百校名题打印版河北省衡水中学学年高三第一次摸底考试数学文解析精品Word版.docx
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百校名题打印版河北省衡水中学学年高三第一次摸底考试数学文解析精品Word版
2019届河北省衡水中学
高三第一次摸底考试数学（文）试题
数学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：
每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：
用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题
1．已知集合2，3，，，则
A．B．C．D．
2．已知复数其中为虚数单位，则的共轭复数的虚部为
A．1B．C．D．
3．已知曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为
A．5B．C．D．
4．如图的折线图是某农村小卖部2018年一月至五月份的营业额与支出数据，根据该折线图，下列说法正确的是
A．该小卖部2018年前五个月中三月份的利润最高
B．该小卖部2018年前五个月的利润一直呈增长趋势
C．该小卖部2018年前五个月的利润的中位数为万元
D．该小卖部2018年前五个月的总利润为万元
5．如图是希腊著名数学家欧几里德在证明勾股定理时所绘制的一个图形，该图形由三个边长分别为的正方形和一个直角三角形围成现已知，，若从该图形中随机取一点，则该点取自其中的直角三角形区域的概率为
A．B．C．D．
6．已知椭圆的离心率为，且椭圆的长轴长与焦距之和为6，则椭圆的标准方程为
A．B．C．D．
7．在直三棱柱中，，且，点M是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为
A．B．C．D．
8．设命题将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象；命题若，则，则下列命题为真命题的是
A．B．C．D．
9．设函数，，若直线，分别是曲线与的对称轴，则
A．2B．0C．D．
10．某几何体的正视图和侧视图均为如图所示的等腰三角形，则该几何体的体积不可能是
A．B．2C．4D．6
11．已知双曲线的离心率为2，左，右焦点分别为，，点在双曲线上,若的周长为，则
A．B．C．D．
12．对于函数，若存在，使，则称点是曲线的“优美点”.已知，则曲线的“优美点”个数为
A．1B．2C．4D．6
二、解答题
13．已知数列满足，且．
求证：
数列为等差数列；
求数列的通项公式；
记，求数列的前2018项和．
14．在如图所示的多面体中，，平面．
（Ⅰ）证明：
平面；
（Ⅱ）若，，求三棱锥的体积．
15．如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网络外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分.某市一调查机构针对该市市场占有率最高的甲、乙两家网络外卖企业（以下简称外卖甲，外卖乙）的经营情况进行了调查，调查结果如表：
1日
2日
3日
4日
5日
外卖甲日接单（百单）
5
2
9
8
11
外卖乙日接单（百单）
2.2
2.3
10
5
15
（1）据统计表明，与之间具有线性相关关系.
（ⅰ）请用相关系数加以说明：
（若，则可认为与有较强的线性相关关系（值精确到0.001））
（ⅱ）经计算求得与之间的回归方程为.假定每单外卖业务企业平均能获纯利润3元，试预测当外卖乙日接单量不低于2500单时，外卖甲所获取的日纯利润的大致范围：
（值精确到0.01）
（2）试根据表格中这五天的日接单量情况，从平均值和方差角度说明这两家外卖企业的经营状况.
相关公式：
相关系数，
参考数据：
.
16．已知点是抛物线的焦点，若点在抛物线上，且
求抛物线的方程；
动直线与抛物线相交于两点，问：
在轴上是否存在定点其中，使得向量与向量共线其中为坐标原点？
若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
17．已知函数，其中为自然对数的底数．
讨论函数的极值；
若，证明：
当，时，．
18．在平面直角坐标系中，圆的参数方程为，为参数，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为
求圆的普通方程和圆的直角坐标方程；
若圆与圆相交于点，求弦的长．
19．已知函数．
求不等式的解集；
若关于的方程存在实数解，求实数的取值范围．
三、填空题
20．已知向量，，若，则______．
21．已知实数满足不等式组，则的最小值为______．
22．在中，角所对的边分别为，且满足，若的面积为，则______．
23．已知正方体的棱的中点为与交于点，平面过点，且与直线垂直，若，则平面截该正方体所得截面图形的面积为______．
2019届河北省衡水中学
高三第一次摸底考试数学（文）试题
数学答案
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
求出的定义域，化简集合，根据交集的定义求解即可.
【详解】
因为，，
所以，故选C．
【点睛】
研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合.
