九年级数学中考复习吃透动态几何三角形全等之双垂直一线三角模型专题学案设计.docx

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九年级数学中考复习吃透动态几何三角形全等之双垂直一线三角模型专题学案设计

知识精讲：

过等腰直角三角形的直角顶点或者正方形直角顶点的一条直线。

过等腰直角三角形的另外两个顶点作该直线的垂线段，会有两个三角形全等（AAS）

常见的两种图形：

例题精讲

1、如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ABC有两个顶点在坐标轴上，求第三个顶点的坐标.

解析：

（1）过点B作BD⊥x轴于点D,

∴∠BCD+∠DBC=90°

由等腰Rt△ABC可知，BC=AC,∠ACB=90°

∴∠BCD+∠AC0=90°

∴∠DBC=∠ACO

在△BCD和△CAO中

∠BDC=∠AOC

∠DBC=∠ACO

BC=AC

∴△BCD≌△CAO

∴CD=OA,BD=OC

（2）的证明方法一样

2、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC,AD=2，BC=3，设∠BCD=α，以D为旋转中心，将腰DC绕点D逆时针旋转90°至DE.

当α=45°时，求△EAD的面积.

当α=30°时，求△EAD的面积

当0°＜α＜90°，猜想△EAD的面积与α大小有无关系，若有关，写出△EAD的面积S与α的关系式，若无关，请证明结论.

解析：

∵AD∥BC,DG⊥BC

∴∠GDF=90°

又∵∠EDC=90°

∴∠1=∠2

在△CGD和△EFD中

∠DGC=∠DFE

∠1=∠2

CD=DE

∴△DCG≌△DEF

∴EF=CG

∵AD∥BC,AB⊥BC,

AD=2，BC=3

∴BG=AD=2

∴CG=1，EF=1，△EAD的面积与α无关

3、如图，向△ABC的外侧作正方形ABDE,正方形ACFG，过A作AH⊥BC于H，AH的反向延长线与EG交于点P，求证：

BC=2AP

解析：

过点G作GM⊥AP于点M,过点E作EN⊥AP交AP的延长线于点N

∵四边形ACFG是正方形

∴AC=AG,∠CAG=90°

∴∠CAH+∠ACH=90°

∴∠ACH=∠GAM

在△ACH和△GAM中

∠AHC=∠GMA

∠ACH=∠GAM

AC=GA

∴△ACH≌△GAM

∴CH=AM,AH=GM

同理可证△ABH≌△EAN，△EPN≌△GPM∴NP=MP

∴BC=BH+CH=AN+AM=AP+PN+AP-PM=2AP

4、已知：

在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是多点A的一条直线，且BD⊥AE于D，CE⊥AE于点E.当直线AE处于如图1的位置时，有BD=DE+CE,请说明理由.当直线AE处于如图2的位置时，则BD、DE、CE的关系如何？

请说明理由.

解析：

（1）∵BD⊥AE,CE⊥AE

∴∠BDA=∠AEC=90°

∴∠ABD+∠BAD=90°

∵∠BAC=90°

∴∠BAD+∠EAC=90°

∴∠ABD=∠EAC

在△ABD和△CAE中

∠ADB=∠CEA=90°

∠ABD=∠EAC

AB=CA

∴△ABD≌△CAE（AAS）

AD=CE,BD=AE

∵AE=AD+DE

∴BD=DE+CE

（2）在△ABD和△CAE中

∠ADB=∠CEA=90°

AB=CA

∴△ABD≌△CAE（AAS）

∴AD=CE,BD=AE

∵AE=DE-AD

∴BD=DE-CE.

