2011年广州市普通高中毕业班综合测试(一)数学(文科)参考答案及评分标准.doc
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试卷类型:
A
2011年广州市普通高中毕业班综合测试
(一)
数学(文科)2011.3
本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟.
注意事项:
1.答卷前,考生务必用2B铅笔在“考生号”处填涂考生号,用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的市、县/区、学校,以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上.
2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4.作答选做题时,请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答.漏涂、错涂、多涂的,答案无效.
5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.
参考公式:
锥体的体积公式,其中为锥体的底面面积,为锥体的高.
样本的方差,其中.
一、选择题:
本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的.
1.已知集合,且,则实数的值为
A.B.C.D.
2.已知i为虚数单位,若复数i,i,则
A.iB.iC.iD.i
3.已知向量,,且,则的值为
A.B.C.D.
4.已知椭圆与双曲线有相同的焦点,则的值为
A.B.C.D.
5.各项都为正数的等比数列中,,则公比的值为
A.B.C.D.
6.函数为自然对数的底数在上
A.有极大值B.有极小值C.是增函数D.是减函数
开始
=3
k=k+1
输出k,n
结束
是
否
输入
7.阅读图1的程序框图.若输入,则输出的值为
A.B.
C.D.
8.已知、是不同的两条直线,、是不重合的两个平面,
则下列命题中为真命题的是
A.若,则
B.若,则
C.若,则
D.若,则
图1
9.向等腰直角三角形内任意投一点,则小于的概率为
A.B.C.D.
10.某所学校计划招聘男教师名,女教师名,和须满足约束条件
则该校招聘的教师人数最多是
A.6B.8C.10D.12
二、填空题:
本大题共5小题,考生作答4小题,每小题5分,满分20分.
(一)必做题(11~13题)
11.为了了解某地居民每户月均用电的基本情况,
抽取出该地区若干户居民的用电数据,得到频
率分布直方图如图2所示,若月均用电量在
区间上共有150户,则月均用电
量在区间上的居民共有户.
12.△的三个内角、、所对边的
长分别为、、,已知,
则的值为.
13.已知函数满足且对任意R都有,
记,则.
(二)选做题(14~15题,考生只能从中选做一题)
14.(几何证明选讲选做题)如图3,是圆的切线,切点为,
点、在圆上,,
则圆的面积为.
15.(坐标系与参数方程选讲选做题)在极坐标系中,若过点
且与极轴垂直的直线交曲线于、两点,图3
则.
三、解答题:
本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16.(本小题满分12分)
已知函数(R).
(1)求的最小正周期和最大值;
(2)若为锐角,且,求的值.
17.(本小题满分12分)
某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品,在自动包装传送带上每隔1小时抽一包产品,称其重
量(单位:
克)是否合格,分别记录抽查数据,获得重量数据的茎叶图如图4.
(1)根据样品数据,计算甲、乙两个车间产品重量的均值与方差,并说明哪个车间的产品的重量相对较稳定;
(2)若从乙车间6件样品中随机抽取两件,求所抽取的两件样品的重量之差不超过2克的概率.
18.(本小题满分14分)
如图5,在三棱柱中,侧棱底面,为的中点,
.
(1)求证:
平面;
(2)求四棱锥的体积.
图5
19.(本小题满分14分)
动点与点的距离和它到直线的距离相等,记点的轨迹为曲线.圆
的圆心是曲线上的动点,圆与轴交于两点,且.
(1)求曲线的方程;
(2)设点2,若点到点的最短距离为,试判断直线与圆的位置关系,
并说明理由.
20.(本小题满分14分)
设各项均为正数的数列的前项和为,已知数列是首项为,公差为的等差
数列.
(1)求数列的通项公式;
(2)令,若不等式对任意N都成立,
求实数的取值范围.
21.(本小题满分14分)
已知函数满足,对于任意R都有,且
令.
(1)求函数的表达式;
(2)求函数的单调区间;
(3)研究函数在区间上的零点个数.
2011年广州市普通高中毕业班综合测试
(一)
数学(文科)试题参考答案及评分标准
说明:
1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数.
2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.
3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分.
一、选择题:
本大题主要考查基本知识和基本运算.共10小题,每小题5分,满分50分.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
A
B
C
C
C
B
D
D
C
二、填空题:
本大题主要考查基本知识和基本运算.本大题共5小题,考生作答4小题,每小题5分,满分20分.其中14~15题是选做题,考生只能选做一题.
11.30012.13.3214.15.