2．C
【解析】
【分析】
利用复数的除法运算法则：
分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，再利用共轭复数及虚部的定义求解即可.
【详解】
，
，
则的共轭复数的虚部为，故选C．
【点睛】
复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的摸这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
3．D
【解析】
【分析】
求出函数的导数，可得曲线在点处的切线斜率为5，再利用切线与已知直线垂直的条件：
斜率之积为，建立方程，可求的值．
【详解】
的导数为，
可得曲线在点的处的切线的斜率为，
直线的斜率为，
因为切线与直线垂直，
可得，
解得，故选D．
【点睛】
本题主要考查导数的几何意义，考查两条直线垂直斜率之间的关系，属于简单题．两直线垂直的性质：
（1）；
（2）.
4．D
【解析】
【分析】
由图中数据，分别求出5个月的利润，根据中位数的定义求出利润的中位数，结合选项即可判断．
【详解】
前五个月的利润，一月份为万元，
二月份为万元，三月份为万元，
四月份为万元，五月份为万元，
故选项错误；其利润的中位数万元，故C错误；
利润总和为万元，故D正确．
【点睛】
本题主要考查对折线图理解与的应用，中位数的求解方法，意在考查灵活应用所学知识解决实际问题的能力以及数形结合思想的应用，属于中档题．如果样本容量是奇数中间的数既是中位数，如果样本容量为偶数中间两位数的平均数既是中位数.
5．A
【解析】
【分析】
根据正方形的面积公式、直角三角形的面积公式求出图形总面积，由几何概型概率公式可得结果.
【详解】
因为，，
，
，
其中，
该点取自其中的直角三角形区域的概率为，故选A．
【点睛】
本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题.解决几何概型问题常见类型有：
长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：
（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；
（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时,忽视验证事件是否等可能性导致错误.
6．D
【解析】
【分析】
根据椭圆的离心率为，椭圆的长轴长与焦距之和为6，结合性质，列出关于、、的方程组，求出、，即可得结果.
【详解】
依题意椭圆：
的离心率为得，
椭圆的长轴长与焦距之和为6，，
解得，，则，
所以椭圆的标准方程为：
，故选D．
【点睛】
本题考查椭圆的简单性质与椭圆方程的求法，属于简单题．用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：
根据条件判断椭圆的焦点在轴上，还是在轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：
根据上述判断设方程或；③找关系：
根据已知条件，建立关于、、的方程组；④得方程：
解方程组，将解代入所设方程，即为所求.
7．B
【解析】
【分析】
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，求得，，利用空间向量夹角余弦公式能求出异面直线与所成角的余弦值．
【详解】
在直三棱柱中，，且，点是，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
设，
则，，，，
，，
设异面直线与所成角为，
则,
异面直线与所成角的余弦值为，故选B．
【点睛】
本题主要考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题．求异面直线所成的角主要方法有两种：
一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.
8．C
【解析】
【分析】
由三角函数的图象平移法则判断为假命题，由，利用二倍角的正弦公式结合同角三角函数的关系，求得的值，判断为真命题，再由复合命题的真假逐一判断选项中的命题即可．
【详解】
将函数的图象向右平移个单位，
得到函数的图象，
故命题为假命题，为真命题；
由，得，
故命题为真命题,为假命题；
由真值表可得为假；为假；
为真命题；为假命题,故选C．
【点睛】
本题通过判断或命题、且命题以及非命题的真假，综合考查三角函数图象的平移变换以及二倍角的正弦公式的应用，属于中档题.解答非命题、且命题与或命题真假有关的题型时，应注意：
（1）原命题与其非命题真假相反；
（2）或命题“一真则真”；（3）且命题“一假则假”.
9．C
【解析】
【分析】
利用辅助角公式以及降幂公式，化简函数的解析式，，再利用三角函数的图象的对称轴求得的值，从而可得的值．
【详解】
函数，
，
若直线，分别是曲线与的对称轴，
则，，．
即，，，
则
，故选C．
【点睛】
本题主要考查辅助角公式与降幂公式以及三角函数图象的对称性，属于中档题．函数的称轴方程可由求得；函数的称轴方程可由求得.
