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现代控制理论第四章极点配置问题

现代控制理论-第四章极点配置问题

第四章线性定常系统的综合

第四章　线性定常系统的综合

内容：

4.1线性反馈控制系统的基本结构及其对系统特性的影响

4.2SISO系统的极点配置

4.3系统镇定问题

4.4系统解耦问题

4.5状态观测器

4.6利用状态观测器实现状态反馈

前面介绍的内容都属于系统的描述与分析。

系统的描述：

主要解决系统的建模、各种数学模型（时域、频域、内部、外部描述）之间的相互转换等。

系统的分析：

主要研究系统的定量变化规律（如状态方程的解，即系统的运动分析等）和定性行为（如能控性、能观测性、稳定性等）。

在本章中，将主要讨论在不同形式的性能指标下线性定常系统的反馈控制规律的综合方法，包括建立可综合的条件及建立控制规律及其算法。

综合与设计问题：

在已知系统结构、参数（被控系统数学模型）及期望的系统运动形式或特征的基础上，确定施加于受控系统的控制规律与参数，称为综合。

当系统以状态空间描述以后，系统的状态含有系统的全部运动信息。

若将控制信号设计为状态与参考信号的函数形成闭环控制，便可得到相当好的控制效果。

无论在抗扰动或抗参数变动方面，反馈系统的性能都远优于非反馈系统。

综合问题中的性能指标可区分为非优化型性能指标和优化型性能指标两种类型，它们都规定着综合所得系统运动过程的期望性能。

两者的差别是：

非优化指标是—类不等式型的指标，即只要性能值达到或好于期望指标就算实现了综合目标；优化型指标则是一类极值型指标，综合目的是要使性能指标在所有可能值中取极值。

本章讨论的综合问题主要涉及的是非优化型指标，它们可能以一组期望的闭环系统极点作为性能指标，来讨论极点配置问题。

系统运动的状态也即其动态性能，主要是由系统的极点位置所决定。

把闭环极点组配置到所希望的位置上，实际上等价于使综合得到的系统的动态性能达到期望的要求。

以渐近稳定作为性能指标，主要讨论各种反馈结构对系统稳定性的影响。

使“多输入—多输出”系统实现“一个输入只控制相应的某个输出”作为性

第四章线性定常系统的综合

能指标，其相应的综合问题即为解耦控制问题。

略

还有在各种扰动作用下无静差地跟踪参考指令的性能指标，其相应的综合问题为鲁棒控制问题（留在第七章专门讨论，略）。

其实质是包含串联补偿器的输出反馈控制系统。

本章最后讨论状态观测器。

在状态反馈中，假定所有状态变量如输出量一样是可以得到的。

实际上，这一假定通常是不成立的。

因此，若我们要实现状态反馈，则必须根据可利用的信息来产生状态向量估值。

这种建立近似状态向量的装置，在确定性系统中即为状态观测器，在不确定性系统中为Kalman滤波器。

状态观测器理论的建立，拓宽了状态反馈综合方法的应用范围。

4.1线性反馈控制系统的基本结构及其对系统特性的影响

无论是在经典控制理论还是在现代控制理论中，反馈都是系统设计的主要方式。

但由于经典控制理论是用传递函数来描述的，因此它只能以输出量作为反馈量。

而现代控制理论由于是采用系统内部的状态变量来描述系统的物理特性，因而除了输出反馈外，还可采用状态反馈这种新的控制方式。

一、反馈的两种基本形式

状态反馈?

输出反馈?

1、状态反馈

状态反馈方框图如图4.1

所示。

图4.1

第四章线性定常系统的综合

通常D=0，则原受控系统动态方程为

=AX+BU?

Y=CX

因为将系统的控制量U取为状态变量X的线性函数U=V?

KX，称其为线性的直接状态反馈，简称状态反馈。

反馈后，系统的动态方程为

=（A?

BK）X+BV?

Y=CX?

