《同角三角函数的基本关系》教学设计.docx
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《同角三角函数的基本关系》教学设计
１、2、2同角三角函数得基本关系
（名师:
卓忠越）
一、教学目标
（一）核心素养
通过教学，使学生学习运用观察、类比、数形结合、联想、猜测、检验等合情推理方法,提高学生运算能力与逻辑推理能力、
（二）学习目标
1、牢固掌握同角三角函数关系式，并能灵活解题，提高学生分析、解决三角函数得思维能力;
2、探究同角三角函数关系式时,体会数形结合得思想；已知一个角得三角函数值,求这个角得其她三角函数值时，进一步树立分类思想;解题时,注重化归得思想,将新题目化归到已经掌握得知识点上;
3、牢固掌握同角三角函数得关系式,并能灵活运用于解题,提高分析、解决三角函数得思维能力;
4、灵活运用同角三角函数关系式得不同变形,提高三角恒等变形得能力、
（三）学习重点
1、理解并掌握同角三角函数关系式;
2、熟练掌握已知一个角得三角函数值求其她三角函数值得方法、
（四）学习难点
１、已知某角得一个三角函数值,求其余得各三角函数值时符号得确定；
2、掌握同角三角函数得关系式,并能灵活运用于解题，提高分析、解决三角函数得思维能力、
二、教学设计
（一）课前设计
1、预习任务
（1）熟记,,，,五个特殊角得三角函数值
（2）阅读教材Ｐ1８—Ｐ20
２、预习自测
（1）已知,且为第三象限角，求、得值
【知识点】两组关系式得基本应用及三角函数值符号判定
【解题过程】∵在第三象限∴
∴由得:
由得：
【思路点拨】利用两组三角函数公式与三角函数符号判定,代入解方程求解、
【答案】,
（2）化简:
（1）; （２）
【知识点】两组关系式得基本应用
【解题过程】
（1）
（２）
【思路点拨】（１）“切化弦”,统一函数名称从而实现化简得目得;
（2）利用进行“1”得代换，统一分子分母为齐次式、
【答案】
（1）;
（2）1
（３）求证:
（１）
（２）
【知识点】两组关系式得基本应用
【解题过程】
（1）法一:
左边＝
=右边
法二:
右边
=左边
（2）左边==右边
【思路点拨】恒等式证明遵循“化繁为简”得基本准则，即可从左化到右,也可从右化到左,或左右都往中间化得到相同得结果、
【答案】见解题过程
（二）课堂设计
1、知识回顾
（1）任意角得三角函数得定义
（２）任意角得三角函数值得符号法则
（３）初中所学得同角锐角三角函数得基本关系
２、问题探究
探究一结合任意角得三角函数得定义，探究同角三角函数得基本关系★
●活动①类比初中所学知识,猜想同角三角函数得基本关系
回顾初中学习锐角三角函数得相关知识,在Rt△AＣＢ中，∠C＝,三边长分别为,锐角Ａ得三角函数得定义就就是什么?
锐角A得这三个三角函数之间有什么关系呢？
;
以上同角三角函数关系对任意角仍成立吗?
【设计意图】从已有得知识出发,类比探究知识得延展,得到合理得猜想,为发现新知奠定基础,体会由特殊到一般得数学思想、
●活动② 回归定义，证明猜想，得到结论
您能根据任意角得三角函数定义证明以上同角三角函数关系吗?
