长方体和正方体知识点总结+练习.docx

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长方体和正方体知识点总结+练习

第二单元长方体和正方体总结

一、长方体和正方体的特征：

形体

相同点

不同点

关系

面

棱

顶点

面的形状

面的大小

棱长

长方体

6

12

8

一般六个面都是长方形（也有两个相对的面是正方形）。

相对的面面积相等

平行的四条棱长度

相等

正方体是特殊的长方体

正方体

6

12

8

六个面都是正方形

六个面的面积相等

十二条棱长都相等

长方体：

①有6个面，相对的面完全相同；

长方体放桌面上，最多只能看到3个面。

②有12条棱，相对的棱长长度相等，而且相对的棱互相平行；

12条棱可以分为3组（分别为长、宽、高），每组的4条棱一样长；

长方体的棱长总和=长×4+宽×4+高×4=（长+宽+高）×4

      ③有8个顶点，每个顶点上的三条棱分别称为长方体的长、宽、高。

正方体：

①有6个完全相同的面；正方体放桌面上，最多只能看到3个面。

②有12条长度相等的棱，每条棱的长度称为正方体的棱长；正方体的总棱长=棱长×12。

③有8个顶点。

练一练：

1.一个长方体长、宽、高分别是10cm、7 cm、4 cm ，这个长方体的棱长和是多少厘米？

（提示：

根据长方体的总棱长公式计算）

2.一个长方体的棱长和是160dm，其中，长是20dm，宽是8dm，它的高是多少？

从一个顶点引出的三条棱的长度总和是多少？

3.将一根铁丝长720厘米做成正方体，则正方体的棱长是多少厘米？

二、长方体和正方体的表面积

定义：

长方体或正方体6个面的总面积，叫做它的表面积。

1.法一：

（1）长方体的表面积（有六个面）=长×宽×2+长×高×2+宽×高×2

=（长×宽+长×高+宽×高）×2（因为长方体相对的面完全相同）

法二：

前、后面：

长×高×2=X

左、右面：

长×高×2=Y

上、下面：

长×宽×2=Z

则长方体的表面积（有六个面）=X+Y+Z  

2.正方体的表面积（有六个面）=棱长×棱长×6（因为正方体的六个面完全相同）

在解决一些问题时，要充分考虑实际情况，想清楚要算几个面。

在解答时，可以把这几个面的面积分别算出来，再相加，也可以先算出六个面的面积总和，再减去不需要的那个（些）面。

一个抽屉有5个面，分别是前面、后面、左面、右面、底面。

所以做这样一个抽屉所需要的木板，只要算出这5个面的面积就可以了。

通风管顾名思义是通风用的，没有上面和底面。

所以只要算四个侧面就可以了。

（1）具有六个面的长方体或正方体物品：

油箱、罐头盒、纸箱子等；

（2）具有五个面的长方体或正方体物品：

水池、鱼缸等；

（3）具有四个面的长方体或正方体物品：

水管、烟囱等。

练一练：