其中K为Km×n阵。

m为U的维数，n为状态向量的维数。

记为{A?

BK,B,C}，其传递矩阵为

GK（s）=C[sI?

（A?

BK）]B

特点：

状态反馈并没有增加系统的维数，通过改变K，可以选择系统的特征值，使系统获得所要求的性能

2、输出反馈

系统的状态常常不能全部测量到，状态反馈方法就有一定的工程限制。

在此

第四章线性定常系统的综合

情况下，人们常常采用输出反馈方法。

输出反馈的目的首先是使系统闭环成为稳定系统，然后在此基础上进一步改善闭环系统的性能。

输出反馈方框图如图4.2

所示。

图4.2

原受控系统动态方程为

=AX+BU?

Y=CX?

将系统的控制量U取为输出变量Y的线性函数U=V?

FY，称其为线性非动态输出反馈，简称输出反馈。

反馈后，系统的动态方程为

=（A?

BFC）X+BV?

YCX=?

其中F为Km×l阵。

m为U的维数，l为Y的维数，n为状态向量的维数。

记为{A?

BFC,B,C}，其传递矩阵为

GF（s）=C[sI?

（A?

BFC）]B

特点：

F：

m×l维；K：

m×n维，由于m<n，故F的可供选择的自由度比K小，所以输出反馈效果不如状态反馈，但是比较容易实现。

不难看出，不管是状态反馈还是输出反馈，部可以改变系统状态方程的系数矩阵A，但这并不是说两者具有等同的性能。

由于状态能完整地表征系统的动态行为，因而利用状态反馈时，其信息量大而完整，可在不增加系统的维数的情况下，自由地支配响应持性；而输出反馈仅利用了状态变量的线性组合来进行反馈，其信息量便较小，所引入的串、并联补偿装置将使系统维数增加，且难于得到任意期望的响应特性。

一个输出反馈系统的性能，定有对应的状态反馈系统与之等同，因为只需令?

第四章线性定常系统的综合

FC＝K，这时确定状态反馈增益矩阵K是方便的。

但是，一个状态反馈系统的性能，却不一定有对应的输出反馈系统与之等同，这是由于令K＝FC来确定F的解时，未必能够实现（或者形式上过于复杂而不易实现，或者F阵含有高阶导数项而不能实现，或对于非最小相位的受控对象，如古有右极点，而选择了有校正零点来加以对消时，便会潜藏有不稳定的隐患，见周凤岐PP.86－87，93）。

不过，输出反馈所用的输出变量总是容易测得的，因而实现是方便的；而有些状态变量不便测量或不能测量，需要重构，给实现带来麻烦是需要克服的障碍。

因此，若我们要实现状态反馈，则必须根据可利用的信息V、Y来产生状态向量估值。

这种建立近似状态向量的装置，在确定性系统中即为状态观测器，在不确定性系统中为Kalman滤波器。

状态观测器理论的建立，拓宽了状态反馈综合方法的应用范围。

处的反馈3、从输出到X

方框图如图4.3

所示

图4.3

原受控系统动态方程为

=AX+BU?

Y=CX

反馈后，系统的动态方程为

=AX+BU?

GY=（A?

GC）X+BU?

Y=CX?

其中G为Gn×l阵。

l为Y的维数，n为状态向量的维数。

记为{A?

GC,B,C}，其传递矩阵为

GG（s）=C[sI?

（A?

GC）]B?

