高中数列知识点、解题方法和题型大全文档格式.doc
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(2)叠乘法
如:
数列中,,求
解,∴又,∴.
(3)等差型递推公式
由,求,用迭加法
时,两边相加得
∴
[练习]数列中,,求()
(4)等比型递推公式
(为常数,)
可转化为等比数列,设
令,∴,∴是首项为为公比的等比数列
∴,∴
(5)倒数法
,求
由已知得:
,∴
∴为等差数列,,公差为,∴,
(附:
公式法、利用、累加法、累乘法.构造等差或等比或、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法)
2求数列前n项和的常用方法
(1)裂项法
把数列各项拆成两项或多项之和,使之出现成对互为相反数的项.
是公差为的等差数列,求
解:
由
[练习]求和:
(2)错位相减法
若为等差数列,为等比数列,求数列(差比数列)前项和,可由,求,其中为的公比.
①
②
①—②
时,,时,
(3)倒序相加法
把数列的各项顺序倒写,再与原来顺序的数列相加.
相加
[练习]已知,则
∴原式
a.用倒序相加法求数列的前n项和
如果一个数列{an},与首末项等距的两项之和等于首末两项之和,可采用把正着写与倒着写的两个和式相加,就得到一个常数列的和,这一求和方法称为倒序相加法。
我们在学知识时,不但要知其果,更要索其因,知识的得出过程是知识的源头,也是研究同一类知识的工具,例如:
等差数列前n项和公式的推导,用的就是“倒序相加法”。
b.用公式法求数列的前n项和
对等差数列、等比数列,求前n项和Sn可直接用等差、等比数列的前n项和公式进行求解。
运用公式求解的注意事项:
首先要注意公式的应用范围,确定公式适用于这个数列之后,再计算。
c.用裂项相消法求数列的前n项和
裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项,使得前后项相抵消,留下有限项,从而求出数列的前n项和。
d.用错位相减法求数列的前n项和
错位相减法是一种常用的数列求和方法,应用于等比数列与等差数列相乘的形式。
即若在数列{an·
bn}中,{an}成等差数列,{bn}成等比数列,在和式的两边同乘以公比,再与原式错位相减整理后即可以求出前n项和。
e.用迭加法求数列的前n项和
迭加法主要应用于数列{an}满足an+1=an+f(n),其中f(n)是等差数列或等比数列的条件下,可把这个式子变成an+1-an=f(n),代入各项,得到一系列式子,把所有的式子加到一起,经过整理,可求出an,从而求出Sn。
f.用分组求和法求数列的前n项和
所谓分组求和法就是对一类既不是等差数列,也不是等比数列的数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并。
g.用构造法求数列的前n项和
所谓构造法就是先根据数列的结构及特征进行分析,找出数列的通项的特征,构造出我们熟知的基本数列的通项的特征形式,从而求出数列的前n项和。
三方法总结及题型大全
方法技巧
数列求和的常用方法
一、直接(或转化)由等差、等比数列的求和公式求和
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.
等差数列求和公式:
2、等比数列求和公式:
4、
例1(07高考山东文18)设是公比大于1的等比数列,为数列的前项和.已知,且构成等差数列.
(1)求数列的等差数列.
(2)令求数列的前项和.
(1)由已知得解得.
设数列的公比为,由,可得.
又,可知,即,
解得.由题意得.
.故数列的通项为.
(2)由于由
(1)得
,又
是等差数列.
故.
练习:
设Sn=1+2+3+…+n,n∈N*,求的最大值.
解:
由等差数列求和公式得,(利用常用公式)
∴=
==
∴当,即n=8时,
二、错位相减法
设数列的等比数列,数列是等差数列,则数列的前项和求解,均可用错位相减法。
例2(07高考天津理21)在数列中,,其中.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)求数列的前项和;
(Ⅰ)解:
由,,
可得,
所以为等差数列,其公差为1,首项为0,故,所以数列的通项公式为.
(Ⅱ)解:
设, ①
②
当时,①式减去②式,
得,
.
这时数列的前项和.
当时,.这时数列的前项和.
例3(07高考全国Ⅱ文21)设是等差数列,是各项都为正数的等比数列,且,,
(Ⅰ)求,的通项公式;
(Ⅱ)求数列的前n项和.
(Ⅰ)设的公差为,的公比为,则依题意有且
解得,.
所以,
(Ⅱ).
,①
,②
②-①得,
三、逆序相加法
把数列正着写和倒着写再相加(即等差数列求和公式的推导过程的推广)
例4(07豫南五市二联理22.)设函数的图象上有两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2),若,且点P的横坐标为.
(I)求证:
P点的纵坐标为定值,并求出这个定值;
(II)若
(III)略
(I)∵,且点P的横坐标为.