10．C
【解析】
【分析】
判断几何体的形状，几何体可能是圆锥、正四棱锥、三棱锥，然后求解几何体的体积，判断选项即可．
【详解】
几何体可能是圆锥，底面半径为1，高为3，几何体的体积为：
，排除；
几何体如果是正四棱锥，底面是正方形边长为2，高为3，几何体的体积为：
，排除；
几何体如果是三棱锥，底面是等腰三角形，底边长为2，三角形的高为2，三棱锥的高为3，几何体的体积为：
，排除,故选C．
【点睛】
本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.
11．B
【解析】
【分析】
利用双曲线的离心率以及双曲线的定义、结合的周长为，列方程组求出、；然后推出结果．
【详解】
双曲线的离心率为2，
左，右焦点分别为，，点在双曲线上,
若的周长为，
不妨在双曲线右支，
可得：
，，，
解得，，
所以，故选B．
【点睛】
本题主要考查双曲线定义与简单性质的应用，属于中档题．求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.
12．B
【解析】
【分析】
曲线的“优美点”个数，就是的函数关于原点对称的函数图象，与的图象的交点个数，求出的函数关于原点对称的函数解析式，与联立，解方程可得交点个数．
【详解】
曲线的“优美点”个数，
就是的函数关于原点对称的函数图象，与的图象的交点个数，
由可得，
关于原点对称的函数，，
联立和，
解得或，
则存在点和为“优美点”，
曲线的“优美点”个数为2，故选B．
【点睛】
本题考查新定义的理解和运用，考查转化思想和方程思想，属于难题．遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.
13．
（1）证明见解析；
（2）；（3）.
【解析】
【分析】
由，两边取倒数，化为，从而可得结论；利用的结论，由等差数列的通项公式可得，进一步求出数列的通项公式；，利用分组法求出数列的和．
【详解】
数列满足，且．
则：
，
所以：
数列为等差数列．
由于，
当时，
则
．
所以，．
当时，符合通项公式．
所以，．
由于=
所以：
，
，
．
【点睛】
本题主要考查等差数列的定义以及由数列的递推公式求通项，属于中档题.由数列的递推公式求通项常用的方法有：
（1）等差数列、等比数列（先根据条件判定出数列是等差、等比数列）；
（2）累加法，相邻两项的差成等求和的数列可利用累加求通项公式；（3）累乘法，相邻两项的商是能求出积的特殊数列时用累乘法求通项；（4）构造法，形如的递推数列求通项，往往用构造出等比数列，进而得出的通项公式.
14．
（1）证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】
由线面垂直的性质推导出，，结合，可得，进而，由此能证明平面；由
（1）可得是到平面的距离，等于到平面的距离,根据“等积变换”可得，，由此能求出结果．
【详解】
多面体中，，平面ADE，
平面ADE，平面ADE，
，，
，，
，又平面ABEF，，
，平面EFCD．
平面ADE，平面EFCD，
，，
三棱锥的体积：
．
【点睛】
本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间想象能力，是中档题．证明直线和平面垂直的常用方法有：
（1）利用判定定理；
（2）利用判定定理的推论；（3）利用面面平行的性质；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.
15．
（1）可认为有较强的线性相关关系；6030元；
（2）从平均值看，甲的平均值大些，即甲的接单量多些；从方差看，甲的方差小些，即甲的接单量波动性小些．
【解析】
【分析】
由题中数据，利用公式计算相关系数，与比较即可得出结论；由题意令解得的取值范围，计算的取值范围即可；根据表格中数据，直接利用平均数公式与方差公式计算平均数与方差，比较大小，由平均数与方差的实际意义即可得结论．
【详解】
由，，
则相关系数；
，可认为y与x有较强的线性相关关系；
由题意y与x之间的回归方程为，
由，解得，
，
外卖甲所获取的日纯利润大于或等于6030元；
根据表格中数据，计算，
，
，
，
从平均值看，甲的平均值大些，即甲的接单量多些；
从方差看，甲的方差小些，即甲的接单量波动性小些．
【点睛】
本题考查了平均数与方差的计算问题，也考查了相关系数的计算问题，是基础题．平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意平均数描述其集中趋势,方差和标准差描述其波动大小.
16．
（1）；
（2）存在，.
