人教版高中数学二轮复习习题第九周 一次二次函数模型.docx

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人教版高中数学二轮复习习题第九周一次二次函数模型

第九周　一次、二次函数模型

重点知识梳理

1．一次函数模型：

f（x）＝ax＋b（a，b为常数，a≠0），

二次函数模型：

f（x）＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，a≠0）．

2．一次函数模型，其增长特点是直线上升（自变量的系数大于0）或直线下降（自变量的系数小于0）．对一次函数模型，主要是利用一次函数的图象与单调性求解．

二次函数模型，如面积问题、利润问题、产量问题等．解题时，一般利用配方法并结合二次函数图象与单调性解决．

3．在解决一次函数、二次函数的应用问题时，一定要注意定义域．

典型例题剖析

例1　某公司试销一种新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价500元/件，又不高于800元/件，经试销调查，发现销售量y（件）与销售单价x（元/件），可近似看做一次函数y＝kx＋b的关系（图象如下图所示）．

（1）根据图象，求一次函数y＝kx＋b的表达式；

（2）设公司获得的毛利润（毛利润＝销售总价－成本总价）为S元，

①求S关于x的函数表达式；

②求该公司可获得的最大毛利润，并求出此时相应的销售单价．

【解析】

（1）由图象可知

，

解得

，

所以y＝－x＋1000（500≤x≤800）．

（2）①由

（1）得S＝x×y－500y＝（－x＋1000）（x－500）

＝－x2＋1500x－500000（500≤x≤800）．

②由①可知S＝－（x－750）2＋62500，其图象开口向下，对称轴为x＝750，

所以当x＝750时，Smax＝62500.

即该公司可获得的最大毛利润为62500元，此时相应的销售单价为750元/件．

变式训练　农业技术员进行某种作物的种植密度试验，把一块试验田划分为8块面积相等的区域（除了种植密度，其它影响作物生长的因素都保持一致），种植密度和单株产量统计如下：

根据上表所提供信息，第________号区域的总产量最大，该区域种植密度为________株/m2.

【答案】5　3.6

【解析】由图中数据可得，y1＝0.3x＋2.1，y2＝－0.08x＋1.36，总产量y＝（0.3x＋2.1）（－0.08x＋1.36）

＝－0.024（x2＋10x－119），

故x＝5时取得最大值，即第5号区域的总产量最大，

该区域种植密度为y1＝0.3×5＋2.1＝3.6.

例2　为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为：

y＝

x2－200x＋80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．

该单位每月能否获利？

如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？

【解析】　设该单位每月获利为S，

则S＝100x－y

＝100x－

＝－

x2＋300x－80000

＝－

（x－300）2－35000，

因为400≤x≤600，

所以当x＝400时，S有最大值－40000.

故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40000元，才能不亏损．

变式训练　一块形状为直角三角形的铁皮，直角边长分别为40cm与60cm，现将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角．问怎样剪，才能使剩下的残料最少？

【解析】如图，剪出的矩形为CDEF，

设CD＝x，CF＝y，

则AF＝40－y.

∵△AFE∽△ACB，∴

＝

，

即

＝

.

∴y＝40－

x.

剩下的残料面积为

S＝

×60×40－x·y＝

x2－40x＋1200

＝

（x－30）2＋600，

∵0

∴当x＝30时，S取得最小值600，这时y＝20.

∴在边长60cm的直角边CB上截CD＝30cm，在边长为40cm的直角边AC上截CF＝20cm时，能使所剩残料最少．

例3　某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品在该售价的基础上每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．

（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；

（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？

最大的月利润是多少元？

【解析】

（1）y＝（210－10x）（50＋x－40）

＝－10x2＋110x＋2100（0

（2）y＝－10（x－5.5）2＋2402.5.

∵a＝－10<0，∴当x＝5.5时，y有最大值2402.5.

∵0

当x＝5时，50＋x＝55，y＝2400（元），当x＝6时，50＋x＝56，y＝2400（元）.