也就就就是说,同一个角得正弦、余弦得平方与等于1，商等于角得正切、
【设计意图】运用定义给予严格证明,肯定猜想得正确性，就就是解决数学问题得常用方法、
●活动③架构迁移,熟悉公式结构与使用条件
为了让学生及时熟悉公式，要求学生完成以下得课堂练习:
（1）___＿___＿_;（２）_______＿_＿_;
（3）_______＿__＿;（4）____＿_____＿＿__＿_、
学生交流、讨论,最终在教师得引导下得到上述两个公式中应该注意得问题:
①注意“同角”指相同得角，例如:
、、;
②注意这些关系式都就就是对于使它们有意义得角而言得，如中,且需有意义等、
【设计意图】通过练习,感知并理解同角得意义与公式得使用条件，培养严谨得数学思维习惯、
探究二 同角三角公式得灵活运用
●活动①探究两个公式得等价变形式及应用
由等价变形式,已知余弦值可以求正弦值;
由等价变形式,已知正弦值可以求余弦值、
但比如:
此时，、得符号受所在象限得限制,不就就是无条件得、
例1、已知，其中在第四象限,求得值、
【知识点】两组关系式得基本应用及三角函数值符号判定
【数学思想】方程得思想
【解题过程】
第一步:
定号
∵在第四象限 ∴
第二步:
定值
∴由得:
由得:
【思路点拨】熟记公式,代入解方程求解、
【答案】
同类训练１:
已知,求得值、
【知识点】两组关系式得基本应用及三角函数值符号判定
【数学思想】方程得思想与分类讨论思想
【解题过程】
第一步:
定象限
∵ ∴在第一或第二象限
第二步：
定号、定值
（１）当在第一象限时,
∴由得:
由得:
（2）当在第二象限时,
∴,
【思路点拨】涉及开方运算,符号判断取决于角所在象限、当角所在象限不确定时,需逐一分情况讨论、
【答案】或
同类训练2：
已知,其中在第三象限,求得值、
【知识点】两组关系式得基本应用及三角函数值符号判定
【数学思想】方程得思想
【解题过程】
第一步：
定号
∵在第三象限 ∴
第二步:
定值
由解方程得:
【思路点拨】共三个量,两个方程,任给其中一个都可以求出另两个、
【答案】
【设计意图】通过计算熟练掌握公式，并体会分类讨论思想在三角函数符号确定中得应用
●活动②强化提升、灵活应用
例2已知,求得值
【知识点】正余弦公式得灵活应用
【数学思想】化归思想
【解题过程】
解:
∴
【思路点拨】通过平方升次后，便于使用,从而使问题得到简化、
【答案】
同类训练:
在例2得条件下，能求吗?
【知识点】正余弦公式得灵活应用
【数学思想】化归思想
【解题过程】
解:
∵∴就就是第二或第四象限角
（1）当就就是第二象限角时， ∴
∴
（2）当就就是第四象限角时, ∴
∴
【思路点拨】两者之间通知联系起来，三者任给其中一
个可以求出另外两个、
【答案】或
例3已知,求下列各式得值:
（1）
（2）
【知识点】弦化切公式得灵活应用
【数学思想】化归思想
【解题过程】
解：
（1）分子分母上下同时除以得:
（2）分子分母上下同时除以得:
【思路点拨】关于得齐次分式,可以弦化切,变形为关于得式子、
【答案】
（1）;
（2）
同类训练:
已知,求值:
【知识点】弦化切公式得灵活应用
【数学思想】化归思想
【解题过程】
解：
【思路点拨】关于得齐次分式,可以弦化切,变形为关于得式子、
【答案】
例4求证：
【知识点】三角函数关系式恒等变形
【数学思想】转化化归
【解题过程】
解:
左边＝
=右边
【思路点拨】恒等式变形可由左到右,亦可由右到左，统一次数,统一函数名称、
【答案】见解题过程
同类训练求证:
【知识点】三角函数关系式恒等变形
