九年级数学上册38弧长及扇形的面积展围转解剖圆锥的三把利刃素材新版浙教版.docx
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九年级数学上册38弧长及扇形的面积展围转解剖圆锥的三把利刃素材新版浙教版
2019-2020年九年级数学上册3.8弧长及扇形的面积展围转解剖圆锥的三把利刃素材新版浙教版
“展、围、转”三把利刃为我们从不同侧面研究圆锥（柱）提供了可以信赖的有效操作手段，架起立体图形与平面图形相互转化的桥梁.对诠释圆锥——扇形（侧面展开图）、圆柱——矩形（侧面展开图）元素之间的相互关系起到了极为重要的作用.下面结合近年的考题阐释如下.
1、“展”
把一个圆锥（柱）的侧面沿它的一条母线剪开，平铺展开在一个平面上得到的图形称为圆锥（柱）的侧面展开图.
圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长；圆柱的侧面展开图是矩形，这个矩形的一边长等于圆柱的高，即母线长，另一边长等于底面圆的周长（见图甲）.
如果我们在解题时能够抓住“展”之前、后相关元素之间的等量关系，可谓是“天堑变通途”计算时便会游刃有余.
例1、如图1，小丽自己动手做了一顶圆锥形的圣诞帽，母线长是，底面半径是，她想在帽子上缠一根漂亮的丝带，从出发绕帽子侧面一周，至少需要丝带（ ）
A．B．
C．D．
分析：
将帽子展开得到如图1所示的扇形OAB，其中弧AB的长度就是帽子底面圆的周长，所以2×10=，∴∠AOB=120°，线段AB的长度就是从出发绕帽子侧面一周，至少需要丝带的长.
过点O作OD⊥AB，∵OA=OB，根据等腰三角形的三线合一的性质知∠AOD=60°，在Rt△ADO中，AD=OA·sin60°∴AB=2AD=2OA·sin60°=2×30×=30.故选C.
2、“围”
“围”与“展”是圆锥（柱）与侧面展开图之间逆向转化的两种手段.既可以把扇形围成圆锥侧面也可以把矩形围成圆柱侧面，此时扇形的弧长变成圆锥底面的周长，扇形的半径变成圆锥的母线；矩形的一边长变成圆柱底面的周长，矩形的另一边长等于圆柱的高（或母线长）.
例2、已知一个圆柱体侧面展开图为矩形（如图2），
若，，则该圆柱体的体积约
为（取，结果精确到0.1）．
分析：
由于本题未告诉怎样去“围”，因而应分类来考虑，①若用边长AB围成圆柱底面圆的周长，此时圆柱体的体积约为×18.28=59.2（cm3）或②若用边长BC围成圆柱底面圆的周长，此时圆柱体的体积约为×6.28=177.5（cm3）
例3、如图3，从一个直径是2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为的扇形．
（1）求这个扇形的面积（结果保留）．
（2）在剩下的三块余料中，能否从第③块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥？
请说明理由．
（3）当⊙O的半径为任意值时，
（2）中的结论是否仍然成立？
请说明理由．
析解：
（1）连接，由勾股定理求得：
（2）连接并延长，与弧和交于，
弧的长：
圆锥的底面直径为：
，不能在余料③中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥．
（3）由勾股定理求得：
弧的长：
圆锥的底面直径为：
且即无论半径为何值，
不能在余料③中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥．
3、“挖”
例4（06年贵阳）、如图2，这是一个由圆柱体材料加工而成的零件，它是以圆柱体的上底面为底面，在其内部“掏取”一个与圆柱体等高的圆锥体而得到的，其底面直径AB=，高BC=，求这个零件的表面积；（结果保留）
图2
分析：
本题是一道与零件的表面的计算有关的实际问题，观察零件表面可知其表面是由圆柱的侧面，圆锥的侧面以及圆组成，分别求出圆锥侧面积，圆柱侧面和圆的面积.然后将三者相加即可.
解：
这个零件的底面积=，
这个零件的侧面积=，
圆锥母线长OB=.
这个零件的内侧面积=，
∴这个零件的表面积为：
.
4、“转”
由于圆柱（锥）可以看作是旋转体，直角三角形绕其中的一条直角边旋转一周可以形成一个圆锥，矩形绕其中的一边旋转一周得到圆柱.不同的旋转轴会形成不同的圆柱（锥）.因此，如果碰到圆柱（锥）是由某图形旋转得到，而且没有说明其中的旋转轴的问题时，我们应该分类来考虑.
如图，中，，．将绕所在的直线旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的侧面积．（取3.14，结果保留两个有效数字）
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4.
以直线AB为轴，把△ABC旋转1周，求所得几何体的表面积.
分析：
过点D作CD⊥AB，则以直线AB为轴，把△ABC旋转1周，得到两个底面半径为CD相同的圆锥，其中一个圆锥的母线是AC，另一个圆锥的母线是BC.由面积公式得AC·BC=CD·AB∴CD=2.4，∴所得几何体的表面积为CD·AC+CD·BC=CD（AC+BC）=2.4×7=16.8.
