培优竞赛答案解析Word文档格式.docx

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pb，

[OF=CF

•••△OPA^ACPE（SAS）,

•••AO=CE,

•AC=AE+CE=AO+AP;

故③正确；

过点C作CH丄AB于H,

•••/PAC=ZDAC=60°

AD丄BC,

•CH=CD,

•-Saabc=AB?

CH,

S四边形aocp=Saacp+Saaoc=—AP?

CH+—OA?

CD=—AP?

CH+—OA?

CH=—CH?

（AP+OA）=—CH?

AC,

222S22

•-SaABC=S四边形AOCP；

故④正确.

故选D.

点评：

本题考查了等腰三角形的判定与性质，关键是正确作出辅助线.

2.如图，四边形ABCD是直角梯形，AB//CD,AD丄AB，点P是腰AD上的一个动点，要使PC+PB最小，则点P应该满足（）

轴对称-最短路线问题；

直角梯形.

专题：

压轴题；

动点型.

分析：

首先根据轴对称的知识，可知P点的位置是连接点B和点C关于AD的对称点E与AD的交点，利用轴对称和对顶角相等的性质可得.

解答：

解：

如图，作点C关于AD的对称点E,连接BE交AD于P,连接CP.

根据轴对称的性质，得/DPC=/EPD,根据对顶角相等知/APB=/EPD,所以/APB=/DPC.

此题的关键是应知点P是怎样确定的•要找直线上一个点和直线同侧的两个点的距离之和最小，则需要利用轴对称的性质进行确定.

3.

如图，△ABC是等腰直角三角形，△DEF是一个含30°

角的直角三角形，将D放在BC的中点上，转动△DEF,

DE,DF分别交AC,BA的延长线于E,G,则下列结论:

AG=CE②DG=DE

其中总是成立的是（）

D.①②④

A.①②③B.①②③④C.②③④考点：

旋转的性质；

全等三角形的判定与性质.

开放型.

连DA,由厶ABC是等腰直角三角形，D点为BC的中点，根据等腰直角三角形的性质得AD丄BC,AD=DC,

/ACD=/CAD=45°

得到/GAD=/ECD=135°

由/EDF=90°

根据同角的余角相等得到/仁/2，所以

△DAG◎△DCE,AG=EC,DG=DE，由此可分别判断.

解答:

连DA，如图，

•••△ABC是等腰直角三角形，D点为BC的中点，•••AD丄BC,AD=DC，/ACD=/CAD=45°

•••/GAD=/ECD=135°

又•••△DEF是一个含30°

角的直角三角形,

•/EDF=90°

•/1=/2,

•△DAG◎△DCE,

•ag=ec,dg=de，所以①②正确;

-AB=AC,

•BG-AC=BG-AB=AG=EC，所以③正确;

故选B.

Ax

£

本题考查了旋转的性质：

旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等•也考查了等腰直三角形的性质，特别是斜边上的中线垂直斜边并且等于斜边的半.

4.如图：

△ABC中，/ACB=90°

/CAD=30°

AC=BC=AD,CE丄CD，且CE=CD，连接BD,DE,BE,则下列结论：

①/ECA=165°

②BE=BC;

③AD丄BE;

④0=1.其中正确的是（）

BD

A.①②③B.①②④C.①③④|D.①②③④

等腰直角三角形；

含30度角的直角三角形.

①根据：

/CAD=30°

AC=BC=AD，禾U用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出/ECA=165°

从而得证结论正确；

2根据CE丄CD，/ECA=165°

利用SAS求证△ACD◎△BCE即可得出结论；

3根据/ACB=90°

AC=BC,利用等腰三角形的性质和△ACD◎△BCE,求出/CBE=30°

然后即可得出结论；

4过D作DM丄AC于M,过D作DN丄BC于N.由/CAD=30°

可得CM=丄AC,求证△CMDCND,

2

可得CN=CM=>

!

aC=2bc,从而得出CN=BN.然后即可得出结论.

22

-

①•••/CAD=30°

AC=BC=AD,/-ZACD=/ADC=三（180°

-30°

=75°

•/CE丄CD,/.ZDCE=90°

•••ZECA=165°

••①正确；

2•/CE丄CD,ZECA=165°

（已证），

•ZBAE=ZECA-ZACB=165-90=75°

ACD◎△BCE（SAS）,

•BE=BC,•②正确；

3tZACB=90°

ZCAD=30°

AC=BC,

•ZCAB=ZACB=45°

•ZBAD=ZBAC-ZCAD=45-30=15°

•/△ACD◎△BCE,

•ZCBE=30°

•ZABF=45+30=75°

•ZAFB=180-15-75=90°

•AD丄BE.