1.一个正方体纸箱，棱长8dm，做100个这样的纸箱至少需要多少平方米纸板？

（提示：

100个需要多少平方米纸板，先算出一个需要多少，也就是求正方体的表面积。

注意单位换算）

2.一只无盖的长方形鱼缸，长0.4米，宽0.25米，深0.3米，做这只鱼缸至少要用玻璃多少平方米？

（提示：

首先明白算哪几个面，画出示意图再做）

3.一个游泳池，长25米，宽10米，深2.4米，在游泳池的四周和池底砌瓷砖，如果瓷砖的边长是2分米的正方形，那么至少需要这种瓷砖多少块？

（提示：

1.算哪几个面2.这些面是用瓷砖一块一块砌成的）

4.一间教室的长是10米，宽是8米，高是4米，现在要粉刷教室的屋顶和四壁，除去门窗面积25平方米，粉刷面积是多少？

（提示：

1.明白粉刷哪几个面，算出面积2.门窗不需要粉刷，要减去25平方米）

5.一个长方体长8厘米，宽4厘米，高4厘米，把它锯成3段，表面积至少增加多少？

（提示：

1.锯成3段，会有几个锯缝？

会增加几个面？

2.长方体最小的面是多少，算出之后乘以增加的面数就是所求答案。

画出示意图）

三、体积与容积单位及换算

1.体积：

物体所占空间的大小叫做物体的体积。

1立方米=1000立方分米

1立方分米=1000立方厘米

食指的手指尖的体积大约是1立方厘米；粉笔盒的体积大约是1立方分米；装29英寸电视机的大纸箱的体积大约是1立方米。

2.容积：

容器所能容纳物体的体积，叫做它们的容积。

计量容积一般用体积单位：

立方厘米、立方分米和立方米。

但计量液体的体积，如水、油等，常用升和毫升（即L和ml）。

1升=1000毫升

1毫升=1立方厘米

3.体积单位与容积单位：

1升=1立方分米

1毫升=1立方厘米

练一练：

1.在括号填上合适的单位

一大瓶可乐是2（）一瓶哇哈哈矿泉水是600（）

一个集装箱是20（）一块橡皮大约是10（）

2.6.09立方米=（）立方厘米

32.05L=（）立方分米=（）ml=（）立方厘米

四、长方体与正方体体积（或容积）的计算

1.长方体的体积=长×宽×高

      正方体的体积=棱长×棱长×棱长（棱长的三次方） 

长方体或正方体的体积=底面积×高

容积的计算方法和体积是相同的，只是测量时体积是测量物体外面的数据，而容积是测量物体部的数据。

不计物体的厚度，体积=容积。

2.不规则物体（不溶于液体）的体积计算

放入物体

（1）一个水杯，底面积为S,水的高度为h,则水的体积=Sh.当放入石头之后（石头不溶于水且全部浸没在水中），水的高度变为H,则水杯总体积为=SH.（石头不溶于水，水上升的体积等于石头的体积。

）

石头的体积=SH-Sh=S（H-h）。

拿出物体

（2）一个水瓶里有水和铁块（铁块全部浸没在水中），底面积为S,水的高度为H,则水瓶总体积=SH.当拿出铁块水中物体之后，水的高度变为h,则水杯里水的体积为=Sh.（铁块不溶于水，水下降的体积等于铁块的体积）

