华东师大版八年级上册数学第12章 《整式的乘除》教案.docx
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华东师大版八年级上册数学第12章《整式的乘除》教案
课题 单项式除以单项式
【学习目标】
1．掌握单项式除以单项式的运算法则及其应用；
2．了解单项式除以单项式的运算原理；
【学习重点】
单项式除以单项式的运算法则及其应用；
【学习难点】
探索单项式与单项式相除的运算法则的过程，并加以理解和领会．
行为提示：
创景设疑，帮助学生知道本节课学什么．
知识链接：
同底数幂的除法法则：
am÷an＝am－n（a≠0，m，n都是正整数）．同底数幂相除，底数不变，指数相减．
行为提示：
教会学生看书，独学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案．
教会学生落实重点．情景导入 生成问题
1．同底数幂除法的法则是什么？
2．计算：
（1）a10÷a3＝a7；
（2）y7÷y6＝y；
（3）105÷105＝1;__（4）y3÷y3＝1．
自学互研 生成能力
阅读教材P39～P40，完成下面的内容：
1．填一填：
（1）2a·4a2＝8a3；
（2）2x·3xy＝6x2y；（3）2×103×（3×102）＝6×105.
对照
（1）
（2）（3）题，根据除法的意义填空：
（4）8a3÷2a＝4a2；（5）6x2y÷3xy＝2x；（6）（6×105）÷（3×102）＝2×103．
2．试一试：
你能由上述计算方法计算下列各式吗？
①8ab3÷2ab＝4b2；②6x3y÷3xy＝2x2；
③12a5÷3a2＝4a3；④16a3b2÷4ab2＝4a2．
3．再思考：
21a5c÷3a2＝________，对此题中的c该怎么办？
解：
原式＝7a3c.题中的c照写．
4．想一想：
单项式除以单项式的程序是怎样的？
知识链接：
1.单项式乘以单项式的法则；
2．乘法和除法互为逆运算，加法和减法互为逆运算；
3．应用法则应注意：
（1）要明确两个单项式的系数各是什么，哪些是同底数幂，哪些只是在一个单项式里出现的字母；
（2）被除式单独含有的字母及指数作为一个因式，不要遗漏．
方法指导：
整式的混合运算同实数的混合运算一样，有括号的先算括号内的运算；没有括号时，先算乘方，再算乘除，最后算加减．计算的过程中能合并同类项的要合并同类项．
行为提示：
在进行同底数幂的乘法、除法、幂的乘方及积的乘方的混合运算时，要遵循各自的运算规则，不要相互混淆，然后注意运算顺序的先后和底数的统一．
行为提示：
教会学生怎么交流．先对学，再群学．充分在小组内展示自己，分析答案，提出疑惑，共同解决（可按结对子学—帮扶学—组内群学来开展）．在群学后期教师可有意安排每组展示问题，并给学生板书题目和组内演练的时间．
5．归纳：
单项式除以单项式法则：
一般地，单项式与单项式相除，分别把系数、同底数幂相除，作为商的一个因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式．
范例：
计算：
（1）－21x2y4÷（－3xy3）；
（2）3x4y5÷
；（3）（4×109）÷（－2×104）；
解：
（1）原式＝－21÷（－3）x2－1y4－3＝7xy；
（2）原式＝3÷
x4－1y5－2＝－
x3y3；
（3）原式＝4÷（－2）×109－4＝－2×105.
仿例：
计算：
（1）63x7y3÷7x3y2；
（2）－25a6b4c÷10a4b.
解：
（1）原式＝9x4y;
（2）原式＝－
a2b3c.
变例：
填空：
（1）－12ab2c3＝4b×（－3abc3）；
（2）
÷3ab2c＝－
a.
范例1：
计算：
（1）（6xy2）2÷3xy;
（2）－16（x3y4）3÷
.
解：
（1）原式＝36x2y4÷3xy＝12xy3;
（2）原式＝－16x9y12÷
x8y10＝－64xy2.
仿例1：
（1）（－4a2b）2÷2ab2；
（2）（2xy）2·
÷（－2xy2z）2.
解：
（1）原式＝16a4b2÷2ab2＝8a3；
（2）原式＝－
x7y5z2÷4x2y4z2＝－
x5y.
范例2：
已知8a3bm÷28anb2＝
b2，求3m－4n的值．
解：
因为8a3bm÷28anb2＝
a3－nbm－2，又因为8a3bm÷28anb2＝
b2，所以
a3－nbm－2＝
b2.
