盈亏问题.docx

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盈亏问题

盈亏问题

【盈亏问题公式】

（1）一次有余（盈），一次不够（亏），可用公式：

　　（盈+亏）÷（两次每人分配数的差）=人数。

（2）两次都有余（盈），可用公式：

　　（大盈-小盈）÷（两次每人分配数的差）=人数。

（3）两次都不够（亏），可用公式：

　　（大亏-小亏）÷（两次每人分配数的差）=人数。

（4）一次不够（亏），另一次刚好分完，可用公式：

　　亏÷（两次每人分配数的差）=人数。

（5）一次有余（盈），另一次刚好分完，可用公式：

　　盈÷（两次每人分配数的差）=人数。

 一、  基本型盈亏问题  

基本概念：

一定量的物体，按照某种标准进行分组，最后会产生一种结果；

按照另一种标准进行分组，又会产生另一种结果。

    基本特点：

两个未知：

总份数，总数。

         两个一定：

总份数不变，总数不变。

    基本思路：

比较法：

（1）总份数=总差÷每份差 

（2）再代到任一条件求总数。

    基本题型：

盈盈型：

总份数=    （较大余数‐较小余数）÷每份差； 

亏亏型：

总份数=    （较大不足数‐较小不足数）÷每份差； 

盈亏型：

总份数=    （余数+不足数）÷每份差。

如：

小朋友分苹果，每人4本多10个；每人6本少8个，问多少人多少苹果？

两个未知：

人为份数，苹果为总数； 

两个一定：

人数不变，苹果数不变。

（1）人数=    （10+8）÷（6‐4）=9 

（2）苹果数=4×9+10=46       （或6×9‐8=46）  

    我们遇到的题目一定首先分清什么是份数，什么是总数，可以套一下人分苹

果模型，人为份数，苹果为总数。

    有变化的盈亏问题先把它转化成基本型盈亏。

    例1：

（2008春蕾杯小学数学邀请赛决赛）A、B买了相同张数的信纸。

A在

每个信封里装1张信纸，最后用完所有信封还剩40张信纸；B在每个信封里装3张信纸，最后用完所有的信纸还剩40个信封。

他们都买了多少张信纸？

    分析与答：

信封为份数，信纸为总数。

每个信封里装3张信纸，最后用完所有的信纸还剩40个信封，相当于如果把所有的信封用完还差3×40=120张信纸。

即：

每个信封里装1张信纸，还剩40张信纸； 

每个信封里装3张信纸，120张信纸。

信封数=    （40+120）÷（3‐1）=80 

信纸数=80×1+40=120 

   注：

很多同学的错误解法是信封数=（40+40）÷（3‐1）=40

一定注意第二个条件要把份数转化成总数再做题目。

学案一：

用绳子测游泳池水深，绳子两折时，多余60厘米；绳子三折时，还差40厘米，求绳子长和水深。

    分析与答：

水深为份数，绳长为总数。

注意两折时，实际上是绳长多60×2=120厘米 

   三折时绳长少40×3=120厘米 

   水深：

（120+120）÷（3‐2）=240厘米 

   绳长：

2×240+120=600厘米 

 二、份数变化型盈亏问题 

    基本型盈亏解决的是份数不变的题目，当份数变化时一定把它转化成对应的

人数不变的情形。

     例2：

（2010走美）春节前夕，一个富翁向该帮帮众施舍一笔钱财。

一开始他准备给每人100元，结果剩下350元，他决定每人多给20元。

这时从其他地方闻讯赶来了5个乞丐，如果他们每个人拿到的钱和其他乞丐一样多，富翁还需要再增加550元，原有多少名乞丐？

    分析与答：

乞丐分钱，乞丐为份数，钱为总数。

人数增加5人，每人120元差550元，相当于人数不增加，每人120元，余下120×5‐550=50元 

即：