∴P是的中点,且
由(I)知,
,
(1)+
(2)得:
四、裂项求和法
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的.通项分解(裂项)如:
(1)
(2)
(3)等。
例5求数列的前n项和.
设(裂项)
则(裂项求和)
=
例6(06高考湖北卷理17)已知二次函数的图像经过坐标原点,其导函数为,数列的前n项和为,点均在函数的图像上。
(Ⅱ)设,是数列的前n项和,求使得对所有都成立的最小正整数m;
(Ⅰ)设这二次函数f(x)=ax2+bx(a≠0),则f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x-2,得
a=3,b=-2,所以f(x)=3x2-2x.
又因为点均在函数的图像上,所以=3n2-2n.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)-=6n-5.
当n=1时,a1=S1=3×
12-2=6×
1-5,所以,an=6n-5()
(Ⅱ)由(Ⅰ)得知==,
故Tn===(1-).
因此,要使(1-)<
()成立的m,必须且仅须满足≤,即m≥10,所以满足要求的最小正整数m为10.
评析:
一般地,若数列为等差数列,且公差不为0,首项也不为0,则求和:
首先考虑则=。
下列求和:
也可用裂项求和法。
五、分组求和法
所谓分组法求和就是:
对一类既不是等差数列,也不是等比数列的数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并。
例7数列{an}的前n项和,数列{bn}满.
(Ⅰ)证明数列{an}为等比数列;
(Ⅱ)求数列{bn}的前n项和Tn。
解析:
(Ⅰ)由,
两式相减得:
同定义知是首项为1,公比为2的等比数列.
(Ⅱ)
等式左、右两边分别相加得:
=
例8求()
⑴ 当为偶数时,
;
⑵ 当为奇数时,
综上所述,.
点评:
分组求和即将不能直接求和的数列分解成若干个可以求和的数列,分别求和.
六、利用数列的通项求和
先根据数列的结构及特征进行分析,找出数列的通项及其特征,然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和,是一个重要的方法.
例9求之和.
由于(找通项及特征)
∴
=(分组求和)
=
例10已知数列{an}:
的值.
∵(找通项及特征)
=(设制分组)
=(裂项)
∴(分组、裂项求和)
=
=
类型1
解法:
把原递推公式转化为,利用累加法(逐差相加法)求解。
例:
已知数列满足,,求。
由条件知:
分别令,代入上式得个等式累加之,即
所以
类型2
把原递推公式转化为,利用累乘法(逐商相乘法)求解。
由条件知,分别令,代入上式得个等式累乘之,即
又,
已知,,求。
。
类型3(其中p,q均为常数,)。
解法(待定系数法):
把原递推公式转化为:
,其中,再利用换元法转化为等比数列求解。
已知数列中,,,求.
设递推公式可以转化为即.故递推公式为,令,则,且
.所以是以为首项,2为公比的等比数列,则
所以.
变式:
递推式:
。
只需构造数列,消去带来的差异.
类型4(其中p,q均为常数,)。
(,其中p,q,r均为常数)。
一般地,要先在原递推公式两边同除以,得:
引入辅助数列(其中),得:
再待定系数法解决。
已知数列中,,,求。
在两边乘以得:
令,则,解之得:
类型5递推公式为(其中p,q均为常数)。
解法一(待定系数法):
先把原递推公式转化为其中s,t满足
解法二(特征根法):
对于由递推公式,给出的数列,方程,叫做数列的特征方程。
若是特征方程的两个根,当时,数列的通项为,其中A,B由决定(即把和,代入,得到关于A、B的方程组);
当时,数列的通项为,其中A,B由决定(即把和,代入,得到关于A、B的方程组)。
解法一(待定系数——迭加法):
数列:
,,求数列的通项公式。
由,得
,且。
则数列是以为首项,为公比的等比数列,于是
把代入,得,,
把以上各式相加,得
,的特征方程是:
。
又由,于是
故
已知数列中,,,,求。
由可转化为
即或
这里不妨选用(当然也可选用,大家可以试一试),则
是以首项为,公比为的等比数列,所以,应用类型1的方法,分别令,代入上式得个等式累加之,即
又,所以
类型6递推公式为与的关系式。
(或)
这种类型一般利用与
消去或与消去
进行求解。
例:
已知数列前n项和.
(1)求与的关系;
(2)求通项公
式.
(1)由得:
于是
所以.
(2)应用类型4((其中p,q均为常数,))
的方法,上式两边同乘以得:
.于是数列是以2为首项,2为公差的等差数列,所以
类型7
这种类型一般利用待定系数法构造等比数列,即令
,与已知递推式比较,解出,从而转化为是公比为的等比数列。
设数列:
,求.