第四章线性定常系统的综合

4、动态补偿器

上述三种反馈基本结构的共同点是，不增加新的状态变量，系统开环与闭环同维。

其次，反馈增益阵都是常矩阵，反馈为线性反馈。

在更复杂的情况下，常常要通过引入一个动态子系统来改善系统性能，这种动态子系统，称为动态补偿器。

它与受控系统的连接方式如图4.4所示，其中a）为串联连接，b）为反馈连接。

图4.4

这类系统的典型例子是使用状态观测器的状态反馈系统。

这类系统的维数等于受控系统与动态补偿器二者维数之和。

采用反馈连接比采用串联连接容易获得更好的性能。

二、反馈结构对系统特性的影响

反馈引入后，系统状态方程的系数矩阵有了变化，对系统的能控性、能观测性、系统的稳定性、系统的响应等都有影响。

本节我们将研究反馈对能控性、能观性，稳定性的影响及对闭环极点位置的影响。

1．对能控性与能观测性的影响

对此，有如下两个结论。

结论1状态反馈的引入，不改变系统的能控性，但可能改变系统的能观测性。

也就是说，状态反馈保持了系统的能控性，即闭环系统{A?

BK,B,C}状态

状态反馈不一定保完全能控的充分必要条件是受控系统{A,B,C}状态完全能控；

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持系统的能观性，即闭环系统{A?

BK,B,C}状态完全观性与受控系统{A,B,C}状态完全能观性不一定一致。

证：

设原受控系统∑0的动态方程为

=AX+BU?

Y=CX

将∑0系统的控制量U取为状态变量X的线性函数U=V?

KX，则状态反

馈后的系统∑K的动态方程为

=（A?

BK）X+BV?

Y=CX?

首先证明：

状态反馈系统∑K为能控的充分必要条件是受控系统∑0为能

控。

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再来证明状态反馈系统不—定能保持能观测性。

对此只需举反例说明，设∑0为能观的，但∑

K不一定为能观测的。

如考察系统：

结论2输出反馈的引入能同时不改变系统的能控性和能观性，即输出反馈系统∑K为能控（能观测）的充分必要条件是受控系统∑0为能控（能观）。

首先，由于对任一输出反馈系统都可找到一个等价的状态反馈系统K=FC，

8证

第四章线性定常系统的综合

而巴知状态反馈可保持能控性，从而证明输出反馈的引入不改变系统的能控性。

其次，表示∑0和∑K的能观测判别阵分别为

CA?

C（A?

BFC）?

和QoF=?

Qo=?

（）CACABFC?

2．稳定性与镇定

状态反馈和输出反馈都能影响系统的稳定性。

加入反馈，使得通过反馈构成的闭环系统成为稳定系统．就称为镇定。

鉴于状态反馈的优越性，这里只讨论状态反馈的镇定向题。

对于线性定常受控系统

第四章线性定常系统的综合

是渐近稳定的，也即其特征值均具有负实部，则称系统实现了状态反馈镇定。

在镇定向题中，综合的目标不是要使闭环系统的极点严格地配置到任意指定的一组位置上，而是使其配置于复数平面的左半开平面上，因此这类问题属于极点区域配置问题，是指定极点配置的一类特殊情况。

利用这一点，可以很容易导出镇定向题的相应结论。

依据极点配置的基本定理可知，如果系统{A,B}为能控，则必存在状态反馈增益短阵K，使得（A—BK）的全部特征值配置到任意指定的一组位置上。

当然，这也包含了使（A—BK）的

Reλi<0,i=1,2,?