【解析】
【分析】
求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义可得的坐标，代入抛物线方程，解得，进而得到抛物线的方程；在轴上假设存在定点其中，使得与向量共线，可得轴平分，设，，联立和，根据恒成立，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简整理可得的方程，求得，可得结论．
【详解】
抛物线C：
的焦点为，
准线方程为，
即有，即，
则，解得，
则抛物线的方程为；
在x轴上假设存在定点其中，
使得与向量共线，
由，均为单位向量，且它们的和向量与共线，
可得x轴平分，
设，，
联立和，
得，
恒成立．
，
设直线DA、DB的斜率分别为，，
则由得，
，
，
联立，得，
故存在满足题意，
综上，在x轴上存在一点，使得x轴平分，
即与向量共线．
【点睛】
本题考查抛物线的方程、定义和性质，以及直线和抛物线的位置关系、转化与划归思想的应用，属于综合题．存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在.①当条件和结论不唯一时要分类讨论.②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件.③当条件和结论都不知，按常规方法很难时，采取另外的途径.
17．
（1）时，时，函数取得极小值；时，函数取得极大值；时，无极值；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
，对分类讨论，通过判断导函数的符号可得出单调性，根据单调性可得函数的极值；当，时，，只要证明即可，由可知：
在内单调递减，可得可得，令，利用导数研究其单调性可得，从而可得结果．
【详解】
解：
．
时，，令，解得或．
则函数在上单调递减，在内单调递增，在上单调递减．
时，函数取得极小值；时，函数取得极大值．
时，，函数在R上单调递减，无极值．
证明：
当，时，，只要证明即可，
由可知：
在内单调递减，．
，
令，
，
函数在上单调递减，
，
因此结论成立．
【点睛】
本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：
第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.
18．
（1）,；
（2）4.
【解析】
【分析】
利用平方法消去参数方程中的参数，可得普通方程，极坐标方程两边同乘以利用即可得直角坐标方程；利用两圆方程相减，首先求出公共弦所在的直线方程，进一步利用点到直线的距离公式，判定圆心在直线上，从而求出弦长．
【详解】
）圆的参数方程为，为参数，
可得，
平方相加转换为直角坐标方程为：
．
圆的极坐标方程为
可得,
转换为直角坐标方程为：
，
即：
．
由于，
整理得：
．
所以圆心到直线的距离，
圆心在直线上，
所以弦长．
【点睛】
本题主要考查参数方程与普通方程、直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用．参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如等三角恒等式）消去参数化为普通方程，利用关系式，等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．
19．
（1）；
（2）或．
【解析】
【分析】
对分三种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得结果；利用绝对值三角不等式求出的最小值为，解不等式，即可得结果．
【详解】
不等式，即，
可化为，或，
或，
解无解，解得，解得，
综合得：
，即原不等式的解集为．
因为，
关于x的方程存在实数解，
有解，则解得：
或．
实数m的取值范围为或．
【点睛】
绝对值不等式的常见解法：
①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．
20．-30
【解析】
【分析】
根据向量平行求出的值，再根据向量的数量积公式以及向量模的公式求解即可．
【详解】
因为向量，，，
，
，
，故答案为
【点睛】
本题考查了向量平行的性质和向量的数量积的运算，属于基础题．向量数量积的运算主要掌握两点：
一是数量积的基本公式或；二是向量的平方等于向量模的平方.
21．-6
【解析】
【分析】
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.
【详解】
画出实数满足不等式组表示的平面区域，
将变形为，
平移直线，
由图可知当直经过点时，
直线在轴上的截距最大，
当目标函数过点时，取得最小值，
由，解得，
的最小值为．故答案为．
【点睛】
本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：
（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；
（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
22．4
【解析】
【分析】
由正弦定理化简已知等式可得，由余弦定理可得，根据同角三角函数基本关系式可得，进而利用三角形面积公式即可计算得解．
【详解】
，
由正弦定理可得，，即：
，
由余弦定理可得，，
可得，
的面积为，可得，
解得，故答案为4．
【点睛】
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，属于中档题．解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
23．
【解析】
【分析】
利用勾股定理证明，由线面垂直的性质证明，根据线面垂直的判定定理可得平面，求出的面积即可得结果．
【详解】
如图所示，正方体中，为棱的中点，，
则，
，
，
，
；
又平面，
，且，
平面，
且，
即截该正方体所得截面图形的面积为．故答案为．
【点睛】
本题主要考查正方体的性质、线面垂直的判定定理，属于难题.解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理.
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