5、如图，在△ABC中，∠ABC=45°，点F是△ABC的高AD、BE的交点，已知CD=4，AF=2，则线段BC的长为（）

解析:

∵AD是△ABC的高

∴∠ADB=90°

∵∠ABC=45°

∴∠BAD=45°

∴∠ABC=∠BAD

∴AD=BD

∵∠CAD+∠AFE=90°，∠CAD+∠C=90°，∠AFE=∠BFD

∴∠AFE=∠C

在△BDF和△ADC中

∠CAD=∠FBD

AD=BD

∠BDF=∠ADC

∴△BDF≌△ADC（ASA）

∴DF=CD=4

∴AD=AF+DF=2+4=6=BD

∴BC=BD+CD=6+4=10

6、如图所示，直线α经过正方形ABCD的顶点A，分别过顶点B,D作DE⊥α于点F，若DE=4，BF=3，则EF的长为（）

解析：

∵ABCD是正方形

∴AB=AD,∠ABC=∠BAD=90°

∵∠BAF+∠ABF=∠BAF+∠DAE

∴∠ABF=∠DAE

在△AFB和△AED中

∠ABF=∠DAE,∠AFB=∠AED,AB=AD

∴△AFB≌△AED

∴AF=DE=4，BF=AE=3

∴EF=AF+AE=4+3=7

7、如图，矩形ABCD中，E在AD上，且EF⊥EC,EF=EC,DE=2，矩形的周长为16，则AE的长是（）

解析：

∵矩形ABCD中，EF⊥EC,

∴∠DEC+∠DCE=90°，∠DEC+∠AEF=90°

∴∠AEF=∠DCE,

又∵EF=EC

∴△AEF≌△DCE（AAS）

∴AE=CD

∵矩形的周长为16，即2CD+2AD=16，

∴CD+AD=8

∴AD-2+AD=8

AD=5

∴AE=AD-DE=5-2=3.

8、如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC,∠ABC的平分线BD交AC于D，CE⊥BD的延长线于点E，求证：

CE=

BD.

解析：

延长CE、BA相交于点F.

∵∠EBF+∠F=90°，∠ACF+∠F=90°

∴∠EBF=∠ACF.

又∵AB=AC,∠BAC=∠CAF

∴△ABD≌△ACF（ASA）

∴BD=CF

在△BCE和△BFE中

∠EBF=∠CBE

BE=BE

∠CEB=∠FEB

∴△BCE≌△BFE（ASA）

∴CE=EF

∴CE=

CF=

BD

9、已知点P为∠EAF平分线上一点，PB⊥AE于点B，PC⊥AF于C，点M、N分别是射线AE、AF上的点.

如图1，当点M在线段AB上，点N在线段AC的延长线上，且PM=PN，求证BM=CN.

在

（1）的条件下，直接写出线段AM、CN与AC的数量关系_______

解析：

（1）∵点P为∠EAF平分线上一点，PB⊥AE于B,PC⊥AF于C，

∴PB=PC

在Rt△PBM和Rt△PCN中

PB=PC

PM=PN

∴Rt△PBM≌Rt△PCN

∴BM=CN

（2）在Rt△PBA和Rt△PCA中

PB=PC

AP=AP

∴Rt△PBA≌Rt△PCA

∴AB=AC

∴AM+CN=AM+BM=AB=AC

10、如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=∠C=40°，点D在线段BC上运动（D不与B,C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于点E.

当DC等于多少是，△ABD≌△DCE?

请证明你的结论.

解析：

∵∠B=40°

∴∠BAD+∠BDA=140°

∵∠ADE=40°

∴∠CDE+∠BDA=140°

∴∠BAD=∠CDE

在△ABD和△DCE中

∠B=∠C

∠BAD=∠CDE

AB=DC

∴△ABD≌△DCE

11、如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=90°，点D在线段BC上，∠BDE=

∠C,BE⊥DE，垂足为E，DE与AB交于点F，求证：

BE=

DF.

解析：

过点D做DG∥AC交BE的延长线于点G

BE与DH的延长线交于G点，如图，

∵DH∥AC

∠BDH=∠C=45°

∴△HBD为等腰直角三角形

∴HB=HD

而∠EBF=22.5°

∵∠EDB=

∠C=22.5°

∴DE平分∠BDG

而DE⊥BG

∴BE=GE,即BE=

BG

∵∠DFH+∠FDH=∠G+∠FDH=90°

∴∠DFH=∠G

∵∠GBH=90°-∠G,∠FDH=90°-∠G

∴∠GBH=∠FDH

在△BGH和△DFH中

∠G=∠DFH

∠GBH=∠FDH

BH=DH

∴△BGH≌△DFH（AAS）

∴BG=DF

∴BE=

FD

专项提升练习：

1、已知：

在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,E是AC边上的点，AF⊥BE交BC于点D,如果AE=CD

