教师1份第 讲 用列举法求概率1.docx

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教师1份第讲用列举法求概率1

第4讲用列举法求概率

学习目标:

在具体情景中进一步理解概率的意义，掌握用列表法求简单事件概率的方法。

学习重点:

掌握用列表法求简单事件概率的方法。

学习难点:

概率实际问题模型化。

学习过程

一、情境导入，初步认识

1.回顾①概率的意义；②对于试验结果是有限等可能的事件的概率的求法.

2.多媒体展示扫雷游戏，引入课题.

一、知识回顾

1、有10张形状、大小都一样的卡片，分别写有1至10十个数，将它们背面朝上洗匀后，任意抽一张，抽得偶数的概率为_______。

2、一只袋内装有2个红球，3个白球，5个黄球（这些球除颜色外没有其他区别），从中任意取出一球，则取得红球的概率是______。

3、在数学兴趣小组中有女生4名，男生2名，随机指定一人为组长恰好是女生的概率是____________。

4、从1、2、3三个数字中任取两个不同的数字，其和是奇数的概率是____________。

5、一个事件的概率不可能是（）

A、0B、

C、1D、

6、冰柜里有四种饮料：

5瓶特种可乐，12瓶普通可乐，9瓶桔子水，6瓶啤酒，其中特种可乐和普通可乐是含有咖啡因的饮料，那么从冰柜里随机取一瓶饮料，该饮料含有咖啡因的概率是（）

A、

B、

C、

D、

1.预习任务

（1）当一次试验包含两步完成时，用列表法求概率比较方便，当然此时也可用画树状图的方法.

（2）当一次试验包含三步或三步以上才能完成时，用画树状图的方法更加方便，因为表格难以表达含三个维度的事件的发生情况.

（3）某校八年级开设了数学史、诗词赏析、陶艺三门校本课程，若小波和小睿两名同学每人随机选择其中一门课程，则小波和小睿选到同一课程的概率是（　B　）

A.

B.

C.

D.

2.预习自测

（1）现有两枚质地均匀的正方体骰子，每枚骰子的六个面上都分别标有数字1、2、3、4、5、6.同时投掷这两枚骰子，以朝上一面所标的数字为结果，那么所得结果之和为8的概率是（　　）

A.

B.

C.

D.

【知识点】用列举法求随机事件的概率

【数学思想】分类讨论思想

【解题过程】

解：

根据题意，可列出下表：

第1枚

第2枚

1

2

3

4

5

6

1

（1，1）

（2，1）

（3，1）

（4，1）

（5，1）

（6，1）

2

（1，2）

（2，2）

（3，2）

（4，2）

（5，2）

（6，2）

3

（1，3）

（2，3）

（3，3）

（4，3）

（5，3）

（6，3）

4

（1，4）

（2，4）

（3，4）

（4，4）

（5，4）

（6，4）

5

（1，5）

（2，5）

（3，5）

（4，5）

（5，5）

（6，5）

6

（1，6）

（2，6）

（3，6）

（4，6）

（5，6）

（6，6）

共有36种情况，满足条件的有5种情况，所以，P（和为8）=

.

【思路点拨】用列举法将所有可能的情况排列出来，指出符合条件的情况即可得解.特别注意的是，当某个随机事件涉及的数据太多时，不宜用树状图法，因为纸面上可能画不下，或者画得太挤，不美观.

【答案】D

（2）某校九年级共有四个班，现从这四个班中随机抽取两个班进一场篮球比赛，则恰好抽到1班和2班的概率是（　　）

A.

B.

C.

D.

【知识点】随机事件的概率

【解题过程】

解：

根据题意，可画出如下的树状图：

由树状图可以看出，所有可能出现的结果共12种，分别是（1，2）、（1，3）、（1，4）、（2，1）、（2，3）、（2，4）、（3，1）、（3，2）、（3，4）、（4，1）、（4，2）、（4，3），且这些结果都是等可能性的，其中只有（1，2）和（2，1）才符合题意，所以，P（选中1班和2班）

.

【思路点拨】用树状图排列出所有的可能性，找出符合条件的，便可算出其概率.

【答案】B

（3）学校开设航模、彩绘、泥塑三个社团，如果小明和小亮两名同学每人随机选择参加一个社团，那么两人选到同一社团的概率是.