4证明：

如图，

过D作DM丄AC于M，过D作DN丄BC于N.

•••/CAD=30°

且DM=丄AC,

•/AC=AD，/CAD=30°

/-ZACD=75°

•••/NCD=90°

-ZACD=15°

ZMDC=ZDMC-ZACD=15°

CMD◎△CND,

•CN=CM=4C=〉BC,

22

•CN=BN.

•/DN丄BC,

•BD=CD.•••④正确.

所以4个结论都正确.

此题主要考查等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，含30度角的直角三

角形等知识点的理解和掌握，此题有一定的拔高难度，属于难题.

5.如图，BC//AM,ZA=90°

ZBCD=75°

点E在AB上，△CDE为等边三角形，BM交CD于F,下列结论：

①ZADE=45°

②AB=BC,③EF丄CD,④若ZAMB=30°

则CF=DF.其中正确的有（）

A.①②③B.①②④C.①③④|D.②③④

直角梯形；

等边三角形的性质；

含30度角的直角三角形；

等腰直角三角形.

由BC//AM得ZCDA=105°

根据等边三角形的性质得ZCDE=60°

则ZEDA=105°

-60°

=45°

过C作

CG丄AM，则四边形ABCG为矩形，于是ZDCG=90。

-ZBCD=15°

而ZBCE=75°

-60°

15°

易证得Rt△CBE也Rt△CGD，贝UBC=CG，得到AB=BC;

由于AG=BC，而AG和D，贝UCF：

FD=BC:

MD鬥，不能得到F点是CD的中点，根据等边三角形的性质则不能得到

EF丄CD;

若/AMB=30°

则ZCBF=30°

在Rt△AMB中根据含30度的直角三角形三边的关系得到

BM=2AB，贝UBM=2BC,

易得ZBFC=75°

所以BF=BC，得MF=BF，由CB//AM得CF：

FD=BF:

MF=1，即可有CF=DF.

TBC//AM,

•ZBCD+ZCDA=180°

tZBCD=75°

•ZCDA=105°

•••△CDE为等边三角形，

•••/CDE=60°

•••/EDA=105°

45°

所以①正确;

过C作CG丄AM，如图，

•••/A=90°

•四边形ABCG为矩形，

•••/DCG=90°

而厶CDE为等边三角形，

•••/DCE=60°

CE=CD,

•••/BCE=75°

=15°

•Rt△CBE也Rt△CGD,

•BC=CG,

•AB=BC，所以②正确；

•/AG=BC，而AG和D,

•CF:

MD为,

•F点不是CD的中点，

•EF不垂直CD，所以③错误；

则/CBF=30°

•在Rt△AMB中，BM=2AB,

•BM=2BC,

•••/BCD=75°

•/BFC=180°

-30°

-75°

75°

•BF=BC,

•MF=BF,

而CB//AM,

MF=1,

•CF=FD，所以④正确.

本题考查了直角梯形的性质：

有一组对边平行，另一组对边不平行，且有一个直角•也考查了矩形和等边三角形的性质、含30度的直角三角形三边的关系以及相似三角形的判定与性质.

6.如图，在△ABC中，AB=AC，/BAC=90°

直角/EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F,连接EF交AP于G.给出四个结论：

①AE=CF;

②EF=AP;

③△EPF是等腰直角三角形；

④/AEP=/AGF.其中正确的结论有（）

BPC

A.1个B.2个C.3个|D.4个

根据等腰直角三角形的性质得：

AP丄BC,AP==BC,AP平分/BAC.所以可证/C=/EAP；

/FPC=/EPA；

AP=PC.即证得△APE与厶CPF全等.根据全等三角形性质判断结论是否正确.

TAB=AC，/BAC=90°

直角/EPF的顶点P是BC的中点，

•••AP丄BC,AP=?

BC=PC,/BAP=/CAP=45°

/C.

•••/APF+/FPC=90°

/APF+/APE=90°

•••/FPC=ZEPA.

•△APE◎△CPF（ASA）.