因此，{A,B}为能控是系统可由状态反馈实现镇定的充分条件。

状态反蚀镇定的充分必要条件则由下述结论给出。

结论线性定常系统是由状态反馈可镇定的，当且仅当其不能控部分是渐近稳定的。

证明由{A,B}为不完全能控，则必可对其引入线性非奇异变换而进行结构分

解：

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3．极点配置问题

当反馈形式确定之后，极点配置问题就是依据希望的指定极点位置来计算反馈增益矩阵的问题。

对于状态反馈而言，单输入系统的反馈增益阵K是唯一的，而多输入系统的反演增益阵K不唯一。

Km×n阵，m为U的维数，n为状态向量的维数。

但无论是单输入或多输入系统，只要系统状态完全能控，则系统的极点可以实现任意配置。

关于状态反馈的极点配置问题将在后面详细介绍。

4.2SISO系统的极点配置

由于一个系统的性能和它的极点位置密切相关，因此极点配置问题在系统设计中是很重要的。

这里，需要解决两个问题：

一个是建立极点可配置的条件，也就是给出受控系统可以利用状态反馈而任意地配置其闭环极点所应遵循的条件，另一个是确定满足极点配置要求的状态反馈增益矩阵K的算法。

一、极点可配置条件

我们来给出利用状态反馈的极点可配置条件。

应该说明的是，谈条件既适于SISO系统，又适于MIMO系统。

定理设受控系统∑0状态方程为

=AX+BU?

=YCX?

要通过状态反馈的方法，使闭环系统∑K

=（A?

BK）X+BV?

Y=CX?

的极点位于任意预先规定的位置上，其充分比要条件是系统∑0完全能控。

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再证必要性。

如果系统{A,b}不能控，就说明系统的有些状态将不受u的控制。

显然引入反馈时，企图通过控制量u来影响不能控的极点将是不可能的。

至此，证明完毕。

考虑到实际问题中几乎所有的系统都是能控的，因此通常总可利用状态反馈来控制系统的特征值即振型，而这正是状态反馈的重要特性之一。

二、SISO系统的状态反馈极点配置算法

在用古典控制理论设计的控制系统中，一般只有输出反馈，有的加上速度反馈，则系统稳定性提高、暂态性能改善，此时相当于多用了一个状态进行反馈。

可以想象，若全部状态都反馈，则系统性能就会有很大的改善。

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控制信号u（t）一般是对误差信号e（t）进行PID处理得到的。

若全部状态都反馈，则e（t）中包含的信息必然更多，从而u（t）中的信息更多，使系统的性能得到改善。

在多变量控制系统中，采用状态反馈是设计控制系统的一个重要手段。

一个n阶系统，通常可用n个状态反馈来任意改变其所有极点位置以获得人们所期望的动态响应。

1.状态反馈示意图

SISO系统状态反馈示意图如图4.5

所示。

图4.5

再和原输入信由图4.5可见，各个状态变量xi和各自的反馈系数hi相乘后，

号r（t）比较。

这种反馈，称为线性状态变量反馈。

2.极点配置

以下讨论仅限于

SISO

（1）

状态反馈原理框图

见图

4.6。

参数K可用来调节系统的误差，通常取K=1；当给出稳态位置误差时，可从该误差中算出K的值来。

图4.6

（2）系统的闭环传递函数Φ（s）与受控系统的传递函数Gp（s）的关系

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设原受控系统动态方程为

=AX+Bu?

y=CX

引入状态变量反馈后，控制信号u（t）为

u（t）=K[r（t）?

hX]，其中h为反馈矩阵，h=[h1h2?

hn]

引入状态变量反馈后系统的动态方程为

=AX+KB（r?

hX）=（A?

KBh）X+KBr?

y=CX?

由上式可见系统的极点变化了，且可以通过选择h阵的n个参数来配置系统的极点。

参数K不用来调节极点，而是用来调整系统的稳态误差。

设受控系统的传递函数为bmsm+?

+b1s+b0Y（s）b（s）==nGp（s）=U（s）s+an?

1sn?

1+?

+a1s+a0a（s）

因为

Gp（s）=C（sI?

A）?

1B=Ciadj（sI?

A）iBsI?

所以，有

a（s）=sI?

b（s）=Ciadj（sI?

A）iB

引入状态反馈后，系统的闭环传递函数Φ（s）与受控系统的传递函数Gp（s）的关系为

Φ（s）=Y（s）Y（s）Y（s）==R（s）U（s）+hX（s）U（s）?

1（）hsIABU（s）+?

Y（s）=U（s）[1+Kh（sI?

A）?

1B]K

Kb（s）=[1+Kh（sI?

A）?

1B]a（s）

1Kb（s）=KGp（s）?

=1+Kh（sI?