∴当售价定为每件55或56元，每个月的利润最大，最大的月利润是2400元．

变式训练　某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售时，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件，如果使得每天所赚的利润最大，那么他将销售价每件定为________．

【答案】14元

【解析】设销售价每件定为x元，则每件利润为（x－8）元，销售量为[100－10（x－10）]，

根据利润＝每件利润×销售量，

可得销售利润y＝（x－8）·[100－10（x－10）]

＝－10x2＋280x－1600＝－10（x－14）2＋360，

∴当x＝14时，y的最大值为360元．

跟踪训练

1．若一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm，则燃烧剩下的高度h（cm）与燃烧时间t（小时）的函数关系用图象表示为（　　）

2．某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为R%（即每销售100元征税R元），若年销售量为（30－

R）万件，要使附加税不少于128万元，则R的取值范围是（　　）

A．[4,8]B．[6,10]

C．[4%,8%]D．[6%,100%]

3．夏季高山上温度从山脚起每升高100米，降低0.7℃，已知山顶的温度是14.1℃，山脚的温度是26℃，则山的相对高度是（　　）米．

A．1800B．1700C．1600D．1500

4．某汽车销售公司在A、B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润（单位：

万元）为y1＝4.1x－0.1x2，在B地的销售利润（单位：

万元）为y2＝2x，其中x为销售量（单位：

辆）．若该公司在两地共销售16辆这种品牌汽车，则能获得的最大利润是（　　）

A．10.5万元B．11万元

C．43万元D．43.025万元

5．某种商品进货价每件50元，据市场调查，当销售价格（每件x元）在50≤x≤80时，每天售出的件数P＝

，当销售价格定为________元时所获利润最多．

6．某商店将进货价10元的商品按每个18元出售时，每天可卖出60个．商店经理到市场做了一番调研后发现，如将这种商品的售价（在每个18元的基础上）每提高1元，则日销售量就减少5个；如将这种商品的售价（在每个18元的基础上）每降低1元，则日销售量就增加10个．为获得每日最大的利润，此商品售价应定为每个_______元．

7．某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t小时内供水总量为120

吨（0≤t≤24），从供水开始到第________小时时，蓄水池中的存水量最少，最少水量是________吨．

8．某商场经营一批进价是30元/件的商品，在市场试销中发现，此商品销售价x元与日销售量y件之间有如下关系：

x

45

50

y

27

12

（1）确定x与y的一个一次函数关系式y＝f（x）；

（2）若日销售利润为P元，根据（I）中关系写出P关于x的函数关系，并指出当销售单价为多少元时，才能获得最大的日销售利润？

9．商场销售某一品牌的羊毛衫，购买人数是羊毛衫标价的一次函数，标价越高，购买人数越少．把购买人数为零时的最低标价称为无效价格，已知无效价格为每件300元．现在这种羊毛衫的成本价是100元/件，商场以高于成本价的价格（标价）出售．问：

（1）商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元？

（2）通常情况下，获取最大利润只是一种“理想结果”，如果商场要获得最大利润的75%，那么羊毛衫的标价为每件多少元？

10．某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y（万元）与年产量x（吨）之间的函数关系式可以近似地表示为y＝

－48x＋8000，已知此生产线年产量最大为210吨．若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？

最大利润是多少？

11．据市场分析，某蔬菜加工点，当月产量在10吨至25吨时，月生产总成本y（万元）可以看成月产量x（吨）的二次函数．当月产量为10吨时，月总成本为20万元；当月产量为15吨时，月总成本最低为17.5万元．

（1）写出月总成本y（万元）关于月产量x（吨）的函数关系；

（2）已知该产品销售价为每吨1.6万元，那么月产量为多少时，可获最大利润．

12．某投资公司投资甲、乙两个项目所获得的利润分别是P（亿元）和Q（亿元），它们与投资额t（亿元）的关系有经验公式P＝

，Q＝

t，今该公司将5亿元投资于这两个项目，其中对甲项目投资x（亿元），投资这两个项目所获得的总利润为y（亿元）．求：

（1）y关于x的函数表达式；

（2）总利润的最大值．

13．“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：

“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v（单位：

千克/年）是养殖密度x（单位：

尾/立方米）的函数．当x不超过4尾/立方米时，v的值为2千克/年；当4

（1）当0

（2）当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量（单位：

千克/立方米）f（x）＝x·v（x）可以达到最大？

并求出最大值．

参考答案

1．B　依题设可知，蜡烛高度h与燃烧时间t之间构成一次函数关系，

又∵函数图象必过点（0,20）、（4,0）两点，且该图象应为一条线段．

∴答案为B.

