ξ
0
1
2
P
1p
1
p
2
2
2
则当p在（0，1）内增大时，
A．
D（ξ）减小
B．D（ξ）增大
C．
D（ξ）先减小后增大
D．D（ξ）先增大后减小
、填空题
1.【2018全国一卷15】从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生
入选，则不同的选法共有种．（用数字填写答案）
2
x2的系数为
3.【2018江苏卷3.】已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位
裁判打出的分数的平均数为．
4.【2018江苏卷6】某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，
则恰好选中2名女生的概率为．
5.【2018浙江卷14】二项式（3x1）8的展开式的常数项是．
2x
6.【2018浙江卷16】16．从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数
字，一共可以组成个没有重复数字的四位数.（用数字作答）
72
7.【2018上海卷3】在（1x）7的二项展开式中，x2项的系数为.（结果用数值表示）
8.【2018上海卷9】9.有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克
砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是（结果用最
简分数表示）
三、解答题
1.【2018全国一卷20】某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户
之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取
20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为p（0p1），且各件产品是否为不合格品相互独立．
（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f（p）,求f（p）的最大值点p0．
（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以
（1）中确定的p0作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．
（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，
求EX;
（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
2.【2018全国二卷18】下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：
亿元）的折线图．
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，⋯，17）建立模型①：
y?
30.413.5t；根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，⋯，7）建立模型②：
y?
9917.5t．
（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；
2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？
并说明理由．
3.【2018全国三卷18】某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产
任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人。
第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：
min）绘制了如下茎叶图：
1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？
并说明理由；
（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：
超过m
不超过m
第一种生产方式
第二种生产方式
3）根据
（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？
2
nadbcabcdacbd
2
PK2≥k
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
4.【2018北京卷17】电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
电影类型
第一类
第二类
第三类
第四类
第五类
第六类
电影部数
140
50
300
200
800
510
好评率
0.4
0.2
0.15
0.25
0.2
0.1
好评率是指：
一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．
假设所有电影是否获得好评相互独立．
（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；
（Ⅱ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；（Ⅲ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“k1”表示第k类电影得到人们喜欢，“k0”表示第k类电影没有得到人们喜欢（k=1，2，3，4，5，6）．写出方差D1，D2，D3，D4，D5，D6的大小关系．
5.【2018天津卷16】已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采
用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.
（I）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.
（i）用X表示抽取的3人中睡眠不．足．的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；
（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.
6.【2018江苏卷23（附加题）】设nN*，对1，2，·，n的一个排列i1i2Lin，如果当s对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序（2，1），（3，1），则排列231的逆序数为2．记fn（k）为1，2，·，n的所有排列中逆序数为k的全部排列的个数．
（1）求f3
（2）,f4
（2）的值；
（2）求fn
（2）（n5）的表达式（用n表示）．
参考答案
一、选择题
1.A2.A
3.C4.C5.B
6.D
7.8.
9.10.
二、填空题
1.162.
5
3
3.904.
5.7
6.1260
1
7.218.
2
10
5
三、解答题
1.解：
（1）20件产品中恰有2件不合格品的概率为f（p）C220p2（1p）18.因此
f（p）C220[2p（1p）1818p2（1p）17]2C220p（1p）17（110p）.
令f（p）0，得p0.1.当p（0,0.1）时，f（p）0；当p（0.1,1）时，f（p）0.
所以f（p）的最大值点为p00.1.
（2）由
（1）知，p0.1.
（i）令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知Y:
B（180,0.1），
X20225Y，即X4025Y.
所以EXE（4025Y）4025EY490.
（ii）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元.
由于EX400，故应该对余下的产品作检验.
2.解：
（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
y?
30.413.519226.1（亿元）．
利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
y?
9917.59256.5（亿元）．
（2）利用模型②得到的预测值更可靠．
理由如下：
（ⅰ）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y30.413.5t上下．这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型y?
9917.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．
（ⅱ）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理．说明利用模型②得到的预测值更可靠．
以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．
3.解：
（1）第二种生产方式的效率更高.理由如下：
（i）由茎叶图可知：
用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时
间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至
多79分钟.因此第二种生产方式的效率更高.
（ii）由茎叶图可知：
用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5
分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟.因此第二
种生产方式的效率更高.
（iii）由茎叶图可知：
用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分
钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟，因此第二种生
产方式的效率更高.
（iv）由茎叶图可知：
用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的
最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高.
以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.
7981
（2）由茎叶图知m80.
2
列联表如下：
超过m
不超过m
第一种生产方式
15
5
第二种生产方式
5
15
（3）由于K240（151555）106.635，所以有99%的把握认为两种生产方20202020
式的效率有差异.
4.解：
（Ⅰ）由题意知，样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000，
第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25=50．
故所求概率为500.025．
2000
（Ⅱ）设事件A为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评”，
事件B为“从第五类电影中随机选出的电影获得好评”．
故所求概率为P（ABAB）=P（AB）+P（AB）
=P（A）（1–P（B））+（1–P（A））P（B）．
由题意知：
P（A）估计为0.25，P（B）估计为0.2．
故所求概率估计为0.25×0.8+0.75×0.2=0.．35
（Ⅲ）D1>D4>D2=D5>D3>D6．
5.解：
（Ⅰ）解：
由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，由于采用分层
抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．
（Ⅱ）：
随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．
k3k
Ck4C33k
P（X=k）=433（k=0，1，2，3）．
C7
所以，随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P
1
12
18
4
35
35
35
35
随机变量X的数学期望E（X）011122183412．
353535357
（ii）解：
设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则A=B∪C，且B与C互斥，由（i）知，P（B）=P（X=2），P（C）=P（X=1），故P（A）=P（B∪
C）=P（X=2）+P（X=1）=67．
所以，事件A发生的概率为6．
7
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