设,将代入递推式,得
…(1)则,又,故
代入(1)得
说明:
(1)若为的二次式,则可设
;
(2)本题也可由
()两式相减得转化为
求之.
【知识点】:
1.等差数列前N项和
公式S=(A1+An)N/2
[(首项+末项)*项数]/2
等差数列公式求和公式Sn=n(a1+an)/2或Sn=na1+n(n-1)d/2
即:
项数*首项+项数*(项数-1)*公差/2
2.等比数列前n项和
设a1,a2,a3...an构成等比数列 前n项和Sn=a1+a2+a3...an Sn=a1+a1*q+a1*q^2+....a1*q^(n-2)+a1*q^(n-1)(这个公式虽然是最基本公式,但一部分题目中求前n项和是很难用下面那个公式推导的,这时可能要直接从基本公式推导过去,所以希望这个公式也要理解)
Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q);
q:
公比
【例】、已知数列满足,,则通项公式
an=3^(n-1)+a(n-1)
--->
an-a(n-1)=3^(n-1)
同样a(n-1)-a(n-2)=3^(n-2)
……a(n-2(-a(n-3)=3^(n-3)
……………………
……a3-a2=3^2
……a2-a1=3^1
以上的n个等式的两边相加得到
An-a1=3+3^2+……+3^(n-1)=3(1-3^n-1)/(1-3)=(3^n-1)/2
1.判断和证明数列是等差(等比)数列常有三种方法:
(1)定义法:
对于n≥2的任意自然数,验证为同一常数。
(2)通项公式法:
①若
=
+(n-1)d=
+(n-k)d,则为等差数列;
②若
,则为等比数列。
(3)中项公式法:
验证中项公式成立。
2.在等差数列中,有关的最值问题——常用邻项变号法求解:
(1)当>
0,d<
0时,满足的项数m使得取最大值.
(2)当<
0,d>
0时,满足的项数m使得取最小值。
在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。
3.数列求和的常用方法:
公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。
注意事项
1.证明数列是等差或等比数列常用定义,即通过证明或而得。
2.在解决等差数列或等比数列的相关问题时,“基本量法”是常用的方法,但有时灵活地运用性质,可使运算简便,而一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。
3.注意与之间关系的转化。
=,=.
4.解综合题的成败在于审清题目,弄懂来龙去脉,透过给定信息的表象,抓住问题的本质,揭示问题的内在联系和隐含条件,明确解题方向,形成解题策略.
【问题1】等差、等比数列的项与和特征问题
例1.数列的前项和记为(Ⅰ)求的通项公式;
(Ⅱ)等差数列的各项为正,其前项和为,且,又成等比数列,求
本小题主要考察等差数列、等比数列的基础知识,以及推理能力与运算能力。
(Ⅰ)由可得,两式相减得
又∴故是首项为,公比为得等比数列∴
(Ⅱ)设的公比为由得,可得,可得
故可设又
由题意可得解得
∵等差数列的各项为正,∴∴∴
例2.设数列的前项和为,且对任意正整数,。
(1)求数列的通项公式
(2)设数列的前项和为,对数列,从第几项起
.解
(1)∵an+Sn=4096,∴a1+S1=4096,a1=2048.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(4096-an)-(4096-an-1)=an-1-an∴=an=2048()n-1.
(2)∵log2an=log2[2048()n-1]=12-n,∴Tn=(-n2+23n).
由Tn<
-509,解得n>
而n是正整数,于是,n≥46.∴从第46项起Tn<
-509.
【问题2】等差、等比数列的判定问题.
例3.已知有穷数列共有2项(整数≥2),首项=2.设该数列的前项和为,且=+2(=1,2,┅,2-1),其中常数>1.
(1)求证:
数列是等比数列;
(2)若=2,数列满足=(=1,2,┅,2),求数列的通项公式;
(3)若
(2)中的数列满足不等式|-|+|-|+┅+|-|+|-|≤4,求的值.
(1)[证明]当n=1时,a2=2a,则=a;
2≤n≤2k-1时,an+1=(a-1)Sn+2,an=(a-1)Sn-1+2,
an+1-an=(a-1)an,∴=a,∴数列{an}是等比数列.
(2)解:
由
(1)得an=2a,∴a1a2…an=2a=2a=2,
bn=(n=1,2,…,2k).
(3)设bn≤,解得n≤k+,又n是正整数,于是当n≤k时,bn<
当n≥k+1时,bn>
.
原式=(-b1)+(-b2)+…+(-bk)+(bk+1-)+…+(b2k-)
=(bk+1+…+b2k)-(b1+…+bk)
==.
当≤4,得k2-8k+4≤0,4-2≤k≤4+2,又k≥2,
∴当k=2,3,4,5,6,7时,原不等式成立.