铁块的体积=SH-Sh=S（H-h）。

3.盐溶于水，则盐的体积+水的体积﹥盐水的体积

练一练：

1.学校把10.5立方米的沙子铺在长6米，宽3.5米的沙坑里，铺好之后，沙子的厚度是多少？

（沙子在沙坑里形成一个长方体，求厚度也就是求长方体的高）

挖一个长50米，宽30米，高2米的养鱼池，这个养鱼池的占地面积是多少？

如果用水泵往养鱼池里注水12小时，池水深1.5米，这个水泵每小时注水多少立方米？

（提示：

1.养鱼池是个长方体，占地面积也就是长方体的底面积或长方体的上面。

2.求每小时注入多少水，先算12个小时注入多少水。

12小时注入的水是什么立体几何？

工作效率（每小时注水的量）×工作时间（12小时）=工作总量（水的体积））

第二讲长方体和正方体

一、长方体和正方体的认识

【知识点1】

要素

立体图形

棱

面

顶点

数量

特征

数量

特征

数量

特征

长方体

12

互相平行的棱长度相等

6

相对的面完全相同

8

同一个顶点引出的三条棱分别叫做长、宽、高

特殊长方体

12

垂直于正方形面的棱长度相等

6

两个面是正方形，其余四个面是完全相同的长方形

8

正方体

12

所有的棱长度都相等

6

所有面都是正方形且完全相同

8

一个长方体至少可以有两个面是正方形，最多可以有6各面是正方形，但不会存在3个、4个、5个面是正方形！

练习：

（1）判断并改正：

1、长方体的六个面一定是长方形；（）

2、正方体的六个面面积一定相等；（）

3、一个长方体（非正方体）最多有四个面面积相等；（）

4、相交于一个顶点的三条棱相等的长方体一定是正方体。

（）

7、长方体的三条棱分别叫做长、宽、高。

（）

8、有两个面是正方形的长方体一定是正方体。

（）

9、有三个面是正方形的长方体一定是正方体。

（）

11、有两个相对的面是正方形的长方体，另外四个面的面积是相等的。

（　）

12、长方体和正方体最多可以看到3个面。

（）

　14、正方体不仅相对的面的面积相等，而且所有相邻的面的面积也都相等。

（　）

　15、长方体（不包括正方体）除了相对的面相等，也可能有两个相邻的面相等。

（　）

16、一个长方体中最少有4条棱长度相等，最多有8条棱长度相等。

（）

（2）填空：

1、一个长方体最多有（）个面是正方形，最多有（）条棱长度相等。

2、一个长方体的底面是一个正方形，则它的4个侧面是（）形。

3、正方体不仅相对的面相等，而且所有相邻的面（  ），它的六个面都是相等的（  ）形。

4、把长方体放在桌面上，最多可以看到（）个面。

最少可以看到（）个面。

【知识点2】

棱长和公式：

长方体棱长和=（长+宽+高）×4长+宽+高=棱长和÷4

长方体棱长和=下面周长×2+高×4

长方体棱长和=右面周长×2+长×4

长方体棱长和=前面周长×2+宽×4

正方体棱长和=棱长×12棱长=棱长和÷12

棱长和的变形：

例如：

有一个礼盒需要用彩带捆扎，捆扎效果如图，打结部分需要10厘米彩带，一共需要多长的彩带？

分析：

本题虽然并未直接提出求棱长和，但由于彩带的捆扎是和棱相互平行的，因此，在解决问题时首先确定每部分彩带与那条棱平行，从而间接去求棱长和。

前面和后面的彩带长度=高的长度；左面和右面的彩带长度=高的长度；

上面和下面的彩带长度=长的长度。

需要彩带的长度=高×4+长×2+宽×2+打结部分长度

20×4+30×2+10=150cm

练习：

（1）看图2-6，并填空单位：

厘米

这个长方体长（　）厘米，宽（　）厘米，高（　）厘米。

由一个顶点引出的三条棱的长度和是（　　　）厘米。

棱长总和是（　　　）厘米。

上下两个面是（　　　）形。

（2）看图2-7并填空单位：

厘米

这是一个（　　　）体，正方体的棱长是（　　　）厘米，棱长之和是（　　　）厘米，每个面的面积是（　　　）平方厘米。

（3）有一个长方体的鱼缸，长50厘米，宽30厘米，高30厘米，需要在用铝合金包裹玻璃连接处，需要（）米的铝合金。

（4）把两个棱长1厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的棱长总和是（　）厘米。

（7）一个长方体长12厘米宽8厘米高7厘米，把它切成一个尽可能大的正方体，这个正方体的棱长是（　）。

（7）一个长方体的礼堂如图，过节时需要在四周装上成串的彩灯，每串彩灯长2m，一共需要多少串彩灯？

（8）一只鱼缸，棱长和为280cm，其中，底面周长为50cm，右面周长为40cm，前面周长为50cm，鱼缸的长、宽、高各是多少？

【知识点3】

确定长方体中每个面的形状以及长、宽、高分别是多少。

长方体一共有（）个面，（）面完全相同，如：

前面和（）完全相同，（）和（）完全相同，（）和（）完全相同。

根据习惯我们一般认为在一个平面中水平方向的为长，垂直方向的为高。

根据这一习惯我们我们只需找到需要的面并根据习惯确定长和宽即可。

例如：

如图下列长方体的后面是（）形状，长是（）宽是（）；它的右面是（）形状，长是（）宽是（）；下面是（）形状，长是（）宽是（）。

练习：

（1）长方体展开后每个面都是什么形状？

展开后哪俩个面是相对的面？

面积相等吗？

上下，左右、前后各个面的长和宽分别是原长方体的什么？

（2）一个长方体的长是25厘米，宽是20厘米，高是18厘米，最大的面的长是（）厘米，宽是（）厘米，它的面积是（）平方厘米；最小的面长是（）厘米，宽是（）厘米，它的面积是（）平方厘米。

（3）一个长方体的长、宽、高分别是8、6、4米，它的前后的面的面积是（），左右的面的面积是（），上下的面的面积是（）。

【知识点4】

经过折叠可以组合成正方体:

