋ab＝0⇒b＝－2或a＝0（舍），∴f（x）＝－2x2＋2a2，且值域为（－∞，4]，∴2a2＝4，∴f（x）＝－2x2＋4.

7．已知f（x）为奇函数，当x∈（0,1）时，f（x）＝lg

，那么当x∈（－1,0）时，函数f（x）的表达式是________．

答案：

lg（1－x）　[解析]x∈（－1,0）时，－x∈（0,1），

∴f（－x）＝lg

＝lg（1－x）－1＝－lg（1－x），而由f（x）为奇函数，得f（－x）＝－f（x），∴－f（x）＝－lg（1－x），故f（x）＝lg（1－x）.

8．已知定义在R上的函数f（x）是奇函数，且以2为周期，则f

（1）＋f

（2）＋f（3）＋f（4）＋f（5）＋f（6）＋f（7）的值是________．

答案：

0　[解析]∵f（x）是R上的奇函数，∴f（0）＝0，又以2为周期，∴f

（2）＝f（4）＝f（6）＝f（0）＝0，又f（－1）＝－f

（1）＝f

（1），∴f

（1）＝0，于是f（3）＝f（5）＝f（7）＝0，因此f

（1）＋f

（2）＋f（3）＋f（4）＋f（5）＋f（6）＋f（7）＝0.

9.已知函数

（1）若

，求

的值；

（2）求证：

不论

为何实数，f（x）总为增函数

10.设定义在[－2,2]上的偶函数f（x）在区间[0,2]上单调递减，若f（1－m）＜f（m），求实数m的取值范围．

[解答]∵f（x）是偶函数，∴f（－x）＝f（x）＝f（|x|），又∵f（1－m）

当x∈[0,2]时，f（x）是减函数，∴

由|1－m|>|m|，整理得（1－m）2>m2，解得m<

.

由－2≤1－m≤2，解得－1≤m≤3.

又－2≤m≤2，∴－1≤m<

.

11.已知函数f（x），当x，y∈R时，恒有f（x＋y）＝f（x）＋f（y）．

（1）求证：

f（x）是奇函数；

（2）如果x∈R＋，f（x）<0，并且f

（1）＝－

，试求f（x）在区间[－2,6]上的最值．

[解答]

（1）证明：

∵函数f（x）的定义域为R，

∴其定义域关于原点对称．

∵f（x＋y）＝f（x）＋f（y），令y＝－x，

∴f（0）＝f（x）＋f（－x）．

令x＝y＝0，∴f（0）＝f（0）＋f（0），得f（0）＝0.

∴f（x）＋f（－x）＝0，得f（－x）＝－f（x），

∴f（x）为奇函数．

（2）法一：

设x，y∈R＋，∵f（x＋y）＝f（x）＋f（y），

∴f（x＋y）－f（x）＝f（y）．

∵x∈R＋，f（x）<0，

∴f（x＋y）－f（x）<0，∴f（x＋y）

∵x＋y>x，∴f（x）在（0，＋∞）上是减函数．

又∵f（x）为奇函数，f（0）＝0，

∴f（x）在（－∞，＋∞）上是减函数．

∴f（－2）为最大值，f（6）为最小值．

∵f

（1）＝－

，∴f（－2）＝－f

（2）＝－2f

（1）＝1，

f（6）＝2f（3）＝2[f

（1）＋f

（2）]＝－3.

∴所求f（x）在区间[－2,6]上的最大值为1，最小值为－3.

法二：

设x1

则f（x2－x1）＝f[x2＋（－x1）]＝f（x2）＋f（－x1）＝f（x2）－f（x1）．

∵x2－x1>0，∴f（x2－x1）<0.∴f（x2）－f（x1）<0.

即f（x）在R上单调递减．

∴f（－2）为最大值，f（6）为最小值．∵f

（1）＝－

，

∴f（－2）＝－f

（2）＝－2f

（1）＝1，f（6）＝2f（3）＝2[f

（1）＋f

（2）]＝－3.

∴所求f（x）在区间[－2,6]上的最大值为1，最小值为－3.

12.设函数f（x）＝ax2＋bx＋1（a、b∈R）．

（1）若f（－1）＝0，且对任意实数x均有f（x）≥0成立，求实数a、b的值；

（2）在

（1）的条件下，当x∈[－2,2]时，g（x）＝f（x）－kx是单调函数，求实数k的取值范围．

[解答]

（1）∵f（－1）＝0，∴a－b＋1＝0，即b＝a＋1.

又对任意实数x均有f（x）≥0成立，∴a>0且Δ＝b2－4a≤0恒成立，即a>0且（a－1）2≤0恒成立，

∴a＝1，b＝2.

（2）由

（1）可知f（x）＝x2＋2x＋1，

∴g（x）＝x2＋（2－k）x＋1.

∵g（x）在x∈[－2,2]时是单调函数，

∴[－2,2]⊆

或[－2,2]⊆

.

∴2≤

或

≤－2，解得k≥6或k≤－2，

即实数k的取值范围为（－∞，－2]∪[6，＋∞）．