A）?

1Bα（s）

从上面的公式可以看出，引入状态反馈后闭环系统的零点和阶次未变，极点变化了。

闭环系统的特征多项式为

α（s）=[1+Kh（sI?

A）?

1B]a（s）

所以，可以通过状态反馈使系统的极点位于复平面上合适的位置，使系统具

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有期望的特性。

这种方法称为极点配置。

上面的讨论，主要是要导出结论：

引入状态反馈后闭环系统的零点和阶次未变，极点变化了。

（3）定理

对受控系统{A,B,C}，可以利用线性状态反馈阵h=[h1?

hn]来任意配置闭环系统极点的充要条件是受控系统完全能控。

由此定理可知，能控不稳定系统一定存在状态反馈阵h使其稳定。

在前面曾经指出状态反馈不改变系统的能控性。

因为系统的零点不受影响，但极点可任意配置，所以闭环可能发生零极点相消，从而使系统不能观，即状态反馈不一定能保持系统的能观性。

（4）采用状态反馈综合系统时的步骤

方法1

1列写受控系统的状态方程，检验该系统的状态能控性。

○

2若能控，则可以利用线性状态反馈阵h=[h1?

hn]来任意配置闭环系统○

的极点。

此时可根据系统的性能指标来选择出合适的闭环极点，并计算出闭环系统的传递函数。

然后，根据稳态误差的要求，选择合适的K值。

因为闭环传递函数

Φ（s）=kb（s）λI?

（A?

kBh）

若要求稳态位置误差ep=0，则有

limΦ（s）=1s→0

可以从中解出k。

3求出受控系统的传递函数Gp（s）。

○

4由α（s）=λI?

（A?

KBh），计算出反馈矩阵h；或由公式○

α（s）=[1+Kh（sI?

A）?

1B]a（s）

计算出反馈矩阵h。

方法

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例4-18给定

SILTI系统为

试求解反馈增益阵K=[k1k2k3]。

解易知系统为完全能控，故满足可配置条件。

现计算系统的特征多项式：

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再来计算变换阵

例4-19

第四章线性定常系统的综合

例4-20设已知系统的开环传递函数为

G（s）=1s（s+1）（s+10）

要求利用状态反馈使系统在单位阶跃函数的作用下，满足：

（1）超调量σ%≤16%

（2）上升时间tr≤0.25s

（3）调整时间ts≤0.7s

（4）位态位置误差essp=0

解

（1）列写受控系统的状态方程。

受控系统框图如图4.8所示。

由该图可以得出：

第四章线性定常系统的综合

图4.8

1=x2x?

2=?

10x2+x3?

+xxu3?

y=x1?

由此可得：

01?

，B=?

，C=100A=?

0101?

[]?

00?

可以证明，系统是状态完全能控的。

系统开环（未加状态反馈）特征多项式为：

a（s）=s（s+1）（s+10）=s3+11s2+10s

（2）选择引入反馈后系统极点的位置

因原系统为三阶，因此应选择三个极点。

根据给定的指标要求，选择系统的

控制极点为p1,2=?

5±。

如此，系统的相对阻尼系数ζ=0.5，自然谐振频率

ωn=10s?

1，则系统的超调量σ%≈16%，上升时间tr≈

时间ts≈2ωn=2=0.2s，调整103

ζωn=0.6s，均可满足给定的指标。

为使另一闭环极点不致过多地影响系统的暂态性能，选p3=?

5×6=?

30。

因此，选定的系统闭环传递函数为：

Φ（s）=显见，为满足位态位置误差essp=0的要求，k应选为3000。

引入反馈后，系统的框图如图4.8所示。

闭环系统的特征多项式为：

α（s）=s3+40s2+400s+3000

第四章线性定常系统的综合

图4.8

（3）计算反馈系数阵h

因为闭环系统的特征多项式α（s）为：

α（s）=[1+Kh（sI?

A）?