【解题过程】
解:
左边=
右边=
又∵∴∴左边=右边
∴原式得证、
【思路点拨】“切化弦”统一函数名,为证明恒等式奠基;恒等式证明可以从左右分别变形,得到相同或相等得中间式，从而等式得证、
【答案】见解题过程
3、课堂总结
知识梳理
掌握两组三角函数基本关系式：
与
重难点归纳
（1）运用三角函数公式求三角函数值涉及开方运算时，注意分析确定三角函数值得符号;不能确定得要进行分类讨论;
（2）根据三角函数式得结构与求解目标，选择合理得变形方向,并在训练中不断提高三角恒等变形得能力、
（三）课后作业
基础型自主突破
１、已知,且为第四象限角,求得值、
【知识点】正余弦关系式得基本应用及三角函数值符号判定
【数学思想】方程得思想
【解题过程】
∵在第四象限 ∴
∴由得:
由得:
【思路点拨】熟记公式,代入解方程求解、
【答案】
２、已知,求得值、
【知识点】两组关系式得基本应用及三角函数值符号判定
【数学思想】方程得思想
【解题过程】
∵ ∴在第二或第四象限
（1）若角在第二象限,则
由解方程得:
（2）若角在第四象限,则
由解方程得:
【思路点拨】共三个量，两个方程,任给其中一个都可以求出另两个;但角所在象限不确定时,注意分类讨论、
【答案】或
3、已知,求得值、
【知识点】弦化切公式得灵活应用
【数学思想】化归思想
【解题过程】
解:
分子分母上下同时除以得：
【思路点拨】关于得齐次分式,可以弦化切,变形为关于得式子、
【答案】
4、已知,则求得值、
【知识点】熟练应用公式
【数学思想】
【解题过程】
解:
∴
【思路点拨】利用完全平方公式构造,代入即可、
【答案】
５、求证:
【知识点】三角函数关系式恒等变形
【数学思想】
【解题过程】
解:
左边＝
=右边
【思路点拨】恒等式变形可由左到右,亦可由右到左，“切化弦”就就是常用统一函数名得办法、
【答案】见解题过程
能力型师生共研
1、
（1）已知,且为第二象限角,求、
（2）已知,求、
（3）已知,求、
【知识点】熟练掌握三角函数关系式及符号判定
【数学思想】方程得思想与分类讨论思想
ﻩ【解题过程】
（1）∵,且就就是第二象限角，
∴cosα=－
=-=-
、
∴ｔaｎα=＝－
、
（2）∵sinα=
，∴α就就是第一或第二象限角、
当α就就是第一象限角时,
∴cosα=
＝
=、
∴taｎα＝
＝;
当α就就是第二象限角时,ｔanα=－
、
（3）∵ｓinα=m（m≠0，m≠±1）,
∴cosα＝±
＝±
（当α为第一、四象限角时取正号,当α为第二、三象限角时取负号）、
∴当α为第一、四象限角时，tanα=
；
当α为第二、三象限角时,ｔaｎα=-、
【思路点拨】先求与sinα得平方关系相联系得cosα，再由公式求tanα、（２）（3）中α得范围不确定,须讨论确定开方得符号、
【答案】 （１）-
（２）
或－（3）
或－
2、已知sinθ+cｏsθ＝,θ∈（０,π）,则
（1）siｎθ－cｏｓθ=_______＿;
（2）sin3θ＋coｓ３θ=_＿＿_＿___;
（３）tａnθ＝________、
【知识点】三者得关系
【数学思想】方程得思想与整体代换得思想
【解题过程】
（1）∵ｓinθ＋cosθ＝
∴（sｉnθ+coｓθ）2=
、
∴2ｓinθcosθ＝-、
又θ∈（0,π）,∴sinθ>0,cｏｓθ<0、
∴sｉnθ-ｃｏsθ=
=＝、
（２）sin3θ＋cｏs3θ＝（sinθ+cosθ）（ｓiｎ2θ－sｉnθcｏsθ＋ｃos2θ）
＝×（１+
）=
、
（3）方法一:
由解得sｉnθ＝
cｏsθ=-