每人100元，余350元； 

    每人120元，余50元 

人数：

（350‐50）÷（120‐100）=15 

    学案4：

发奖金，如果每人发90元，余下900元；如果人数增加

到2倍，奖金少了1800元。

问多少人？

多少奖金？

    分析与答：

人分奖金，人为份数，钱为总数。

如果人数增加到2倍，每人90元，相当于人数不变每人180元。

如果每人发90元，余下900元； 

如果每人180元，少了1800元。

人数：

（900+1800）÷（180‐90）=30人 

奖金：

30×90+900=3600元 

  附：

练习：

人分球，每人5个多10个，人数增加到3倍，每人2个少8个，问多少人多少球？

（18人，100个球） 

    三、  盈亏问题在行程问题当中的应用：

    例3：

小华从家到学校，他先用每分钟50米的速度走了2分钟，如果这样走下去，他就要迟到8分钟；如果改用每分钟60米，会早到5分钟，求家到学校的距离。

    分析与答：

时间为份数，路程为总 

    先不看开始每分钟50米的速度走了2分钟，即50×2=100米 

    分析CB段：

    每分钟走50米，迟到8分钟，走到规定时间，还差50×8=400米没走到（即走到D，路程比他走的多400米）； 

    每分钟走60米，早到5分钟，走到规定时间，还能多走60×5=300米（即走到E，路程比他走的少300米）。

    计划时间：

（400+300）÷（60‐50）=70分钟 

    CB路程：

50×70+400=3900米 

    家到学校距离AB：

3900+100=4000米。

 四、 分组标准不统一的盈亏问题：

    基本型盈亏解决的是分类标准统一的题目，当分类标准不统一时一定把它转

化成对应的分类标准统一的情形。

统一的标准一般是“其余” 

     学案3：

少先队去植树，每人挖5个坑，还有三个没人挖；如果其中2人各挖4个，其余每人挖6个，就刚好挖完。

有多少人，多少坑？

    分析与答：

人为份数，坑为总数。

    如果其中2人各挖4 个，其余每人挖6个，就刚好挖完。

相当于每人挖6个差（4‐2）×2=4个坑。

即：

每人挖5个坑，多3个； 

   每人挖6个坑，差4个。

   人数：

（3+4）÷（6‐5）=7人 

   坑总数：

7×5+3=38个 

    注：

如果其中2人各挖4个，其余每人挖6个，就刚好挖完。

分类标准不统一，有人挖4个。

也有人挖6个。

统一成与“其余”一样，每人挖6个差（4‐2）×2=4个坑。

     例4：

同学搬砖，有12人每人各搬7块，有20人每人各搬6块，其余每人各搬5块，这样最后剩下148块；如果有30人每人搬8块，有8人每人搬9块，其余每人搬10块，这样最后还剩下20块。

问有多少学生多少砖？

   分析与答：

人数为份数，转数为总数。

   有12人每人各搬7块，有20人每人各搬6块，其余每人各搬5块，这样最后剩下148块。

   分类标准不统一，统一标准找其余每人各搬5块。

即所有人都搬5块，那么搬7块的人每人能剩下7‐5=2块，12人可剩下12×2=24块；有20人每人各搬6块，可剩下20×（6‐5）=20块，

    这时共剩下24+20+148=192块。

本条件转化为：

如果每人各搬5块，则剩下

12×（7‐5）+20×（6‐5）+148=192块。

   如果有30人每人搬8块，有8人每人搬9块，其余每人搬10块，这样最后还剩下20块。

分类标准不统一，统一标准找其余每人各搬10块。

即所有人都搬10块，那么搬8块得每人差10‐8=2块，30人差2×30=60块；那么搬9块得每人差10‐9=1块，8人差1×8=8块，这时共差60+8‐20=48块。