【知识点】用列举法求概率

【解题过程】

解：

记航模、彩绘、泥塑三个社团为A、B、C，则可列出下表：

小明

小亮

A

B

C

A

（A，A）

（B，A）

（C，A）

B

（A，B）

（B，B）

（C，B）

C

（A，C）

（B，C）

（C，C）

从表中可以看出，在总共9种情况中，只有3种符合要求，所以，所求的概率为

.

【思路点拨】用列表的方法便可轻松地求出答案.此题用树状图也可.

【答案】

.

（4）若我们把十位数字比个位和百位数字都大的三位数称为“凸数”，如786、465.那么由1、2、3这三个数字构成的不重复的三位数中是凸数的概率是.

【知识点】用列举法求概率

【解题过程】

解：

根据题意，可得到如下树状图：

共有6种等可能的情况，它们分别是：

123、132、213、231、312、321，其中，只有132和231满足条件，所以，P（构成凸数）

.

【思路点拨】画好树状图，找出符合条件的数，便可轻松得概率.特别注意的是，当一个事件需要三步或三步以上才能完成时，用表格已经不太适宜.

【答案】

2、在一个口袋中有5个完全相同的小球，把它们分别标号1，2，3，4，5，随机地摸出一个小球后放回，再随机地摸出一个小球，用列表法求下列事件的概率

（1）两次取的小球的标号相同；

（2）两次取的小球的标号的和等于5.

3、用如图3所示的转盘进行“红色蓝色配紫色”游戏．

图3

小颖制作了下表，并据此求出游戏者获胜的概率为

红色

蓝色

红色

（红，红）

（红，蓝）

蓝色

（蓝，红）

（蓝，蓝）

小亮则先把左边转盘的红色区域等分成2份，分别记作“红色1”“红色2”，然后制作了下表，据此求出游戏者获胜的概率也是

红色

蓝色

红色1

（红1，红）

（红1，蓝）

红色2

（红2，红）

（红2，蓝）

蓝色

（蓝，红）

（蓝，蓝）

你认为谁做得对?

说说你的理由．

二、典例精析，掌握新知

我们在日常生活中，常常会用掷硬币的方式来决定游戏的胜负，下面思考的这种游戏规则是否公平.

例1、老师向空中抛掷两枚同样的硬币，如果落地后一反一正，老师赢；如果落地后都只正面时，同学们赢，请问你们觉得这个游戏公平吗？

解：

我们利用表格的形式，列举出所有可能的结果.

∴这游戏不公平.

问：

“同时掷两枚硬币”与“先后掷一枚硬币”这两种试验的所有可能一样吗？

答案：

一样.

对“游戏是否公平”实际是看两方出现的概率大小如何.所以解决本题的关键是，分别计算出“一正一反”与“都是正面”的概率各是多少并比较，

三、运用新知，深化理解

1.在“幸运52”栏目中，曾有一种竞猜游戏，游戏规则是：

20个商标牌中，有5个商标牌背面注明了一定的奖金，其余商标牌的背面是一张“哭脸”，若翻到“哭脸”就不获奖，参与这个游戏的观众有三次翻牌的机会，且翻过的牌不能再翻，有一位观众已翻牌两次，一次获奖，一次不获奖，那么这位观众第三次翻牌获奖的概率是（）

分析：

只需找到第三次翻牌时的所有情况和获奖的情况，即可求得概率．

分析：

共有20个商标牌，已经翻牌两次，那么剩余的商标牌为18个，因为共有5个商标牌注明奖金，则由15个商标牌没有奖金，因翻牌两次中，一次获奖一次不获奖，那么剩余的18个商标牌中有4个商标牌注明奖金，14个商标牌没有奖金．

解：

有分析可知：

设事件A表示商标牌注明了有奖金

样本空间中基本事件的个数为18，事件A包含的基本事件为4个，

所以事件A的概率为p（A）=

故选B．

点评：

若事件A包含k个基本事件，样本空间S表是有n个基本事件．这事件A的概率为p（A）=k/n

2.从甲、乙、丙三人中任意选两名代表参加会议，甲被选中的概率为（）

从3个人中选出2个人当代表，则所有的选法共有3种，即：

甲乙、甲丙、乙丙，

其中含有甲的选法有两种，故甲被选中的概率是

故选C

3.在一个布袋里装有红、白、黑三种颜色的玻璃球各一个，它们除颜色外，没有其他区别，先从布袋中取出一个球，放回袋中并搅匀，再从袋中取一个球，则两次取出的恰好都是红球的概率是_____.