经过折叠可以组合成长方体：

练习：

下列三个图形中，能拼成正方体的是（　）

　　①

  ②

   ③

【知识点5】

长方体或正方体的切割组合对棱长的影响

（1）切割

将长方体横向切割成两个长方体后，棱长将比原来一个长方体时增加4条长和4条宽；（棱长增加的最长）

将长方体竖向切割成两个长方体后，棱长将比原来一个长方体时增加4条宽和4条高；（棱长增加的最短）

将正方体沿无论沿那个方向切割成两个长方体后，棱长将比原来增加4条棱。

2、组合

将两个完全相同的长方体沿上下面组合后，棱长比原来两个长方体时减少4条长和4条宽；（棱长减少的最多）

将两个完全相同的长方体沿前后面组合后，棱长比原来两个长方体时减少4条长和4条高；

将两个完全相同的长方体沿左右面组合后，棱长比原来两个长方体时减少4条宽和4条高；（棱长减少的最少）

将两个完全相同的正方体沿上下面组合后，棱长比原来两个正方体时减少8条棱；

一次类推将三个完全相同的正方体沿上下面组合后，棱长比原来三个正方体时减少16条棱，四个组合减少24条棱，五个组合减少32条……（公式：

8×（N—1））

例如：

将五个完全相同的正方体组合成一个长方体后，棱长和为140厘米，原来每个正方体的棱长和是多少？

分析：

五个正方体棱长共有12×5=60条；

将五个完全相同正方体组合后棱长比原来减少32条，还剩60-32=28条；

即这28条棱的长度和即为新长方体的棱长和，所以正方体一条棱的长度为：

140÷28=5cm；

所以一个正方体的棱长和为：

5×12=60cm。

【知识点6】

小正方体拼大正方体的规律

由于正方体，每条棱的长度相等，所以要用小的正方体拼出大的正方体每条棱上摆放的小正方的个数应该是相等的，因此要拼出最小的正方体至少需要2×2×2=23=8个（也就是说每条棱上放2个小正方体），接着再往大了拼正方体，就是每条棱上放3个小正方体即3×3×3=33=27个，依次类推接下来是4×4×4=43=64个；5×5×5=53=125个……

从中我们可以发现要用小的正方体拼出大的正方体所需要的小正方体的个数应该是一个数的立方。

这就要求我们能够熟记一些数的立方：

23=833=2743=6453=12563=216

73=34383=51293=729103=1000

小正方体拼大长方体的规律

规律同正方体，首先观察大长方体各棱长分别是小正方体棱长的几倍，如，长方体长是小正方体棱长的a倍，宽是小正方体棱长的b倍，高是小正方体棱长的c倍，则，大长方体就是由a×b×c个小正方体组成的。

练习：

（1）用棱长为3厘米的小正方体拼棱长为9厘米的大正方体需要（）个小正方体。

A、8个B、27个C、26个D、64个

（2）一个长方体的长宽高分别是18、12、9，如果用棱长为3的小正方拼一个这样的长方体，一共需要（）块这样的小正方体。

（3）一个长方体的盒子里面长5分米，宽4分米，深3分米，放棱长为5厘米的正方体小木块共可以放（　）块。

2、长方体和正方体的表面积

【知识点1】

长方体表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2=（a×b+a×c+b×c）×2

=（前面面积+上面面积+右面面积）×2

正方体表面积=棱长×棱长×6=a×a×6=6a2

=任意一个面的面积×6

前面面积=后面面积；左面面积=右面面积；上面面积=下面面积

两个棱长和相等的长方体或一个长方体和一个正方体，表面积不一定相等！

表面积相等的两个长方体或一个长方体和一个正方体，棱长和也不一定相等！

练习：

1、一个长方体长6厘米，宽4厘米，高3厘米。

这个长方体上下两个面的面积各是（  ）平方厘米，前后两个面的面积各是（  ）平方厘米，左右两个面的面积各是（  ）平方厘米，表面积是（  ）平方厘米。

2、判断题：

长方体的表面积一定比正方体的表面积大。

（）

如果一个长方体能锯成四个完全一样的正方体，那么长方体前面的面积是底面积的4倍．（     ）

3、把一个棱长为6米的正方体分成两个大小、形状相同的长方体，每个长方体的表面积是（    ）㎡。

4、长方体的长是6厘米，宽是4厘米，高是2厘米，它的棱长总和是（      ）厘米，六个面中最大的面积是（      ）平方厘米，表面积是（      ）平方厘米。