本条件转化为：

如果每人各搬10块，差（10‐8）×30+ （9‐8）×8‐20=48块。

   如果每人各搬5块，剩192块； 

   如果每人各搬10块，差48块。

人数：

（192+48）÷（10‐5）=48人 

砖数：

48×10‐48=432块 

五、份数为多种事物的盈亏问题：

    基本型盈亏解决的是份数是同一种事物的题目，当份数不是同一种事物时一

定把它转化成对应的份数是同一种事物的情形。

转化条件找题目中描述两种事物

对应关系的关键条件。

     学案4：

（走美真题）幼儿园老师把一袋糖果分给小朋友，如果分给大

班的小朋友，每人5粒缺6粒；人过分给小班的小朋友，每人4粒余4粒。

已知大班比小班少2个小朋友，这袋糖果共有多少粒？

    分析与答：

人数为份数，糖果数为总数。

    分大班：

每人5粒缺6粒； 

    分小班：

每人4粒余4粒。

    份数不是同一种，即大班小班人数不一样，要先转化成同一个班，转化依据

是“大班比小班少2个小朋友”， 

    方法一：

把小班转化成大班：

分小班：

每人4粒余4粒，转化成分大班：

每

人4粒余4×2+4=12粒。

    即：

分小班：

每人5粒，缺6粒；每人4粒余12粒。

    大班人数：

（12+6）÷（5‐4）=18人 

    糖果总数5×18‐6=84粒 

    方法二：

当然本题也可以把分大班：

每人5粒缺6粒的条件转化成分小班：

每人5粒缺5×2+6=16粒，希望孩子们自己试试。

     例5（2010年迎春杯四年级初赛）小红去买水果，如果买5千克苹果则少4元，如果买6千克梨则少3元，已知苹果比梨每500克贵5角5分，问小红带了多少钱？

    分析与答：

苹果和梨的单价为份数，总钱数为总数。

    买苹果：

买5千克少4元； 

    买梨：

买6千克少3元。

    份数为两种事物：

苹果和梨，因此要转化为同一种，转化依据是“苹果比梨

每500克贵5角5分”即：

苹果比梨每千克贵1.1元。

    方法一：

把梨转化为苹果：

买梨：

买6千克少3元，用这些钱去买苹果，买6千克应该少1.1×6+3=9.6元。

   方法二：

把苹果转化成梨：

买苹果：

买5千克少4元，用这些钱去买梨，买5千克应多1.1×5‐4=1.5元， 

    买梨：

买5千克多1.5元； 

          买6千克少3元。

    梨的单价：

（1.5+3）÷（6‐5）=4.5元每千克 

    总钱数：

4.5×6‐3=24元 

 六、  同时分配多种事物的盈亏问题：

    基本型盈亏解决的是分配同一种事物的题目，当同时分配的事物不只一种

时，把其中某一种的分配数量调整相同，再比较数量不同的那一种。

    例6 （全国奥赛竞赛试题）苹果和梨各有若干个，如果每5个苹果和3个梨装一袋，还多4个苹果，梨正好装完；如果7个苹果和3个梨装一袋，苹果恰好装完，梨还多12个。

苹果和梨各多少个？

    分析与答：

同时分配两种事物：

苹果和梨； 

每袋：

5个苹果+3个梨，还多4个苹果； 

     7个苹果+3个梨，还多12个梨。

 盈亏问题的核心思路是比较法：

两种分法梨数量相同无法比较，所以应比较苹果数量，每袋7个苹果+3个梨，还多12个梨，

如果把全部梨分完还需要12÷4×7=28个苹果， 

每袋：

5个苹果+3个梨，还多4个苹果； 

     7个苹果+3个梨，还差28个苹果。

袋数为份数，苹果数为总量。

袋数：

（28+4）÷（7‐5）=16袋 

梨数：

16×3=48个 

苹果数：

16×5+4=84个。

   补充题（南京兴趣杯竞赛试题）有若干苹果和梨，如果1个苹果和3个梨放一堆，那么苹果分完时还剩2个梨，如果按半个苹果配两个梨一堆，那么梨分完时还剩半个苹果，苹果和梨各多少个？

    分析与答：

如果1个苹果和3个梨放一堆，还剩2个梨； 

             如果0.5个苹果和2个梨一堆，那么梨分完时还剩0.5个苹果。

   与上道题的不同之处在于苹果和梨的数量都不相同，选择把苹果的数量统一成一个（也可把梨的数量统一成6个，但是两个条件都要变，麻烦）即：

如果1个苹果和4个梨一堆，那么梨分完时还剩0.5个苹果。

    如果1个苹果和3个梨放一堆，还剩2个梨； 

    如果1个苹果和4个梨一堆，那么梨分完时还剩0.5个苹果。

这时苹果数相同，梨数不同，比较梨数，梨分完时还剩0.5个苹果，把这0.5个苹果分完，还差0.5×2个梨。

原题转化为：

    如果1个苹果和3个梨放一堆，还剩2个梨；

 堆数为份数，梨为总数。

    共（2+2）÷（4‐3）=4堆，即4个苹果 

    梨数：

4×3+2=14个 

七、 两次分配的是两种不同事物的盈亏问题：

    基本型盈亏解决的是分配同一种事物的题目，当分配的事物不只一种时，根

据题中的条件，把其中某一种的转化为另一种。

    例7：

幼儿园有苹果和桃子，苹果数是桃子的2倍，分给小朋友们。

每人分桃5个，最后余下桃子15个；每人分苹果14个，则苹果数差30个，那么幼儿园有桃和苹果各多少个？

    分析与答：

    分桃：

每人5个剩15个； 

    分苹果：

每人14个差30个。

    方法一：

根据苹果数是桃子的2倍，把分苹果：

每人14个差30个，转化为分桃：

每人7个差15个。

    即：

分桃：

每人5个剩15个；每人7个差15个。

    人数：

（15+15）÷（7‐5）=15人 

    桃数：

15×5+15=90个 

    苹果数：

90×2=180 

    方法二：

根据苹果数是桃子的2倍，分桃：

每人5个剩15个相当于分苹果：

每人10个剩30个.孩子们可以自己试试。