4.袋子中装有红、绿各一个小球，除颜色外无其他差别，随机摸出1个小球后放回，再随机摸出一个.求下列事件的概率；

（1）第一次摸到红球，第二次摸到绿球；

（2）两次都摸到相同颜色的小球；

（3）两次摸到的球中有一个绿球和一个红球.

5.在“妙手推推推”的游戏中，主持人出示了一个9位数：

258396417，让参与者猜商品价格，被猜的价格是一个4位数，也就是这个9位数中从左到右连在一起的某4个数字.如果参与者不知道商品的价格，从这些连在一起的所有4位数中，任意猜一个，求他猜中该商品的概率.

练习着重演练用列举法求简单事件的概率

1、在一个布袋里装着白、红、黑三种颜色的小球，它们除颜色之外，没有任何其它区别，其中白球1只，红球2只，若从中任取一只是黑球的概率为

．

（1）求袋中黑球的个数；

（2）第一次任取出一个球（不放回），第二次再取出一个球，请通过画树状图，求两次都摸到红球的概率．

解：

（1）设袋中黑球的个数为x个，根据题意得：

=

，解得：

x=1，

∴袋中黑球的个数为1个； 

（2）画树状图得：

∴一共有12种等可能的结果，两次都摸到红球的有2种情况，

∴两次都摸到红球的概率为：

=

2、一个不透明的布袋里装有红、黄、绿三种颜色的球（除颜色不同，其它均无任何区别），其中红球2个，黄球1个，从袋中任意摸出一个球是红球的概率是．

（1）求布袋中绿球的个数；

（2）第一次从袋中任意摸出一个球，记下颜色后放回袋中，第二次再摸出一个球记下颜色，请用画树状图或列表的方法求两次都摸到红球的概率．

（1）首先设袋中的绿球个数为x个，然后根据概率公式列方程求解即可；

（2）首先画树状图，然后求得全部情况的总数与符合条件的情况数目，求其二者的比值即可．

（1）设袋中的绿球个数为x个，由题意得

解得：

x=1，

经检验，x=1是原方程的解，

∴袋中绿球的个数1个；

（2）由题意可得一共有16种组合，

两次都摸到红球的这种组合的有4种，

故两次都摸到红球的概率

20.（本题满分8分）一个不透明的布袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球（除颜色外其余都相同），其中有红球1个，蓝球2个，黄球若干个，现从中任意摸出一个球是蓝球的概率为

． 

（1）求口袋中黄球的个数； 

（2）甲同学先随机摸出一个小球（不放回），再随机摸出一个小球，请用“树状图法”或“列表法”，求两次摸出都是蓝

球的概率； 

一个不透明的布袋里装有红、黄、绿三种颜色的球（除颜色不同，其它均无任何区别），其中红球2个，黄球1个，绿球1个．

（1）求从袋中任意摸出一个球是红球的概率；

（2）第一次从袋中任意摸出一个球，记下颜色后放回袋中，第二次再摸出一个球记下颜色，请用画树状图或列表的方法求两次都摸到红球的概率（两个红球分别记作红1、红2）．

分析：

（1）由一个不透明的布袋里装有红球2个，黄球1个，绿球1个，利用概率公式求解即可求得答案；

（2）首先根据题意画出树形图，然后由树形图求得所有等可能的结果与两次都摸到红球的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．

解：

（1）从袋中任意摸出一个球是红球的概率P=

=

．

（2）画树状图得：

∴在上述16种等可能结果中，两次都摸到红球的情况有4种，

∴P（两次都摸到红球）=

=

点评：

此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．

一个不透明的布袋里装有红、黄、绿三种颜色的球（除颜色不同，其它均无任何区别），其中红球2个，黄球1个，绿球1个．

（1）求从袋中任意摸出一个球是红球的概率；

（2）第一次从袋中任意摸出一个球，记下颜色后放回袋中，第二次再摸出一个球记下颜色，请用画树状图或列表的方法求两次都摸到红球的概率（两个红球分别记作红1、红2）

【分析】

（1）由一个不透明的布袋里装有红球2个，黄球1个，绿球1个，利用概率公式求解即可求得答案；

（2）首先根据题意画出树形图，然后由树形图求得所有等可能的结果与两次都摸到红球的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．