对比系数，则有3－n＝0，m－2＝2，解得m＝4，n＝3，所以3m－4n＝0.
仿例2：
已知（－3x4y3）3÷
＝－mx8y7，求m，n的值．
解：
因为（－3x4y3）3÷
＝18x12－ny7，
又因为（－3x4y3）3÷
＝－mx8y7，
所以18x12－ny7＝－mx8y7.
对比系数，则有－m＝18，12－n＝8.所以m＝－18，n＝4.
交流展示 生成新知
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
知识模块一 单项式除以单项式的法则
知识模块二 单项式的混合运算
检测反馈 达成目标
【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．
课后反思 查漏补缺
1．收获：
________________________________________________________________________
2．存在困惑：
________________________________________________________________________
课题 单项式与单项式相乘
【学习目标】
1．在具体情境中理解并掌握单项式乘法的意义；
2．能够熟练地利用法则进行单项式的乘法运算；
3．体验探究数学问题的过程，体验转化的思想方法，提升学习的动力源．
【学习重点】
单项式乘单项式的乘法法则产生的过程及其应用．
【学习难点】
理解运算法则及其探索过程．
行为提示：
创设问题情境导入，激发学生的求知欲望．引导学生得出该长方体的体积为：
4xy·3x，继续追问：
你会算4xy·3x吗？
同学们愿意和老师一起来研究这个问题吗？
知识链接：
1.长方体的体积公式：
V＝长×宽×高．
2．幂的运算性质．
行为提示：
教会学生看书，独学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案．
教会学生落实重点．
学法指导：
计算步骤：
（1）系数相乘作为积的系数；
（2）相同字母的因式，应用同底数幂的运算法则，底数不变，指数相加；
（3）只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数也作为积的一个因式；
（4）单项式与单项式的积仍是单项式．
思路点拔：
范例1的两个小题，可利用乘法交换律、结合律变形而成：
数与数相乘，同底数幂与同底数幂相乘的形式，单独一个字母或系数照抄．情景导入 生成问题
1．问题引入
一个长方体底面积是4xy，高是3x，那么这个长方体的体积是多少？
该长方体的体积为：
4xy·3x＝12x2y．
2．温故知新
（1）同底数幂的乘法运算：
同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
一般形式：
am·an＝am＋n（m，n是正整数）；
（2）幂的乘方法则：
幂的乘方，底数不变，指数相乘；
一般形式：
（am）n＝amn（m，n都是正整数）．
（3）积的乘方法则：
把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
一般形式：
（ab）n＝an·bn（n是正整数）．
自学互研 生成能力
阅读教材P25～P26，完成下面的内容：
1．相信我能行：
请同学们根据幂的运算性质及乘法交换律、结合律计算：
4xy·3x＝4·xy·3·x＝（4·3）·（x·x）·y＝12x2y．
2．计算：
（1）2x3·5x5；
（2）3x2y5·（－2xy2z）．
解：
（1）2x3·5x5＝（2×5）（x3·x5）＝10x8；
（2）3x2y5·（－2xy2z）＝3×（－2）·（x2·x）·（y5·y2）·z＝－6x3y7z.
归纳：
单项式与单项式相乘的法则：
单项式与单项式相乘，只要将它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只有一个单项式中出现的字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式．
范例1：
计算：
（1）3x2y·（－2xy3）；
（2）（－5a2b3）·（－4b2c）．
解：
（1）原式＝[3·（－2）]·（x2·x）·（y·y3）＝－6x3y4；
（2）原式＝[（－5）·（－4）]·a2·（b3·b2）·c＝20a2b5c.
范例2：
卫星绕地球运动的速度（即第一宇宙速度）约为7.9×103米/秒，卫星运行3×102秒所走的路程约是多少？
解：
7.9×103×3×102＝23.7×105＝2.37×106（米）．
答：
卫星运行3×102秒所走的路程约是2.37×106米．
仿例：
计算：
（1）（－3x2y2z3）·（－2x3y3）；
（2）－6x2y（a－b）·2xy2（b－a）2.
解：
（1）原式＝6x5y5z3；
（2）原式＝－12x3y3（a－b）3.
