5．（2011·四川理，3）l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（ ）
A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3
B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3
C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面
D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面
[答案] B
[解析] 本题主要考查空间直线的位置关系，（A）如l1、l3共面为α，而l2⊥α，则A不对；（B）正确（C）可形成3个平面；（D）l1、l2、l3共点可形成3个平面，故选B.
6．（文）如下图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为（ ）
A．AC⊥BD
B．AC∥截面PQMN
C．AC＝BD
D．异面直线PM与BD所成的角为45°
[答案] C
[解析] ∵截面PQMN为正方形，
∴PQ∥MN，PQ∥平面DAC.
又∵平面ABC∩平面ADC＝AC，PQ平面ABC，
∴PQ∥AC，同理可证QM∥BD.
故选项A、B、D正确，C错误．
（理）已知平面α∥平面β，P是α、β外一点，过点P的直线m与α、β分别交于A、C，过点P的直线n与α、β分别交于B、D且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD的长为（ ）
A．16 B．24或
C．14 D．20
[答案] B
[解析] 根据题意可出现以下如图两种情况
可求出BD的长分别为
或24.
二、填空题
7．在四面体ABCD中，M、N分别是面△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________．
[答案] 平面ABC与平面ABD
[解析] 连BN延长交CD于点E，连AM并延长也与CD交于E点（因为E为CD中点），又
＝
＝
，故MN∥AB.
8．已知平面α∩β＝m，直线n∥α，n∥β，则直线m、n的位置关系是________．
[答案] m∥n
[解析] 在α内取点A∉m，则点A与n确定一平面θ，且θ∩α＝a.同理可作平面γ且γ∩β＝b.
∵n∥α，n∥β，
∴n∥a，n∥b.
∴a∥b.
∵aβ，bβ，
∴a∥β.
∵aα，α∩β＝m，
∴a∥m，∴n∥m.
三、解答题
9．（文）（2011·江苏，16）如下图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E、F分别是AP、AD的中点．
求证：
（1）直线EF∥平面PCD；
（2）平面BEF⊥平面PAD.
[解析] 证明：
（1）在△PAD中，因为E、F分别为AP、AD的中点，所以EF∥PD.
又因为EF平面PCD，PD平面PCD.
所以直线EF∥平面PCD.
（2）连接BD.因为AB＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD为正三角形．因为F是AD的中点，所以BF⊥AD.
因为平面PAD⊥平面ABCD，
BF平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BF⊥平面PAD.
又因为BF平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD.
（理）（2011·山东文，19）如下图，在四棱台ABCD－A1B1C1D1中，D1D⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB＝2AD，AD＝A1B1，∠BAD＝60°.
（1）证明：
AA1⊥BD；
（2）证明：
CC1∥平面A1BD.
[解析]
（1）证明：
∵DD1⊥平面ABCD，BD平面ABCD
∴DD1⊥BD，又∵AB＝2AD且∠BAD＝60°
∴由余弦定理得BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos∠BAD
即BD＝
AD，∴AD2＋BD2＝AB2，∴BD⊥AD
又∵AD∩DD1＝D
∴BD⊥平面ADD1A1，又∵AA1平面ADD1A1，
∴BD⊥AA1
（2）连接AC，交BD于M，连接A1M，A1C1，
∵底面ABCD是平行四边形，∴AM＝CM＝
AC
又∵AB＝2AD＝2A1B1
∴A1G綊CM，即四边形A1MCC1是平行四边形；
∴CC1∥AM1，又∵CC1平面A1BD，A1M平面A1BD
∴CC1∥平面A1BD.
一、选择题
1．（文）设m，l是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若l⊥m，mα，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥α
C．若l∥α，mα，则l∥mD．若l∥α，m∥α，则l∥m
[答案] B
[解析] 两平行线中一条垂直于一个平面，另一条边垂直于这个平面，故选B.
（理）已知两条互不重合的直线m、n，两个互不重合的平面α、β，给出下列命题：
①若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β；②若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β；③若m⊥α，n∥β，且m⊥n，则α⊥β；④若m⊥α，n∥β，且m∥n，则α∥β.
其中正确命题的个数为（ ）
A．0 B．1
C．2 D．3
[分析] 本题考查线面的位置关系．虽然是一道单选题，但更似一道多选题，对所述四个命题的判断有一个出错就不可能产生正确结果．
[答案] B
[解析] 命题①是正确的；命题②不正确，很容易找到反例；命题③也不正确，可以构造出α∥β的情形；命题④也不正确，可以构造出α⊥β的情形．
2．如下图所示，在三棱柱ABC－A′B′C′中，点E、F、H、K分别为AC′、CB′、A′B、B′C′的中点，G为△ABC的重心，从K、H、G、B′中取一点作为P，使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF平行，则P为（ ）
A．KB．H
C．GD．B′
[答案] C
[解析] 如下图所示，若取K点为P点，连接FK，则FK∥CC′.故CC′∥面KEF
而其他侧棱AA′、BB′均与CC′平行．
故此时与面PEF平行的有3条棱．
若取H点为P点，可以得面HEF∥面ABC∥面A′B′C′，则与面PEF平行的棱有上下底面中的6条棱；
若取G点为P点，AB∥EF，A′B′∥EF，故只有棱AB，A′B′与面PEF平行；
若取B′点为P点，AB∥EF，只有棱AB与面PEF平行．
二、填空题
3．如下图所示，ABCD是空间四边形，E，F，G，H分别是四边上的点，它们共面，并且AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，AC＝m，BD＝n，当EFGH是菱形时，AE:
EB＝________.