解：

（1）从袋中任意摸出一个球是红球的概率P=

=

．

（2）画树状图得：

∴在上述16种等可能结果中，两次都摸到红球的情况有4种，

∴P（两次都摸到红球）=

=

．

【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．

一个不透明的布袋里装有红、黄、绿三种颜色的球（除颜色不同，其它均无任何区别），其中红球2个，黄球1个，从袋中任意摸出一个球是红球的概率是

．

（1）求布袋中绿球的个数；

（2）第一次从袋中任意摸出一个球，记下颜色后放回袋中，第二次再摸出一个球记下颜色，请用画树状图或列表的方法求两次都摸到红球的概率．

分析：

（1）首先设袋中的绿球个数为x个，然后根据概率公式列方程求解即可；

（2）首先画树状图，然后求得全部情况的总数与符合条件的情况数目，求其二者的比值即可．

（1）设袋中的绿球个数为x个，由题意得

解得：

x=1，

经检验，x=1是原方程的解，

∴袋中绿球的个数1个；

（2）由题意可得一共有16种组合，

两次都摸到红球的这种组合的有4种，

故两次都摸到红球的概率

考点：

用列表法或画树状图法求概率

点评：

列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：

概率=所求情况数与总情况数之比．

四、师生互动，课堂小结

1.本堂课你学到了什么知识，有哪些收获？

2.你能不重不漏地列举出事件发生的所有可能吗？

3.你能正确求出P（A）=m/n吗？

五、布置作业：

1、一个布袋里装有只有颜色不同的5个球，其中3个红球，2个白球．从中任意摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再任意摸出1个球．摸出的2个球都是红球的概率是（　　）

A、

B、

C、

D、9/25

分析：

列举出所有情况，看摸出的2个球都是红球的情况占总情况的多少即可．

解：

列表得：

红

红

红

白

白

白

（红，白）

（红，白）

（红，白）

（白，白）

（白，白）

白

（红，白）

（红，白）

（红，白）

（白，白）

（白，白）

红

（红，红）

（红，红）

（红，红）

（红，白）

（红，白）

红

（红，红）

（红，红）

（红，红）

（红，白）

（红，白）

红

（红，红）

（红，红）

（红，红）

（红，白）

（红，白）

∴一共有25种情况，摸出的2个球都是红球的有9种情况，

∴摸出的2个球都是红球的概率是9/25

故选D．

2、一个布袋里装有6个白球，若干个红球，这些球除颜色外都相同．从布袋里任意摸出一个球，是白球的概率为

，则布袋里红球的个数为（　　）

A、1B、2C、3D、4

分析：

首先设总球数为n个，根据任意摸出一个球是白球的概率为

，求出总球数，然后再求出布袋里红球的个数．

解：

设总球数为n个，

根据题意：

布袋里任意摸出一个球，是白球的概率为

，

即p=6/m=

，解得n=9，

故红球的个数为9-6=3个，

故选C．

点评：

概率的求法：

如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率

3、一个布袋里装有4个黑球、3个白球和3个红球,它们除颜色外其它都相同。

从中任意摸一球，它的概率为

的球是（   ）

A．白球 B．红球  C．白球或红球 D．黑球

分析：

根据概率的求法，找准两点：

①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．

解：

∵一个布袋里装有4个黑球、3个白球和3个红球,

∴摸出黑球的概率是

，摸出白球的概率是

，摸出红球的概率是

，

故选C.

