高考一轮总复习数学理科练习第二章 函数导数及其应用第五节 指数与指数函数doc.docx
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第五节指数与指数函数
【最新考纲】1•理解有理指数幕的含义，了解实数指数無的意义,
掌握無的运算.2.了解指数函数模型的实际背景.3.理解指数函数的概念
及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,3,10,
1
29
专的指数函数的图象・4•体会指数函数是一类重要的函数模型
自主总亀•本StTVMl
刀
1.根式的性质
©I基础梳理
教材回归I固本強思
（2）当n为奇数时，I^aH=a.
（3）
（a^O）
（a<0）
当n为偶数时，折=|a|=
（4）负数的偶次方根无意义.
（5）零的任何次方根都等于零.
2.有理指数幕
（1）分数指数幕
①正分数指数幕:
a7=0,
m,nGN；且n>l）；
②负分数指数壽:
Hl1
a——=nm
an
（a>0,m,n^N*,且n>l）；
③0的正分数指数幕等于0,0的负分数指幕没有意义.
（2）有理数指数幕的运算性质：
①ar•as=ar+s（a>0,r>sGQ）；
（2）（ar）s=a2（a>0,r>sWQ）；
③（ab）r=arbr（a>0,b>0,reQ）.
3.
指数函数的图象与性质
4.
定义域
R
（0,+8）
④I学情自测
1.（质疑夯基）判断下列结论的正误.（正确的打“，错误的打
（1）勺（一4）"=—4.（）
21
⑵（-1）4=（-1）2=7^.（）
⑶函数y=2—是指数函数.（
（4）函数y=ax2+l（a>l）的值域是（0,+8）.（）
答案：
⑴X
（2）X（3）X（4）X2.化简（-2）6]2-（-1）°结果为（）
B・7
C・一10D・9
11
解析:
（-2）6]2-（-l）°=（26）2-l=8-l=7.
答案：
B
3.已知函数f（x）=4+ax_1的图象恒过定点P,则点P的坐标是
（）
A・（1,5）B・（1,4）
C・（0,4）D・（4,0）
解析：
由a°=l知，当x—1=0,即x=l时，f（l）=5,即图象必过定点（1,5）.
答案：
A
4.（2016•唐山一模）函数f（x）=a/2_x—2的定义域是・
解析：
由题意可得：
2x-2^0,A2X^2,A-x^l,Ax^-1,即函数的定义域为（一00,—1]・
答案：
（一8,"I]
5.指数函数y=（2-a『在定域内是减函数，则a的取值范围是
解析：
由题意知OV2-a答案：
（L2）
"［名师微博・通法领悟｝
两种方法
根式与分数指数幕的实质是相同的，分数指数幕与根式可以互
化，通常利用分数指数幕进行根式的化简运算.
2.判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x=l得到底数的值再进行比较.
三点注意
1.指数函数的单调性取决于底数a的大小，因此解题时通常分0l进行分类讨论.
2.对和复合函数有关的问题，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成并且一定要注意函数的定义域.
3・对可化为a2x+b-ax+c=0或a2x+b-ax+c^0（^0）形式的方程式不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围.
鎰扁刮•高效提能I
一、选择题
1•若x=log43,则（2*—2x）2=（）
所以0—2巧2=普「=害
答案：
D
2・函数f（x）=2|x-11的图象是（）
px_1,5,
解析：
f（x）=wiy—1
间，Y1,
由图象特点可知选B・答案：
B
3.函数f（x）=a”T（a>0,a^l）的图象恒过点A,下列函数中图象
不经过点A的是（）
A.y=#l_xB・y=|x—2|
C・y=2%—1D・y=log2（2x）
解析：
f（x）=ax_1（a>0,a=#l）的图象恒过点（1,1）,又由迈二1=0知（1,1）不在函数y=y]l—x的图象上.
答案：
A
4.若函数f（x）=a|2x_4|（a>0,a^l）,满足f（l）=|,则f（x）的单调
递减区间是（）
C・一2,+°o）D・（一8,-2］
解析：
由f（l）=g,得a2=^,••.a=3（a=—g舍去），即f（x）=亍
|2x-4|
由于y=|2x—4|在（一°°,2］上递减，在2,+8）上递增，所以f（x）在（一8,2］上递增，在2,+8）上递减.
答案：
B
（2015-天津卷）已知定义在R上的函数f（x）=2|x-m|-l（m为实数）为偶函数,记a=f（logo.53）,b=f（log25）,c=f（2m）,则a,b,c的大小关系为（）
A・aC・c解析：
由f（x）=2|x_m|—1是偶函数可知m=0,所以f（x）=2|x|—1.所以a=f（log053）=2|log0.531—1=21og23—1=2,
b=f（log25）=2|log251—1=21og25—1=4,c=f（0）=2|0|-l=0,所以c答案:
C
6.如果函数/（乂）=“2+2攵一3在区间（-00,4）上是单调
递增的，则实数a的取值范围是（）
A.a>—-^―B—丄
44
C.—丄WaVOD.—丄WaWO
44
答案：
D
二、填空题
7.（2015•江苏卷）不等式2x2-x<4的解集为・
解析：
・・・2x2-xV4,A2x2-x<22,
Ax2-x<2,即x2-x-2<0,・・・一1VxV2・
答案：
｛x|—lVxV2｝（或（一1,2））
8・（2015-山东卷）已知函数f（x）=ax+b（a>0,aHl）的定义域和值域都是一1,0],则a+b=・
解析：
当a>l时，函数f（x）=ax+b在一1,0]上为增函数，由题a_1+b=—1,
意得a.八无解.当0VaV1时，函数f（x）=ax+b在一1,0]
a+b=0
3答案：
—弓
9.y=—以+2&|+3的单调增区间为・
解析：
由题意知9当工鼻0时｛=—*+2jt+3=—（攵一I）?
+4；当乂<0时9丿=—oc2—2乂+3=—（乂+1），+49
函数;y=—jr2+2|jr|+3在（一oo,—1],[0,1]Ji是增函数.
答案：
（—oo,—叮
三、解答题
是14,求a的值.
解:
令t=ax（a>0JLaHl）,
则原函数化为y=（t+l）2-2（t>0）・
■■
①当0VaV1时，xe-1,1],t=axea,-,a此时f（t）在a,£上为增函数.
d
』+1¥-2=14・
则E+l『=16,所以a=-|或a=*・又因为a>0,所以a=亍
②当a>l时，xW-l,1],t=axea此时f（t）在I，a上是增函数.
.d
所以f（t）max=f（a）=（a+l）2-2=14,
解得a=3（a=—5舍去），
综上得a=±或3・
⑴讨论f（x）的奇偶性;
⑵求a的取值范围，使f（x）>0在定义域上恒成立.
解：
⑴由于ax—1^0,则ax=#l,得xHO,所以函数f（x）的定义域为{x|xHO}・
对于定义域内任意x,有
=冇+牛3=3・
・・・f（x）是偶函数.
（2）由
（1）知f（x）为偶函数，•••只需讨论x>0时的情况.
（1
当x>o时，要使f（x）>o,即Hr^+i|x3>o,
存才+1即2（ax—1）
>0,即ax-l>0,ax>l.
又・.、>0,Aa>l.因此a>l时f（x）>0.
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