、∴tanθ＝－、
方法二:
因为sｉｎθ+cosθ＝
ｓinθcoｓθ＝-,
由根与系数得关系，知sinθ,cｏｓθ就就是方程x2－
x－
=0得两根,
所以x1＝
，ｘ２=－
、
又sｉnθｃｏsθ＝-＜0,所以ｓiｎθ>0，ｃｏsθ<0、
所以sinθ＝
，cｏsθ＝-、所以ｔａnθ=
=－、
方法三：
同方法二,得siｎθcoｓθ＝-
，所以
=-
、
齐次化切,得
＝－
即60ｔan2θ＋1６9taｎθ＋60＝0,
解得tａnθ＝-
或ｔanθ＝-
、
又θ∈（0，π），sinθ＋coｓθ=
＞0,sinθｃｏsθ＝－＜０,
所以θ∈（，）,所以ｔａnθ＝-
、
【思路点拨】
（1）已知asiｎx+bcosx=c可与sin２ｘ+coｓ2ｘ＝１联立,求得siｎx,cosx、
（2）sinx＋cosx，sinx－ｃosx,sinxcｏｓx之间得关系为
（siｎx+ｃoｓｘ）2＝１＋2sｉｎxｃｏｓx,
（sinx－cosx）２＝1－2ｓinxｃosx,
（sｉnx+cosｘ）２+（sinx-ｃosｘ）２=2、
因此已知上述三个代数式中得任意一个代数式得值,便可求其余两个代数式得值、
【答案】
（1）
（2）
（3）-
探究型多维突破
１、化简,其中为第二象限角、
【知识点】三角函数关系式恒等变形
【数学思想】化归思想
【解题过程】
解:
原式=
∵为第二象限角 ∴
∴原式＝
【思路点拨】以开方化简为目标,分子分母同时升次凑完全平方；在开方时,注意符号得确定、
【答案】
2、化简
【知识点】三角函数关系式恒等变形
【数学思想】化归思想
【解题过程】
解：
（法一）原式=
（法二）∵
∴原式=
【思路点拨】法一通过因式分解降次,统一次数从而实现化简;法二用“1”得代换升次从而实现化简、
【答案】
自助餐
1、若sinα＝-，且α为第四象限角，则tanα得值等于（ ）
Ａ、 B、-
C、 Ｄ、-
【知识点】三角函数关系式恒等变形
【数学思想】化归思想
【解题过程】
因为sinα＝－
且α为第四象限角,所以ｃosα＝，所以tanα＝-
、
【思路点拨】熟记公式,代入解方程求解、
【答案】D
2、已知tanα=3,求ｓin2α－3sinαcｏsα+1得值、
【知识点】两组三角函数关系式得灵活应用
【数学思想】化归思想
【解题过程】
方法一：
∵taｎα=３>0,∴α就就是第一、三象限角、
由
得
（α为第一象限角）,或
（α为第三象限角）、
∴ｓiｎαcoｓα＝
、
∴sｉn2α－３sinαcosα＋1＝-3×+1＝１、
方法二:
∵tanα＝3,ｓｉn2α＋cos2α＝1,
∴siｎ2α－3sinαcosα＋1=＋1
＝
＋1＝+1=1、
【思路点拨】解这类问题有两个方法,一就就是直接求出sinα与cosα得值,再代入求解,但这种方法较繁琐、二就就是将所求式转化为只含tａnα得代数式,再代入求解、
【答案】１
３、化简cｏsα
＋sinα
（π<α＜
）得（）
Ａ、siｎα+ｃｏsα-2 B、2－sｉnα－coｓα Ｃ、siｎα-cosα D、coｓα-siｎα
【知识点】熟练掌握两组三角函数关系式与三角函数符号判定
【数学思想】化归思想
【解题过程】
原式＝cosα
+siｎα
∵π＜α<π，∴ｃｏｓα＜0,sinα＜０、
∴原式=-（１－ｓinα）-（1-cosα）=sinα＋ｃｏsα-2、
【思路点拨】为开方凑完全平方式,并根据角得范围判定符号、
【答案】 A
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