2．A　根据题意，要使附加税不少于128万元，需（30－

R）×160×R%≥128，整理得R2－12R＋32≤0，解得4≤R≤8，即R∈[4,8]．

3．B　设山的相对高度为x，单位百米，相应的温度为y，单位摄氏度，

∴y＝－0.7x＋26，令y＝14.1，

∴x＝17，所以山高1700米．

4．C　设利润为y，在A地销售x辆这种品牌汽车，则y＝4.1x－0.1x2＋2（16－x）

＝－0.1x2＋2.1x＋32＝－0.1（x－

）2＋32＋

，

当x＝10或x＝11时，有最大利润y＝43.

5．60

解析　设每天获利润y元，

则y＝（x－50）P＝

（50≤x≤80）．

问题转化为求u＝

（50≤x≤80）的最大值，

u＝

＝

－

＝－

＋

，

这是一个u关于

的二次函数，

当

＝－

＝

，

即x＝60∈[50,80]时，u取得最大值．

所以当销售价格定为每件60元时所获利润最大．

6．20

解析　设此商品每个售价为x元，每日利润为S元．

则当x≥18时有S＝[60－5（x－18）]（x－10）

＝－5（x－20）2＋500，

即当商品提价为20元时，每日利润最大，最大利润为500元；

当x＜18时有S＝[60＋10（18－x）]（x－10）

＝－10（x－17）2＋490，

即当商品降价为17元时，每日利润最大为490元．

综上所述，此商品售价应定为每个20元．

7．6　40

解析　设t小时后蓄水池中的水量为y吨，

则y＝400＋60t－120

（0≤t≤24），

令

＝x，即x2＝6t，且x∈[0,12]，

即y＝400＋10x2－120x＝10（x－6）2＋40,

∴当x＝6∈[0,12]，即t＝6时，ymin＝40.

8．解析　

（1）因为f（x）为一次函数，设y＝ax＋b，

解方程组

，

得a＝－3，b＝162，

故y＝162－3x为所求的函数关系式，

又∵y≥0，∴0≤x≤54.

（2）依题意得，

P＝（x－30）·y＝（x－30）·（162－3x）

＝－3（x－42）2＋432，

当x＝42时，P最大＝432，

即销售单价为42元/件时，获得最大日销售利润．

9．解析　

（1）设购买人数为n人，羊毛衫的标价为每件x元，利润为y元，则x∈（100,300]，

n＝kx＋b（k<0），∵0＝300k＋b，即b＝－300k，

∴n＝k（x－300），

y＝（x－100）k（x－300）

＝k（x－200）2－10000k（x∈（100,300]），

∵k＜0，∴x＝200时，ymax＝－10000k，

即商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件200元．

（2）由题意得，k（x－100）（x－300）＝－10000k·75%，

x2－400x＋37500＝0，

解得x＝250或x＝150，

所以，商场要获取最大利润的75%，每件标价为250元或150元．

10．解　设可获得总利润为R（x）万元，

则R（x）＝40x－y＝40x－

＋48x－8000

＝－

＋88x－8000

＝－

（x－220）2＋1680（0≤x≤210）．

∵R（x）在[0,210]上是增函数，

∴x＝210时，R（x）有最大值为－

（210－220）2＋1680＝1660.

∴年产量为210吨时，可获得最大利润1660万元．

11．解析　

（1）y＝a（x－15）2＋17.5（a∈R，a≠0），

将x＝10，y＝20代入上式得，20＝25a＋17.5，

解得a＝

，

∴y＝

（x－15）2＋17.5（10≤x≤25）．

（2）设利润为Q（x），则Q（x）＝1.6x－y，

＝1.6x－（

x2－3x＋40）

＝－

（x－23）2＋12.9（10≤x≤25），

因为x＝23∈[10,25]，所以月产量为23吨时，可获最大利润12.9万元．

12．解析　

（1）根据题意得y＝

＋

（5－x），x∈[0,5]．

（2）令t＝

，t∈[0，

]，则x＝

.

y＝－

t2＋

t＋

＝－

（t－2）2＋

，

因为2∈[0，

]，所以当

＝2时，即x＝2时，y最大值＝0.875.

答：

总利润的最大值是0.875亿元．

13．解　

（1）由题意得，当0

当4

显然v＝ax＋b在（4,20]内是减函数，

由已知得

解得

所以v＝－

x＋

，

故函数v＝

（2）设年生长量为f（x）千克/立方米，依题意并由

（1）可得f（x）＝

当0

故f（x）max＝f（4）＝4×2＝8；

当4

x2＋

x＝－

（x2－20x）＝－

（x－10）2＋

，f（x）max＝f（10）＝12.5.

所以当0

即当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米．