问题讨论：
（1）边长是a的正方形的面积是a·a，反过来说a·a表示什么？
a·ab又怎样理解呢？
解：
a·a可以看作a与a的积；a·ab可以看作a、a、b的积．（答案不唯一）
（2）想一想，你会说明a·a，3a·2a以及3a·5ab的几何意义吗？
解：
a·a可以看作边长为a的正方形的面积；a·ab可以看作高是a，底面长和宽分别为a、b的长方体的体积；3a·5ab可以看作高是3a，底面长和宽分别为5a、b的长方体的体积．（答案不唯一）
行为提示：
教会学生怎么交流．先对学，再群学．充分在小组内展示自己，分析答案，提出疑惑，共同解决（可按结对子学—帮扶学—组内群学来开展）．在群学后期教师可有意安排每组展示问题，并给学生板书题目和组内演练的时间．交流展示 生成新知
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
知识模块一 探究单项式与单项式相乘的法则
知识模块二 创设情境理解单项式相乘的几何意义
检测反馈 达成目标
【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．
课后反思 查漏补缺
1．收获：
________________________________________________________________________
2．存在困惑：
________________________________________________________________________
课题 单项式与多项式相乘
【学习目标】
1．理解并掌握单项式与多项式相乘的法则；
2．会熟练地进行单项式与多项式相乘的计算；
3．经历探索单项式与多项式相乘的法则的过程，发展具有条理的思考及语言表达能力．
【学习重点】
单项式与多项式的相乘法则产生的过程及其应用．
【学习难点】
单项式与多项式相乘时结果的符号的确定．
行为提示：
点燃激情，引发学生思考本节课学什么．
方法指导：
1.单项式与多项式相乘的实质是利用分配律把单项式乘以多项式转化为单项式乘法．
2．单项式与多项式相乘时，分两个阶段：
（1）按分配律把单项式与多项式的乘积写成单项式与单项式乘积的代数和的形式；
（2）单项式的乘法运算．情景导入 生成问题
1．回忆幂的运算性质：
am·an＝am＋n．（m，n都是正整数） 同底数幂相乘，底数不变，指数相加；
（am）n＝amn．（m，n都是正整数） 幂的乘方，底数不变，指数相乘；
（ab）n＝anbn．（n为正整数） 积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
2．单项式与单项式相乘法则：
单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
3．练一练：
判断正误（不对的并加以改正）．
（1）4a2·2a3＝8a6； （×） 8a5
（2）（ab）2（ab3）＝a3b5;（√）
（3）（－2x2）3xy2＝8x7y2.（×） －8x7y2
自学互研 生成能力
阅读教材P27，完成下面的内容：
1．相信我能行：
问题一：
三家连锁店以相同的价格m（单位：
元/瓶）销售某种商品，它们在一个月内的销售量（单位：
瓶）分别是a、b、c.你能用不同的方法计算它们在这个月内销售这种商品的总收入吗？
回答下列问题：
（1）分析题意，可得出两种解法：
方法一：
先求三家连锁店的总销量，再求总收入，即总收入为m（a＋b＋c）元；
方法二：
先分别求三家连锁店的收入，再求它们的和，即总收入为ma＋mb＋mc元；
（2）思考：
根据
（1）中两种方法得到的结果表示同一个量，可列等式：
m（a＋b＋c）＝ma＋mb＋mc；
（3）思考：
乘法分配律与
（2）中的结论有什么关系？
（2）中的结论可以运用乘法分配律得到．
学法指导：
1.单项式与多项式相乘的依据是乘法分配律；
2．单项式与多项式相乘，其积仍是多项式，项数与原多项式的项数相同，注意不要漏乘项；
3．积的每一项的符号由原多项式各项符号和单项式的符号来决定．
知识链接：
梯形的面积公式：
S＝
（上底＋下底）×高．
行为提示：
教会学生怎么交流．先对学，再群学．充分在小组内展示自己，分析答案，提出疑惑，共同解决（可按结对子学—帮扶学—组内群学来开展）．在群学后期教师可有意安排每组展示问题，并给学生板书题目和组内演练的时间．
问题二：
观察右边的图形，回答下列问题：
（1）大长方形的长为b＋c＋d，宽为a，面积为a（b＋c＋d）；
（2）三个小长方形的面积分别表示为ab，ac，ad，大长方形的面积＝ab＋ac＋ad；
（3）思考：
根据
（1）
（2）中的结果中可列等式：
ab＋ac＋ad＝a（b＋c＋d）；
（4）思考：
这一结论与乘法分配律有什么关系？
这一结论可以运用乘法分配律得到．
想一想：
根据以上探索你认为应如何进行单项式与多项式的乘法运算？
单项式乘多项式法则：
单项式与多项式相乘，就是用单项式分别乘以多项式的每一项，再将所得的积相加．
范例1：
计算：
（1）2a2·（3a2－5b）；
（2）（－2a2）·（3ab2－5ab3）．
解：
（1）原式＝（2a2·3a2）－（2a2·5b）＝6a4－10a2b；
（2）原式＝（－2a2）·3ab2＋（－2a2）·（－5ab3）＝－6a3b2＋10a3b3.