例4。
已知数列中,是其前项和,并且,⑴设数列,求证:
⑵设数列,求证:
数列是等差数列;
⑶求数列的通项公式及前项和。
分析:
由于{b}和{c}中的项都和{a}中的项有关,{a}中又有S=4a+2,可由S-S作切入点探索解题的途径.
(1)由S=4a,S=4a+2,两式相减,得S-S=4(a-a),即a=4a-4a.(根据b的构造,如何把该式表示成b与b的关系是证明的关键,注意加强恒等变形能力的训练)
a-2a=2(a-2a),又b=a-2a,所以b=2b ①
已知S=4a+2,a=1,a+a=4a+2,解得a=5,b=a-2a=3 ②
由①和②得,数列{b}是首项为3,公比为2的等比数列,故b=3·
2.
当n≥2时,S=4a+2=2(3n-4)+2;
当n=1时,S=a=1也适合上式.
综上可知,所求的求和公式为S=2(3n-4)+2.
1.本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差,等比数列,求数列通项与前项和。
解决本题的关键在于由条件得出递推公式。
2.解综合题要总揽全局,尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件,在后面求解的过程中适时应用.
【问题3】函数与数列的综合题
数列是一特殊的函数,其定义域为正整数集,且是自变量从小到大变化时函数值的序列。
注意深刻理解函数性质对数列的影响,分析题目特征,探寻解题切入点.
例5已知二次函数的图像经过坐标原点,其导函数为,数列的前n项和为,点均在函数的图像上。
(Ⅰ)、求数列的通项公式;
(Ⅱ)、设,是数列的前n项和,求使得对所有都成立的最小正整数m;
本题考查二次函数、等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能,考查分析问题的能力和推理能力。
例6.设,定义,其中n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若,
(1)=2,,,
∴,∴数列{an}上首项为,公比为的等比数列,
例7.设数列的前n项和为,点均在函数y=3x-2的图像上。
(Ⅱ)设,是数列的前n项和,求使得对所有都成立的最小正整数m。
本小题主要是考查等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能,考查分析问题能力和推理能力。
(I)依题意得,即。
当n≥2时,a;
当n=1时,×
-2×
1-1-6×
1-5
所以。
(II)由(I)得,
故=。
因此,使得﹤成立的m必须满足≤,即m≥10,故满足要求的最小整数m为10。
【问题4】数列与解析几何
数列与解析几何综合题,是今后高考命题的重点内容之一,求解时要充分利用数列、解析几何的概念、性质,并结合图形求解.
例8.在直角坐标平面上有一点列,对一切正整数,点位于函数的图象上,且的横坐标构成以为首项,为公差的等差数列.
⑴求点的坐标;
子⑵设抛物线列中的每一条的对称轴都垂直于轴,第条抛物线的顶点为,且过点,记与抛物线相切于的直线的斜率为,求:
(2)的对称轴垂直于轴,且顶点为.设的方程为:
把代入上式,得,的方程为:
=
本例为数列与解析几何的综合题,难度较大。
(1)、
(2)两问运用几何知识算出.
例9.已知抛物线,过原点作斜率1的直线交抛物线于第一象限内一点,又过点作斜率为的直线交抛物线于点,再过作斜率为的直线交抛物线于点,,如此继续,一般地,过点作斜率为的直线交抛物线于点,设点.
(Ⅰ)令,求证:
数列是等比数列.并求数列的前项和为
(1)因为、在抛物线上,故①②,又因为直线的斜率为,即,①②代入可得,故是以
为公比的等比数列;
【问题5】数列创新题
例10.数列的前项和为,已知
(Ⅰ)写出与的递推关系式,并求关于的表达式;
(Ⅱ)设,求数列的前项和。
由得:
,即,所以,对成立。
由,,…,相加得:
,又,所以,当时,也成立。
(Ⅱ)由,得。
而,
例11.已知数列{an}满足a1=a,an+1=1+我们知道当a取不同的值时,得到不同的数列,如当a=1时,得到无穷数列:
(Ⅰ)求当a为何值时a4=0;
(Ⅱ)设数列{bn}满足b1=-1,bn+1=,求证a取数列{bn}中的任一个数,都可以得到一个有穷数列{an};
(I)解法一:
故a取数列{bn}中的任一个数,都可以得到一个有穷数列{an}
例12 已知正项数列,其前项和满足且成等比数列,求数列的通项
解∵10Sn=an2+5an+6,①∴10a1=a12+5a1+6,解之得a1=2或a1=3.
又10Sn-1=an-12+5an-1+6(n≥2),②
由①-②得10an=(an2-an-12)+6(an-an-1),即(an+an-1)(an-an-1-5)=0
∵an+an-1>
0,∴an-an-