概率的求法：

如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率

4、在一个布袋里装有3个红球、2个黄球、1个白球，它们除了颜色外都相同．从布袋中任意摸出一个球，摸到黄球的概率为（　　）

A、

B、

C、

D、不确定

分析：

根据概率公式，求摸到黄球的概率，即用黄球除以小球总个数即可得出得到黄球的概率．

解：

∵一个布袋里装有3个红球、2个黄球、1个白球，

∴摸出一个球摸到黄球的概率为：

=

，

故选：

B．

5、布袋里装有红球2个、白球1个、黑球3个，现从布袋里随机抽取一个球是黑球的概率是（　　）

A、

B、

C、

D、

分析：

根据概率的求法，找准两点：

①全部情况的总数；

②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．本题中让黑球的个数除以球的总数即为所求的概率．

解：

布袋里装有红球2个、白球1个、黑球3个，共6个，

现从布袋里随机抽取一个球是黑球的概率是3/6=1/2

故选B．

6、一个不透明的布袋里装有3个红球、2个白球，每个球除颜色外其它均相同，搅拌均匀后从中任意摸出一个球，则摸出的球是红球的概率是（　　）

A、

B、

C、

D、

分析：

让红球的个数除以球的总数即为摸到红球的概率．

解：

3个红球、2个白球一共是5个，搅拌均匀后从中任意摸出一个球，则摸出的球是红球的概率是

．

故选D．

在一个不透明的袋子中装有红、绿各一个小球，它们只有颜色上的区别，从袋子中随机摸出一个小球记下颜色后放回，再随机摸出一个，则两次都摸到红球的概率为______．

列表如下：

红

绿

红

（红，红）

（绿，红）

绿

（红，绿）

（绿，绿）

所有等可能的情况有4种，其中两次摸到红球的情况有1种，

则P=

．

故答案为：

1、甲、乙两队进行拔河比赛，裁判员让两队队长用“石头、剪子、布”的手势方式选择场地位置.规则是：

石头胜剪子，剪子胜布，布胜石头，手势相同再决胜负.请你说明裁判员的这种作法对甲、乙双方是否公平，为什么？

2、同时掷两个质地均匀的骰子，计算下列事件的概率：

（1）两个骰子的点子数相同；

（2）两个骰子的点子数的和是9；（3）至少有一个骰子的点数为2。

3、将三粒均匀的分别标有1，2，3，4，5，6的正六面体骰子同时掷出，出现的数字分别为a，b，c，求a，b，c正好是直角三角形三边长的概率．

三、巩固练习：

1、袋中共有5个大小相同的红球、白球，任意摸出一球为红球的概率是

。

（1）袋中红球、白球各有几个？

（2）任意摸出两个球均为红球的概率是____________________

袋子中装有红、绿各一个小球,除颜色外无其他差别,随机摸出1个小球后放回，再随机摸出一个，求下列事件的概率：

（1）第一次摸到红球，第二次摸到绿球

（2）两次都摸到相同颜色的小球

（3）两次摸到的球中有一个绿球和一个红球。

独立性重复试验，每次摸球的概率相互独立，即互不影响，每次摸到红球和摸到绿球的概率各为1/2

1.第一次摸红，1/2；第二次摸绿，1/2；概率1/2*1/2=1/4

2.第一次红，第二次红，概率1/2*1/2=1/4；第一次绿，第二次绿，概率1/2*1/2=1/4

总概率1/2

3.一共摸两次，一共两种颜色，所以要么颜色相同，要么一红一绿

颜色相同的概率已经算出，所以一红一绿的概率1-1/2=1/2

袋子中装有红、绿各一个小球,除颜色外无其他差别,随机摸出1个小球后放回，再随机摸出一个，求下列事件的概率：

（1）第一次摸到红球，第二次摸到绿球

（2）两次都摸到相同颜色的小球

（3）两次摸到的球中有一个绿球和一个红球。

（1）25%

（2）50%（3）50%

一个口袋装有红，黄，蓝三种不同颜色的小球各式各10个，要保证摸出10个相同颜色的小球，至少要摸出多少

考虑：

先摸出的是红色球、黄色球和蓝色球各9个，共27个球，则再摸第28个球则一定有一种球是同色的，因此至少要摸出28个球.

要考虑最极端的情况，即有三个颜色都恰巧摸到了9个球，那么再多磨一个即可保证又是个球同色。

那么，要摸28个。

袋子中装有红、绿各1个小球，随机摸出一个小球后放回，再随机摸出一个，求下列事件的概率．

（1）第一次摸到红球，第二次摸到绿球；

（2）两次都摸到相同颜色的小球；

（3）两次摸到的球中有一个绿球和一个红球．

所有等可能的结果为：

红红、红绿、绿红、绿绿．

（1）根据题意可得：

袋子中装有红、绿个1个小球，连摸两次，共4种情况，其中有1种是“红，绿”；故其概率为

，

（2）根据题意可得：

袋子中装有红、绿个1个小球，连摸两次，共4种情况，其中有2种是颜色相同；故其概率为

；

（3）根据题意可得：

袋子中装有红、绿个1个小球，连摸两次，共4种情况，其中有2种是“一红一绿”故其概率为

．

根据随机事件概率大小的求法，找准两点：

①、符合条件的情况数目；

②、全部情况的总数．

二者的比值就是其发生的概率的大小．

概率公式．

概率的求法与运用，一般方法为：

如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=

m

n

．