仿例：
计算：
（1）（－4x2）（3x＋1）；
（2）
·
ab；（3）―2a2·
―5a·（a2b－ab2）．
解：
（1）原式＝（－4x2）·3x＋（－4x2）×1＝－12x3－4x2；
（2）原式＝
ab2·
ab－2ab·
ab＝
a2b3－a2b2；
（3）原式＝－a3b－2a2b2－5a3b＋5a2b2＝－6a3b＋3a2b2.
范例2：
一条防洪堤坝，其横断面是梯形，上底宽a米，下底宽（a＋2b）米，坝高
a米．
（1）求防洪堤坝的横断面积；
（2）如果防洪堤坝长100米，那么这段防洪堤坝的体积是多少立方米？
解：
（1）防洪堤坝的横断面积：
S＝
[a＋（a＋2b）]×
a＝
a（2a＋2b）＝
a2＋
ab（平方米）．
答：
防洪堤坝的横断面积为
平方米．
（2）堤坝的体积：
V＝
×100＝50a2＋50ab（立方米）．
答：
这段防洪堤坝的体积是（50a2＋50ab）立方米．
交流展示 生成新知
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
知识模块一 探究单项式与多项式相乘的法则
知识模块二 单项式与多项式相乘的法则的灵活运用
仿例（3，法二）：
解：
原式＝－（a3b＋2a2b2）－（5a3b－5a2b2）
＝－a3b－2a2b2－5a3b＋5a2b2
＝－6a3b＋3a2b2.
检测反馈 达成目标
【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．
课后反思 查漏补缺
1．收获：
________________________________________________________________________
2．存在困惑：
________________________________________________________________________
课题 多项式除以单项式
【学习目标】
1．掌握多项式除以单项式的运算法则及其应用；
2．了解多项式除以单项式的运算原理．
【学习重点】
多项式除以单项式的运算法则及其应用．
【学习难点】
探索多项式与单项式相除的运算法则的过程，并加以理解和领会．
行为提示：
创设问题情境导入，激发学生求知欲望．
知识链接：
单项式除以单项式法则：
单项式与单项式相除，分别把系数、同底数幂相除，作为商的一个因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
行为提示：
教会学生看书，独学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案．
教会学生落实重点．
方法指导：
1.除法与乘法互为逆运算，除以一个数等于乘以这个数的倒数．
2．应用法则时需注意：
（1）法则本质是把多项式除以单项式转化成单项式除以单项式；
（2）多项式除以单项式，所得到的商的项数和多项式的项数相同，当被除式的项与除式相同时，商是1，不能把“1”漏掉；
（3）在多项式除以单项式转化为单项式除以单项式的过程中，要特别注意结果的符号；
（4）要熟练地进行多项式除以单项式的运算，必须掌握它的基本运算，幂的运算性质是整式乘除法的基础．
学法指导：
除式系数为分数时，要特别注意改写为倒数与被除式各项系数相乘．情景导入 生成问题
1．同底数幂的除法法则是什么？
2．单项式除以单项式的法则是什么？
3．计算：
（1）－12a5b3c÷（－4a2b）；
（2）（－5a2b）2÷5a3b；（3）4（a＋b）7÷（a＋b）3.
解：
（1）3a3b2c；
（2）5ab；（3）4（a＋b）4.
自学互研 生成能力
阅读教材P40～P41，完成下面的内容：
1．根据除法的意义算一算（ax＋bx）÷x：
（ax＋bx）÷x就是要求一个式子，使它与x的乘积是ax＋bx.