•••①AE=CF;

③EP=PF，即△EPF是等腰直角三角形；

•••△ABC是等腰直角三角形，P是BC的中点，

•ap=2bc,

•••EF不是△ABC的中位线，

•EF祺P，故②错误；

④•••/AGF=/EGP=180°

-ZAPE-ZPEF=180。

-/APE-45°

/AEP=180°

-ZAPE-ZEAP=180°

-ZAPE-45°

•ZAEP=ZAGF.

故正确的有①、③、④，共三个.

因此选C.

此题考查全等三角形的判定和性质，综合性较强.

7.如图，AM、BE是厶ABC的角平分线，AM交BE于N,AL丄BE于F交BC于L,若ZABC=2ZC,下列结论:

①BE=EC;

②BF=AE+EF;

③AC=BM+BL;

④ZMAL=丄ZABC，其中正确的结论是（）

4

等腰三角形的判定与性质.

根据角平分线定义求出ZABE=ZEBC=ZC,根据等角对等边求出BE=CE，即可判断①；

2222222

证厶ABEACB,推出AB=AE>

^AC,求出AF=AB-BF=AE-EF,把AB=AE代入入上式即可

求出BF=AE+EF，即可判断②；

延长AB到N，使BN=BM,连接MN,证厶AMC◎△AMN,△AFB◎△BLF,推出AB=BL,即可判断③；

设ZLAC=x°

ZLAM=y°

则ZBAM=ZMAC=（x+y）°

证厶AFB◎△BLF推出ZBAF=ZBLF,

ZBAF=ZBAM+ZMAL=x°

+y°

ZBLA=ZC+ZLAC=ZC+x°

得出方程x°

ZC+x°

求出ZC=2y°

ZABC=4y°

即可判断④.

TBE是ZABC的角平分线,

•ZEBC=ZABE=丄ZABC,

tZABC=2ZC,

•ZABE=ZEBC=ZC,

•BE=EC,•①正确；

tZABE=ZACB,ZBAC=ZEAB

•△ABEACB,

•塑=塑

•AB卫，

•••AB=AE>

AC,在Rt△AFB与Rt△AFE中，由勾股定理得：

AF2=AB2-BF2=AE2-EF2,

把AB=AE>

AC代入入上式得：

22—

AE>

AC-BF=AE-EF,

小222222

贝VBF=AC>

AE-AE+EF=AEX（AC-AE）+EF=AEXEC+EF=AEXBE+EF,oo

即（BE-EF）=AEXBE+EF,

222

•BE2-2BE疋F+EF2=AE>

BE+EF‘，

•BE-2BE疋F=AE>

BE,

•BE-2EF=AE,

BE-EF=AE+EF,

即BF=AE+EF,•②正确；

延长AB到N使BN=BM，连接MN则△BMN为等腰三角形，

•/BNM=/BMN:

△BNM的一个外角/ABC=/BNM+/BMN=2/BNM,

则/BNM=/ACB,

在厶AMC与厶AMN'

中

Zmac=Zman'

1Zc=Zn"

，

M二驯

•△AMC◎△AMN'

（AAS）,

•AN=AC=AB+BN=AB+BM,

又•••AL丄BE,

•/AFB=/LFB=90°

在厶AFB与厶LFB中，

rZAFB=ZLFB

-BF二BF,

lZABF=ZLBF

•••△AFB◎△BLF（ASA）,

•AB=BL,

贝UAN=AC=AB+BN=AB+BM=BM+BL，即AC=BM+BL，•③正确；

设/LAC=x°

/LAM=y°

•/AM平分/BAC,

•/BAM=/MAC=（x+y）°

•/△AFB◎△BLF,

•/BAF=/BLF,

•••/BAF=/BAM+/MAL=x°

y°

/BLA=/C+ZLAC=/C+x°

•x+y+y=ZC+x,

•ZC=2y°

vZABC=2ZC,

•ZABC=4y°

即ZMAL=ZABC,

•④正确.

故选c.

本题考查了勾股定理，相似三角形的性质和判定，角平分线性质，相似三角形的性质和判定等知识点的综合运用.

二•解答题（共8小题）

&

如图，在△ABC中，AB=AC,E在线段AC上，D在AB的延长线，连DE交BC于F,过点E作EG丄BC于

G•

（1）若/A=50°

/D=30°

求/GEF的度数；

（2）若BD=CE，求证：

FG=BF+CG•

等腰三角形的性质；

证明题.