5、用字母表示正方体（或长方体）的表面积＝（　　　）；用字母表示长方体的体积公式是（　　　）。

6、下面哪些问题跟长方体表面积有关。

（）

A：

在一个长方体木箱外面刷油漆，刷油漆的面积一共有多少平方分米？

B：

做一个长方体的金鱼缸需要多少玻璃？

C：

求一个长方形足球场需多少平方米的草皮？

7、一个长方体的长是5分米，宽和高都是4分米，在这个长方体中，长度为4分米的棱有（）条，面积是20平方分米的面有（）个。

8、一个长方体的金鱼缸，长是8分米，宽是5分米，高是6分米，不小心前面的玻璃被打坏了，修理时配上的玻璃的面积是（）。

9、一个长方体侧面积是360平方厘米，高是9厘米，长是宽的1.5倍，求它的表面积。

【知识点2】

长方体表面求法的变形：

1　贴商标类型：

只求四周面积。

例如：

一个长方体包装盒，长宽高分别为8,4,5，需要在包装盒四周贴上商标，需要商标纸的面积是多少？

2　游泳池类型：

只求四周和底面。

例如：

一座游泳池，长宽高分别为10m，4m，1.5m，需要在池贴上边长为1dm的瓷砖，大约需要多少块瓷砖？

3　抽纸盒类型：

六个面面积减去缺口面积。

例如：

一款抽纸盒，长宽高分别是20cm，12cm，5cm，上面有长14cm，宽3cm的抽纸口，做这款抽纸盒需要多少硬纸片？

4　占地面积问题：

只求底面面积。

例如：

一个长方体蓄水池，长12m，宽8m，深3m，这个水池占地面积多少平方米？

练习：

（1）一盒饼干长20厘米，宽15厘米，高30厘米，现在要在它的四周贴上商标纸，如果商标纸的接头处是4厘米，这商标纸的面积是多少平方厘米？

（2）一种长方体硬纸盒，长10厘米，宽6厘米，高5厘米，有2平方米的硬纸板210，可以做这样的硬纸盒多少个？

（不计接口）

（3）一个通风管的横截面是边长是0.5米的正方形,长2.5米.如果用铁皮做这样的通风管50只,需要多少平方米的铁皮?

（4）一个房间的长6米，宽3.5米，高3米，门窗面积是8平方米。

现在要把这个房间的四壁和顶面粉刷水泥，粉刷水泥的面积是多少平方米？

如果每平方米需要水泥4千克，一共要水泥多少千克？

（5）在一节长120厘米，宽和高都是10厘米的通风管，至少需要铁皮多少平方厘米？

做12节这样的通风管呢？

（6）做一个正方体无盖纸盒，棱长是21厘米，至少需要多少平方厘米的纸板？

（7）一个抽屉，长50厘米，宽30厘米，高10厘米，做这样的2个抽屉，至少需要木板多少平方厘米？

（8）长方体的长为12厘米，高为8厘米，阴影部分的两个面的面积和是200平方厘米，这个长方体的表面积是多少平方厘米？

3.一只鱼缸，棱长和为280cm，其中，底面周长为50cm，右面周长为40cm，前面周长为50cm，这只鱼缸的占地面积是多少平方厘米？

（10）一块长方形铁皮长60厘米，宽40厘米，如图，从四个角上剪去边长是10厘米的正方形，然后做成盒子，这个盒子的表面积是多少平方厘米？

（11）一个无盖正方体铁桶外进行涂漆，涂漆的是（）个面.