三、解答题:
本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16.(本小题满分12分)
(本小题主要考查三角函数性质,同角三角函数的基本关系、两倍角公式等知识,考查化归与转化的数学思想方法和运算求解能力)
(1)解:
……2分
……3分
.……4分
∴的最小正周期为,最大值为.……6分
(2)解:
∵,∴.……7分
∴.……8分
∵为锐角,即,∴.
∴.……10分
∴.……12分
17.(本小题满分12分)
(本小题主要考查茎叶图、样本均值、样本方差、概率等知识,考查或然与必然的数学思想方法,以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识)
(1)解:
……1分
……2分
……3分
……4分
∵,,……5分
∴甲车间的产品的重量相对较稳定.……6分
(2)解:
从乙车间6件样品中随机抽取两件,共有15种不同的取法:
.……8分
设表示随机事件“所抽取的两件样品的重量之差不超过2克”,则的基本事件有4种:
.……10分
故所求概率为.……12分
18.(本小题满分14分)
(本小题主要考查空间线面关系、锥体的体积等知识,考查数形结合、化归与转化的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力)
(1)证明:
连接,设与相交于点,连接,
∵四边形是平行四边形,
∴点为的中点.
∵为的中点,
∴为△的中位线,
∴.……3分
∵平面,平面,
∴平面.……6分
(2)解法1:
∵平面,平面,
∴平面平面,且平面平面.
作,垂足为,则平面,……8分
∵,,
在Rt△中,,,
……10分
∴四棱锥的体积……12分
.
∴四棱锥的体积为.……14分
解法2:
∵平面,平面,
∴.
∵,
∴.
∵,
∴平面.……8分
取的中点,连接,则,
∴平面.
三棱柱的体积为,……10分
则,.
……12分
而,
∴.∴.
∴四棱锥的体积为.……14分
19.(本小题满分14分)
(本小题主要考查求曲线的轨迹方程、直线、圆、抛物线等知识,考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法,以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识)
(1)解法1:
设动点的坐标为,依题意,得,
即,……2分
化简得:
∴曲线的方程为.……4分
解法2:
由于动点与点的距离和它到直线的距离相等,
根据抛物线的定义可知,动点的轨迹是以点为焦点,直线为准线的抛物线.
……2分
∴曲线的方程为.……4分
(2)解:
设点的坐标为,圆的半径为,
∵点是抛物线上的动点,
∴().
∴……6分
.
∵,∴,则当时,取得最小值为,……8分
依题意得,
两边平方得,
解得或(不合题意,舍去).……10分
∴,,即.
∴圆的圆心的坐标为.
∵圆与轴交于两点,且,
∴.
∴.……12分
∵点到直线的距离,
∴直线与圆相离.……14分
20.(本小题满分14分)
(本小题主要考查数列、不等式等知识,考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法,以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识)
(1)解:
∵数列是首项为,公差为的等差数列,
∴.
∴.……2分
当时,;
当时,.
又适合上式.
∴.……4分
(2)解:
.……6分
∴
.……8分
故要使不等式对任意N都成立,
即对任意N都成立,
得对任意N都成立.……10分
令,则.
∴.∴.……12分
∴.
∴实数的取值范围为.……14分
[另法]:
.
∴.∴.……12分
∴.
∴实数的取值范围为.……14分
21.(本小题满分14分)
(本小题主要考查二次函数、函数的性质、函数的零点、分段函数等知识,考查函数与方程、分类与整合的数学思想方法,以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和应用意识)
(1)解:
∵,∴.……1分
∵对于任意R都有,
∴函数的对称轴为,即,得.……2分
又,即对于任意R都成立,
∴,且.
∵,∴.
∴.……4分
(2)解:
……5分
①当时,函数的对称轴为,
若,即,函数在上单调递增;……6分
若,即,函数在上单调递增,在上单调递减.
……7分
②当时,函数的对称轴为,
则函数在上单调递增,在上单调递减.……8分
综上所述,当时,函数单调递增区间为,单调递减区间为
;……9分
当时,函数单调递增区间为和,单调递减区间为
和.……10分
(3)解:
①当时,由
(2)知函数在区间上单调递增,
又,
故函数在区间上只有一个零点.……11分
②当时,则,而,
,
(ⅰ)若,由于,
且,
此时,函数在区间上只有一个零点;……12分
(ⅱ)若,由于且,此时,函数在区间
上有两个不同的零点.……13分
综上所述,当时,函数在区间上只有一个零点;
当时,函数在区间上有两个不同的零点.……14分
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