三、解答题
15.已知函数f(x)=x3-3x2-9x+11.
(1)写出函数f(x)的递减区间;
(2)讨论函数f(x)的极大值或极小值,如有试写出极值.
[解析] f′(x)=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3),
令f′(x)=0,得x1=-1,x2=3.
x变化时,f′(x)的符号变化情况及f(x)的增减性如下表所示:
x
(-∞,-1)
-1
(-1,3)
3
(3,+∞)
f′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
增
极大值
f(-1)
减
极小值
f(3)
增
(1)由表可得函数的递减区间为(-1,3);
(2)由表可得,当x=-1时,函数有极大值为f(-1)=16;当x=3时,函数有极小值为f(3)=-16.
16.设函数f(x)=ax3+bx2+cx,在x=1和x=-1处有极值,且f
(1)=-1,求a、b、c的值,并求出相应的极值.
[解析] f′(x)=3ax2+2bx+c.
∵x=±1是函数的极值点,∴-1、1是方程f′(x)=0的根,即有
又f
(1)=-1,则有a+b+c=-1,
此时函数的表达式为f(x)=
x3-
x.
∴f′(x)=
x2-
.
令f′(x)=0,得x=±1.
当x变化时,f′(x),f(x)变化情况如下表:
x
(-∞,-1)
-1
(-1,1)
1
(1,+∞)
f′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
极大
值1
极小
值-1
由上表可以看出,当x=-1时,函数有极大值1;当x=1时,函数有极小值-1.
17.已知函数f(x)=ax3+bx2-3x在x=±1处取得极值.
(1)讨论f
(1)和f(-1)是函数f(x)的极大值还是极小值;
(2)过点A(0,16)作曲线y=f(x)的切线,求此切线方程.
[解析]
(1)f′(x)=3ax2+2bx-3,依题意,
f′
(1)=f′(-1)=0,即
解得a=1,b=0.
∴f(x)=x3-3x,
f′(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1).
令f′(x)=0,得x1=-1,x2=1.
若x∈(-∞,-1)∪(1,+∞),则f′(x)>0,故
f(x)在(-∞,-1)上是增函数,
f(x)在(1,+∞)上是增函数.
若x∈(-1,1),则f′(x)<0,故
f(x)在(-1,1)上是减函数.
∴f(-1)=2是极大值;f
(1)=-2是极小值.
(2)曲线方程为y=x3-3x.点A(0,16)不在曲线上.
设切点为M(x0,y0),则点M的坐标满足y0=x
-3x0.
∵f′(x0)=3(x
-1),故切线的方程为
y-y0=3(x
-1)(x-x0).
注意到点A(0,16)在切线上,有
16-(x
-3x0)=3(x
-1)(0-x0).
化简得x
=-8,解得x0=-2.
∴切点为M(-2,-2),
切线方程为9x-y+16=0.
18.(2018·北京文,18)设函数f(x)=
x3+bx2+cx+d(a>0),且方程f′(x)-9x=0的两个根分别为1,4.
(1)当a=3且曲线y=f(x)过原点时,求f(x)的解析式;
(2)若f(x)在(-∞,+∞)内无极值点,求a的取值范围.
[解析] 本题考查了函数与导函数的综合应用.
由f(x)=
x3+bx2+cx+d得f′(x)=ax2+2bx+c
∵f′(x)-9x=ax2+2bx+c-9x=0的两根为1,4.
(1)当a=3时,由(*)式得
,
解得b=-3,c=12.
又∵曲线y=f(x)过原点,∴d=0.
故f(x)=x3-3x2+12x.
(2)由于a>0,所以“f(x)=
x3+bx2+cx+d在(-∞,+∞)内无极值点”等价于“f′(x)=ax2+2bx+c≥0在(-∞,+∞)内恒成立”
由(*)式得2b=9-5a,c=4a.
又∵Δ=(2b)2-4ac=9(a-1)(a-9)
解
得a∈[1,9],
即a的取值范围[1,9].