请同学们思考：
本题若改为绕Rt△ABC的一边为轴旋转，所得几何体的表面积，应如何解答呢？
尝试探究：
1、（09年山东省日照市）将直径为60cm的圆形铁皮，做成三个相同的圆锥容器的侧面（不浪费材料，不计接缝处的材料损耗），那么每个圆锥容器的底面半径为（）
（A）10cm（B）30cm
（C）40cm（D）300cm
2、（09年杭州市）如图是一个几何体的三视图。
（1）写出这个几何体的名称；
（2）根据所示数据计算这个几何体的表面积；
（3）如果一只蚂蚁要从这个几何体中的点B出发，沿表面爬到AC的中点D，请你求出这个线路的最短路程
3、09黔东南州设矩形ABCD的长与宽的和为2，以AB为轴心旋转一周得到一个几何体，则此几何体的侧面积有（）
（A）最小值4π（B）最大值4π
（C）最大值2π（D）最小值2π
2019-2020年九年级数学上册4.7图形的位似练习新版浙教版
第一部分
1、如图，四边形A'B'C'D'是四边形ABCD的位似图形，是位似中心，相似比为1∶2，S四边形A'B'C'D'∶S四边形ABCD=，图中除四边形A'B'C'D'，的四边形ABCD外，还可以找到对相似三角形（可用字母表示的），它们是.
2、以点M为位似中心，画出四边形ABCD的位似图形四边形A1B1C1Dl，使得四边形ABCD与四边形A1B1C1Dl的相似比为2∶1.
3、小明要在给定的锐角△ABC中，求作一个正方形DEFG，使D，E落在BC边上，F，G分别落在AC，AB上，他的作法如下：
第一步：
画一个有三个顶点在△ABC两边上的正方形D′E′F′G′（如图）；
第二步：
连结B、F′并延长交AC于点F；
第三步：
过F点作FE⊥BC,垂足为点E；第四步：
过F点作FG∥BC交AB于点G；
第五步：
过G点作GD⊥BC，垂足为点D.四边形DEFG即为所求作的正方形.
小明的作法合理吗？
请你给出合理的解释.
4、如图所示，点O是△ABC外的一点，分别在射线OA，OB，OC上取一点A’，B’，C’，使得，连结A’B’，B’C’，C’A’，所得△A’B’C’与△ABC是否相似？
证明你的结论.
第二部分
1.下列说法正确的是…………………………………………………………………（）
A．只有位似方法才能把一个图形放大或缩小B．两个相似的图形一定位似
C．两个位似的图形一定相似D．利用位似的方法无法作两个
2.如图，△ABC和△DEF是位似图形，且D是OA的中点，则等于……………（）
A.B.C.D.
3.如图，已知△OCD位似和△OAB是位似三角形，则中心是………………………（）
A.点AB.点CC.点OD.点B
4.如图，五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1是位似图形，且PA1=PA，则AB∶A1B1等于（）
A.B.C.D.
5.如图，△ABC和△DEF是位似三角形，且AC=2DF，那么OE∶OB=.
6.如图，已知矩形ABCD与矩形EFGH是位似图形，OB∶OF=3∶5，则矩形ABCD的面积∶矩形EFGH的面积=.
7.如图，与是位似图形，且位似比是1∶2，若AB=2cm，则cm，并在图中画出位似中心O．
8.在平面直角坐标系中，已知A（6，3），B（6，0）两点，以坐标原点O为位似中心，相似比为，把线段AB缩小后得到线段A’B’，则A’B’的长度等于____________．
9.以点P为位似中心，将△ABC放大到原来的2倍．
10.正方形网格中有一条简笔画“鱼”，请你以点为位似中心放大，使新图形与原图形的对应线段的比是2∶1（不要求写作法）.
参考答案
第一部分
第二步：
连结B、F′并延长交AC于点F；
第三步：
过F点作FE⊥BC,垂足为点E；第四步：
过F点作FG∥BC交AB于点G；
第五步：
过G点作GD⊥BC，垂足为点D.四边形DEFG即为所求作的正方形.
小明的作法合理吗？
请你给出合理的解释.
【解】小明的作法合理.
∵GF∥G′F′，∴.
∵E′F′∥EF， ∴.
同理，
∴四边形DEFG是正方形D′E′F′G′关于位似中心B的位似图形.
∴两个四边形相似，即四边形DEFG是正方形.
4、如图所示，点O是△ABC外的一点，分别在射线OA，OB，OC上取一点A’，B’，C’，使得，连结A’B’，B’C’，C’A’，所得△A’B’C’与△ABC是否相似？
证明你的结论.
【解】△A’B’C’∽△ABC
由已知，∠AOC=∠A/OC/，∴△AOC∽△A/OC/，∴.
同理，.∴，∴△A’B’C’∽△ABC.
第二部分
1.下列说法正确的是…………………………………………………………………（）
A．只有位似方法才能把一个图形放大或缩小B．两个相似的图形一定位似
C．两个位似的图形一定相似D．利用位似的方法无法作两个
答案：
C
2.如图，△ABC和△DEF是位似图形，且D是OA的中点，则等于……………（）
A.B.C.D.
答案：
A
3.如图，已知△OCD位似和△OAB是位似三角形，则中心是………………………（）
A.点AB.点CC.点OD.点B
答案：
C
4.如图，五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1是位似图形，且PA1=PA，则AB∶A1B1等于（）
A.B.C.D.
答案：
B
5.如图，△ABC和△DEF是位似三角形，且AC=2DF，那么OE∶OB=.
答案：
1∶2
6.如图，已知矩形ABCD与矩形EFGH是位似图形，OB∶OF=3∶5，则矩形ABCD的面积∶矩形EFGH的面积=.
答案：
9∶25
7.如图，与是位似图形，且位似比是1∶2，若AB=2cm，则cm，并在图中画出位似中心O．
答案：
4点O位置如图
8.在平面直角坐标系中，已知A（6，3），B（6，0）两点，以坐标原点O为位似中心，相似比为，把线段AB缩小后得到线段A’B’，则A’B’的长度等于____________．
答案：
1
9.以点P为位似中心，将△ABC放大到原来的2倍．
解：
如图.
10.正方形网格中有一条简笔画“鱼”，请你以点为位似中心放大，使新图形与原图形的对应线段的比是2∶1（不要求写作法）.
解：
如图.
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