因为（a＋b）x＝ax＋bx，所以（ax＋bx）÷x＝a＋b．
2．根据除法与乘法的关系算一算（ax＋bx）÷x：
（1）把除法算式a÷m转化为乘法算式是a×
；
（2）借用上述方法算一算（ax＋bx）÷x.
解：
（ax＋bx）÷x＝（ax＋bx）×
＝ax×
＋bx×
＝a＋b.
3．寻找新方法计算（ax＋bx）÷x.
解：
（ax＋bx）÷x＝ax÷x＋bx÷x＝a＋b.
新方法对吗？
分析如下：
（ax＋bx）÷x＝（ax＋bx）×
＝ax×
＋bx×
＝ax÷x＋bx÷x．
∴（ax＋bx）÷x＝ax÷x＋bx÷x.
4．归纳：
多项式除以单项式的法则是：
先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．
范例：
计算：
（1）（6x3y2－7x4y）÷xy；
（2）
÷（－0.5a2b）．
解：
（1）原式＝6x3y2÷xy－7x4y÷xy＝6x2y－7x3；
（2）原式＝0.3a2b÷（－0.5a2b）－
a3b2÷（－0.5a2b）－
a4b3÷（－0.5a2b）＝－
＋
ab＋
a2b2.
仿例：
计算：
（1）（x5y3－2x4y2＋3x3y5）÷
；
（2）（－12x3y3z＋6x2yz3－3xy3z2）÷（－3xyz）．
解：
（1）原式＝－
x4y2＋3x3y－
x2y4；
（2）原式＝4x2y2－2xz2＋y2z.
范例：
计算：
÷
ax2.
解：
原式＝
÷
ax2
＝（9a6x5＋27a6x6）÷
ax2
＝15a5x3＋45a5x4.
学法指导：
1.这个算式是两个单项式乘积的代数和，再除以一个单项式．可以先作单项式的乘法，把问题归结为多项式除以单项式的运算；
2．整式的混合运算同实数的混合运算一样，有括号的先算括号内的运算；没有括号时，先算乘方，再算乘除，最后算加减．计算的过程中，能合并同类项的要合并同类项．
行为提示：
教会学生怎么交流．先对学，再群学．充分在小组内展示自己，分析答案，提出疑惑，共同解决（可按结对子学—帮扶学—组内群学来开展）．在群学后期教师可有意安排每组展示问题，并给学生板书题目和组内演练的时间． 仿例：
计算：
（1）
÷9a4b2；
解：
原式＝
÷9a4b2
＝（9a5b2－27a4b7）÷9a4b2
＝a－3b5；
（2）[（2x＋y）2－y（y＋4x）－8x]÷2x.
解：
原式＝（4x2＋4xy＋y2－y2－4xy－8x）÷2x
＝（4x2－8x）÷2x
＝2x－4.
交流展示 生成新知
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
知识模块一 探索多项式除以单项式的法则
知识模块二 整式的混合运算
检测反馈 达成目标
【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．
课后反思 查漏补缺
1．收获：
________________________________________________________________________
2．存在困惑：
________________________________________________________________________
课题 多项式与多项式相乘
【学习目标】
1．探索多项式与多项式相乘的乘法法则；
2．会熟练地进行整式的乘法运算；
3．通过对乘法法则的探索、归纳与描述，发展具有条理的思考及语言表达能力．
【学习重点】
多项式与多项式的相乘法则及应用．
【学习难点】
探索多项式与多项式的乘法法则，灵活地进行整式的乘法运算．
知识链接：
1.单项式与单项式相乘的法则：
单项式和单项式相乘，只要将它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式；
2．单项式乘多项式法则：
单项式与多项式相乘，就是用单项式分别乘以多项式的每一项，再将所得的积相加．
行为提示：
认真阅读课本，独立完成“自学互研”中的题目．自主的完成有关的练习，并在练习中发现规律，从猜测到探索到理解知识．
学法指导：
三个多项式相乘，可先将其中两个相乘，再把积与剩下的一个多项式相乘．
学法指导：
解这类题目，应把等式左右两边的项化成对应的同类项，然后再比较同类项的系数．也可以抓住对应项成立的条件，采用取特殊值法求解．
学法指导：
变例：
（1）多项式展开后不含x项，说明展开后x项的系数为0；
（2）要使代数式的值与x的取值无关，则多项式展开后应为常数．
行为提示：
教会学生怎么交流．先对学，再群学．充分在小组内展示自己，分析答案，提出疑惑，共同解决
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