【知识点3】

棱长变化对表面积的影响：

（1）正方体

正方体的棱长扩大2倍，其棱长和也扩大2倍，表面积扩大4倍，体积扩大8倍；

正方体的棱长扩大3倍，其棱长和也扩大3倍，表面积扩大9倍，体积扩大27倍；

正方体的棱长扩大n倍，其棱长和也扩大n倍，表面积扩大n2倍，体积扩大n3倍。

2、长方体

长方体的长宽高同时扩大2倍，其棱长和也扩大2倍，表面积扩大4倍，体积扩大8倍；

长方体的长宽高同时扩大3倍，其棱长和也扩大3倍，表面积扩大9倍，体积扩大27倍；

长方体的长宽高同时扩大n倍，其棱长和也扩大n倍，表面积扩大n2倍，体积扩大n3倍。

长方体的长扩大a倍，宽扩大b倍，高扩大c倍，棱长和变化无规律，表面积变化也无规律，体积扩大a×b×c倍。

长方体的长扩大a倍，宽扩大b倍，棱长和变化无规律，表面积变化无规律，体积扩大a×b倍。

长方体的宽扩大b倍，高扩大c倍，棱长和变化无规律，表面积变化无规律，体积扩大b×c倍。

长方体的长扩大a倍，高扩大c倍，棱长和变化无规律，表面积变化无规律，体积扩大a×c倍。

练习：

（1）大正方体的棱长是小正方体的棱长的2倍，那么大正方体的表面积是小正方体表面积的（     ）倍。

（2）正方体的棱长缩小5倍，它的体积就缩小（      ）倍．

（3）一个长方体的长、宽、高都扩大4倍，它的表面积就（）。

（4）正方体的棱长扩大6倍，表面积扩大（      ）倍。

（5）一个正方体的棱长为4厘米扩大为2倍后，其棱长和为（）厘米，表面积为（）平方厘米比原来扩大了（）。

（6）一个长方体长扩大2倍，高扩大4倍，体积扩大（）倍。

（7）大正方体的表面积是小正方体的4倍，那么大正方体的棱长是小正方体的（　　）；大正方体棱长之和是小正方体的（）

A.2倍B.4倍C.6倍D.8倍

（8）把一个正方体切成大小相等的8个小正方体，8个小正方体的表面积之和（　　）。

A.等于大正方体的表面积B.等于大正方体表面积的2倍C.等于大正方体表面积的3倍

（9）判断：

一个长方体的长扩大2倍，宽扩大3倍，高扩大4倍，这个长方体的表面积扩大24倍。

（）

正方体的棱长扩大1.2倍，它的棱长也扩大1.2倍，它的表面积就扩大14.4倍。

（）

有棱长为1厘米的正方体拼成较大的正方体，其表面积比原来一个正方体时扩大了4倍。

（）

棱长为16厘米的正方体，将棱长缩小2倍后，其棱长为4厘米，其表面积也缩小了4倍。

（）

【知识点4】

5、立体图形的切割：

（切割会使表面积增加，因此存在表面积增加最多或最少的问题）

Ø长方体

沿与原来长方体最大面平行的方向切割，其表面积比原来增加的最多。

沿与原来长方体最小面平行的方向切割，其表面积比原来增加的最少。

而且每切一刀增加两个完全相同的面，切两刀增加四个完全相同的面，依次类推。

Ø正方体

无论沿那个面平行的方向切，都将增加两个正方形的面，增加的面积均为2a2不存在增加最多最少的问题。

例如：

两盒磁带有三种不同的包装方式，你说哪一种最省包装纸？

要求最省包装纸，即表面积最小，也就是表面积比原来单独包装时减少的表面积最多，根据规律应该选择第一种包装方式。

练习：

（1）把一个棱长为6米的正方体分成两个大小、形状相同的长方体，每个长方体的表面积是（    ）㎡。

（2）用两个长4厘米、宽4厘米、高1厘米的长方体拼成一个大长方体，这个长方体的表面积最大是（    ）平方厘米，最小是（     ）平方厘米。

（3）把一根长80厘米，宽5厘米，高3厘米的长方体木料锯成长都是40厘米的两段，表面积比原来增加了（）平方厘米。

（4）用两个长、宽、高分别是3厘米，2厘米，1厘米的长方体拼成一个大长方体，这个大长方体的表面积最小是（    ）平方厘米。

（5）棱长是a的两个立方体拼成长方体，长方体的表面积比正方体的表面积和减少（    ）。

（6）一根长方体木料，长1.5米，宽和厚都是2分米，把它锯成4段，表面积最少增加（   ）平方分米．

（7）一个长5厘米，宽4厘米，高3厘米的长方体，截成两个形状，大小完全一样的长方体，表面积最多能增加多少平方厘米？

（8）把一根长2米的方木（底