证明：

BF平分∠ABC

证明：

AB+AE=BC

【解析】

（1）作AC的垂线交AD的延长线于点M

证△BAE≌△ACM（ASA）得CM=AE=CD

∴∠M=∠CDM=∠AEB=∠BAD

∴AB=BD

∴BF平分∠ABD（等腰三角形三线合一）

（2）AB+AE=BD+DC=BC

2、已知、在Rt△ABC中，AC=BC,∠C=90°，D为AB边的中点，∠EDF=90°，∠EDF绕点D旋转，它们两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F，当∠EDF绕D点旋转DE⊥AC于E时（如图1）易证CF+CE=AC;若当∠DF绕点D旋转到DE和AC不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？

若成立，请给予证明，若不成立，CF，CE，AC又有怎样的数量关系？

请写出你的猜想，并说明理由.

【解析】等腰直+斜边中点90°的三种情况

图2，连接CD证△CED≌△BFD可得CF+CE=BC=AC

图3，连接CD证△CED≌△BFD可得CF-CE=BC=AC

3、已知，△ABC，点D,F分别为线段AC,AB上两点，连接BD、CF交于E

（1）若BD⊥AC,CF⊥AB,如图1所示，试说明∠BAC+∠BEC=180°

（2）若BD平分∠ABC，CF平分∠ACB，如图2所示，试说明此时∠BAC与∠BEC的数量关系

（3）在

（2）的条件下，若∠BAC=60°，试说明：

EF=ED

【解析】

（1）对角互补四边形

（2）内角平分线模型∠BEC=½∠A+90°

（3）证EF和ED所在三角形全等即FEB≌DEC（ASA）

4、如图：

在△ABC中，AD为∠BAC的平分线,DG⊥BC于G，G为BC中点，DE⊥AB于E,DF⊥AB于E,DF⊥AC交AC的延长线于F

（1）求证：

BE=CF

（2）如果AB=6，AC=4，求AE,BE的长（参考：

一条直角边与斜边分别相等的两个直角三角形全等）

【解析】

（1）连DC，DB证△DCF≌△DBE（HL）即可

（2）AE=5，BE=1

5、已知：

如图1，点A是线段DE上一点，∠BAC=90°，AB=AC,BD⊥DE,CE⊥DE

（1）求证：

DE=BD+CE

（2）如果是如图2这个图形，我们能得到什么结论，并证明.

【解析】

（1）证△ADB≌△CEA（AAS或ASA）导边即可

（2）一线三垂直证全等导边可得BD-DE=CE

6、CD经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB,E,F分别是直线CD上两点，且∠BEC=∠CFA=∠α，

（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E,F在射线CD上，请解决下面两个问题：

如图1，若∠BCA=90°，∠α=90°，则BE_____CF;EF______｜BE-AF｜（填＞，＜或＝）

如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA的关系的条件_____，使上一问的结论依然成立，并证明.

如图三，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α=∠BCA，请提出EF,BE,AF三条线段数量关系的合理猜想，（不要求证明）

【解析】

=；=（一线三垂直模型）

一线三等角模型，∠α+∠BCA=180°即可

EF=BE+AF

7、如图，△ABC中，D为BC中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线于点E，EF⊥AB于F,EG⊥AC的延长线于G,求证：

BF=CG

【解析】

连BE，CE可证△FBE≌△GCE（HL）

8、如图，BD,CE分别是△ABC的边AC和AB边上的高，点P在BD的延长线上，BP=AC,点Q在CE上，CQ=AB.

（1）求证：

AP=AQ

（2）求证：

AP⊥AQ

【解析】

（1）证△ABP≌△AQC（SAS）

（2）∵∠CAQ+∠PAD=∠P+∠PAD=90°

9、如图，在△ABC中，D是BC的垂直平分线DH上一点，DF⊥AB于F，DE⊥AC的延长线于E,且BF=CE.

（1）求证：

AD平分∠BAC

（2）若∠BAC=80°，求∠DCB的度数.

【解析】

（1）连BD，证△FBD≌△ECD（HL），得DF=DE

（2）40°，可求∠FDE=∠BDC=100°，BDC是等腰三角形