1B]a（s）或

α（s）=λI?

（A?

KBh）

从而可得：

α（s）=s3+40s2+400s+3000

=s+11s+10s+3000?

h1+h2s+h3（s+10s）?

比较两边同次项的系数，可得：

322h1=1,h2=100s≈0.033,3000h3=29≈0.013000

（4）系统在单位斜坡信号tU（t）作用下的稳态误差为：

essv=400=0.1343000

如果essv超过允许值，可适当将非主控极点p3移得离虚轴远一些，使K值增大，以减小误差。

这时，系数h1,h2,h3的数值需要重新计算。

3.积分控制的增广系统

经典控制理论中用误差的积分来消除稳态误差，在此将其推广到多输入—多输出系统。

若要求系统在稳态时对阶跃输入和扰动均无误差，系统应包含∫e（t）dt项，

n+1=e=r?

y=r?

CX。

此时系统增加了一维。

即令xn+1=∫e（t）dt，则x

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因为渐近稳定系统当稳定时（阶跃输入），有：

X→c

所以，有：

→0?

e→0q→c?

第四章线性定常系统的综合

4.3系统的输出反馈极点配置

一．输出反馈

输出反馈是采用输出矢量Y构成线性反馈律。

在经典控制理论中主要讨论这种反馈形式。

图4.2是多输入一多输出系统输出反馈的基本结构。

系统的状态常常不能全部测量到，状态反馈方法就有一定的工程限制。

在此情况下，人们常常采用输出反馈方法。

输出量通常都可由传感器量测，从输出量引出反馈反映了一般的实际情况。

它与状态反馈使用全部状态变量的情况不同，输出反馈只是利用了状态的某些线性组合。

输出反馈的目的首先是使系统闭环成为稳定系统，然后在此基础上进一步改善闭环系统的性能。

输出反馈方框图如图4.2

所示。

图4.2

原受控系统动态方程为

=AX+BU?

Y=CX

将系统的控制量U取为输出变量Y的线性函数U=V?

FY，称其为线性非动态输出反馈，简称输出反馈。

反馈后，系统的动态方程为

=（A?

BFC）X+BV?

Y=CX?

其中F为Km×l阵。

m为U的维数，l为Y的维数，n为状态向量的维数。

记为{A?

BFC,B,C}，其传递矩阵为

GF（s）=C[sI?

（A?

BFC）]B

特点：

F：

m×l维；K：

m×n维，由于m<n，故F的可供选择的自由度比K小，所以输出反馈效果不如状态反馈，但是比较容易实现。

28?

第四章线性定常系统的综合

处的反馈二、从输出到X

方框图如图4.3

所示

图4.3

原受控系统动态方程为

第四章线性定常系统的综合

=AX+BU?

Y=CX

反馈后，系统的动态方程为

=AX+BU?

GY=（A?

GC）X+BU?

Y=CX?

其中G为Gn×l阵。

l为Y的维数，n为状态向量的维数。

记为{A?

GC,B,C}，其传递矩阵为

GG（s）=C[sI?

（A?

GC）]B

刘豹：

第四章线性定常系统的综合

4.4系统镇定问题

保证稳定是控制系统正常工作的必要前提。

所谓系统镇定，是对受控系统∑o（A,B,C）通过反馈使其极点均具有负实部，保证系统为渐近稳定。

如果一个

系统∑o（A,B,C）通过状态反馈能使其渐近稳定，则称系统是状态反馈能镇定的。

类似地，也可定义输出反馈能镇定的概念。

镇定问题是系统极点配置问题的一种特殊情况。

它只要求把闭环极点配置在根平面的左侧，而并不要求将极点严格地配置在期望的位置上。

显然，为了使系统镇定，只需将那些不稳定因子即具非负实部的极点配置到根平面左半部即可。

因此，在满足某种条件下，可利用部分状态反馈来实现。

第四章线

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现代控制理论第四章 极点配置问题.docx

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