（1）根据等腰三角形两底角相等求出/C,再根据直角三角形两锐角互余求出/CEG，然后根据三角形的

一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出/CEF，然后计算即可得解；

（2）过点E作EH//AB交BC于H,根据两直线平行，同位角相等可得/ABC=/EHC，内错角相等可得

/D=/FEH，然后求出/EHC=/C,再根据等角对等边可得EC=EH，然后求出BD=EH，再利用角角边”

证明△BDF和△HEF全等，根据全等三角形对应边相等可得BF=FH,根据等腰三角形三线合一的性质可得

CG=HG，即可得证.

（1）解：

•••/A=50°

•••/C=2（180°

—/A）=丄（180°

-50°

=65°

•/EG丄BC,

•••/CEG=90°

-ZC=90°

-65°

25°

V/A=50°

•••/CEF=/A+/D=50°

30°

80°

•••/GEF=/CEF-/CEG=80°

-25°

=55°

（2）证明：

过点E作EH//AB交BC于H,则/ABC=/EHC,/D=/FEH,

•/AB=AC,

•••/ABC=/C,

•••/EHC=/C,

•EC=EH,

•/BD=CE,

•BD=EH,

在厶BDF和厶HEF中，

Nd二/FEH

'

ZEFH=ZDFB,

lbd=eh

•••△BDF◎△HEF（AAS）,

•BF=FH,

又•••EC=EH,EG丄BC,

•CG=HG,

•

FG=FH+HG=BF+CG.

非负数的性质：

绝对值；

偶次方；

坐标与图形性质；

等腰直角三角形.

（1）

分析:

根据a=t,b=t，推出a=b即可；

（2）延长AF至T,使TF=AF，连接TC,丁0,证厶TCF◎△AEF，推出CT=AE，/TCF=/AEF，再证

△TCO◎△ABO，推出TO=AO，/TOC=/AOB，求出△TAO为等腰直角三角形即可；

（3）连接MQ,NQ,BQ,B'

Q,过M作MH//CN交x轴于H，证△NTB噬\MTH，推出TN=MT，证

△NQBMQB，推出/NB'

Q=/CBQ，求出△BQB是等腰直角三角形即可.

（1）解：

Ta,b满足（a-t）+|b-t|=0（t>

0）.

•••a-t=0,b-t=0,

a=t,b=t,

•a=b,

•••B（t,0）,点C（0,t）

•OB=OC;

延长AF至T,使TF=AF，连接TC,TO,

•••F为CE中点，

•CF=EF,

在厶TCF和厶AEF中

©

F二EF

■ZCFT=ZEFA

FT=AF

•△TCF◎△AEF（SAS）,

•CT=AE，/TCF=/AEF,

•TC//AD,

•/TCD=/CDA,

•/AB=AE,

•TC=AB,

•/AD丄AB,OB丄OC,

•/COB=/BAD=90°

•/ABO+/ADO=180°

•••/ADO+/ADC=180°

•/ADC=/ABC,

•••/TCD=/CDA,

•/TCD=/ABO,

在厶TCO和厶ABO中

TC二AB

-ZTC0=ZAB0

、0C二OB

•△TCO◎△ABO（SAS）,

•TO=AO,/TOC=/AOB,

•••/AOB+/AOC=90°

•/TOC+/AOC=90°

•△TAO为等腰直角三角形，

•/OAF=45°

（3）解：

连接MQ,NQ,BQ,B'

Q,过M作MH//CN交x轴于H,

•••B和B关于关于y轴对称，C在y轴上，

•CB=CB

•/CBB=/CBB,

•/MH//CN,

•/MHB=/CBB,

•••/MHB=/CBB:

:

.MH=BM,

•/BM=B'

N,

•MH=BN,

•/MH//CN,

•••/NBT=/MHT,在△NTB和△MTH中

2肘t^Zmht

-ZB;

TN^ZJITH

EN=MH

•△NTB'

也△MTH,

•TN=MT，又TQ丄MN,

•MQ=NQ,

•/CQ垂直平分BB

•BQ=BQ,

•••在NQB和厶MQB中

®

N=BM

B7Q=BQ

tNQ=MQ

•△NQBJMQB（SSS）,

•/NBQ=/CBQ,而/NB'

Q+/CBQ=180°

•/CBQ+/CBQ=180°

•/B'

CB+/BQB=180°

又/BCB=90°

•/BQB=90°

•△BQB是等腰直角三角形，

•OQ=OB=t,

•Q（0,—t）.

本题考查了全等三角形的性质和判定，坐标与图形性质，等腰三角形的性质，等腰直角