[答案] m:
n
[解析] 如下图所示，设AE＝a，EB＝b，
由EF∥AC可得
EF＝
.
同理EH＝
.∵EF＝EH，
∴
＝
，于是
＝
.
4．正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，E为A1B1中点，过E、C1、C作一截面，则截面的面积为________．
[答案]
a2
[解析] 设截面与AB的交点为F，由题意可知截面EFCC1为一矩形，且EC1＝
＝
a，C1C＝a.
∴截面面积为EC1·C1C＝
a2.
三、解答题
5．（文）如下图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D点为棱AB的中点．求证：
AC1∥平面CDB1.
[解析] 如下图，连接BC1，交B1C于点E，连接DE，则BC1与B1C互相平分．
∴BE＝C1E，又AD＝BD，
∴DE为△ABC1的中位线，
∴AC1∥DE，
又DE平面CDB1，AC1平面CDB1，
∴AC1∥平面CDB1.
（理）如下图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB，BP＝BC＝2，E，F分别是PB，PC的中点．
（1）求证：
EF∥平面PAD；
（2）求三棱锥E－ABC的体积V.
[解析] 本题考查线面平行的判定，三棱锥的体积的求法，考查空间想象能力，推理论证能力．
（1）在△PBC中，E，F分别是PB，PC的中点，
∴EF∥BC.
又BC∥AD，∴EF∥AD，
又∵AD平面PAD，EF平面PAD，
∴EF∥平面PAD.
（2）连接AE，AC，EC，过E作EG∥PA交AB于点G，
则EG⊥平面ABCD，且EG＝
PA.
在△PAB中，AP＝AB，∠PAB＝90°，BP＝2，
∴AP＝AB＝
，EG＝
，
∴S△ABC＝
AB·BC＝
×
×2＝
，
∴VE—ABC＝
S△ABC·EG＝
×
×
＝
.
6．（2011·北京文，17）如下图，在四面体PABC中，PC⊥AB、PA⊥BC，点D、E、，F、G分别是棱AP、CC、BC、PB的中点．
（1）求证：
DE∥平面BCP；
（2）求证：
四边形DEFG为矩形；
（3）是否存在点Q，到四面体PABC六条棱的中点的距离相等？
说明理由．
[解析]
（1）因为D，E分别为AP，AC的中点，
所以DE∥PC，
又因为DE平面BCP，
所以DE∥平面BCP.
（2）因为D，E，F，G分别为
AP，AC，BC，PB的中点，
所以DE∥PC∥FG，
DG∥AB∥EF，
所以四边形DEFG为平行四边形，
又因为PC⊥AB，
所以DE⊥DG，
所以四边形DEFG为矩形．
（3）存在点Q满足条件，理由如下：
连接DF，EG，设Q为EG的中点，
由
（2）知，DF∩EG＝Q，且QD＝QE＝QF＝QG＝
EG，
分别取PC，AB的中点M，N，连接ME，EN，NG，MG，MN.
与
（2）同理，可证四边形MENG为矩形，其对角线交点为EG的中点Q，且QM＝QN＝
EG，
所以Q为满足条件的点．
7．（文）如下图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为棱BB1和DD1中点．
（1）求证：
平面FB1C1∥平面ADE；
（2）试在棱DC上求一点M，使D1M⊥平面ADE.
[解析]
（1）可证AD∥平面FB1C，AE∥平面FB1C1
∵AD∩AE＝A，AD，AE平面ADE
∴平面ADE∥平面FB1C1.
（2）M应是DC的中点，此时
∵B1C1⊥平面DD1C1C，D1M平面DD1C1C，∴B1C1⊥D1M
由平面几何知识FC1⊥D1M
FC1∩B1C1＝C1，FC1，B1C1平面FB1C1
∴D1M⊥平面FB1C1，又由
（1）知平面ADE∥平面FB1C1
∴D1M⊥平面ADE.
（理）已知四边形ABCD是等腰梯形，AB＝3，DC＝1，∠BAD＝45°，DE⊥AB（如下图1）．现将△ADE沿DE折起，使得AE⊥EB（如下图2），连接AC，AB，设M是AB的中点．
（1）求证：
BC⊥平面AEC；
（2）判断直线EM是否平行于平面ACD，并说明理由．
[解析]
（1）在下图1中，过C作CF⊥EB于F，
∵DE⊥EB，∴四边形CDEF是矩形，
∵CD＝1，EF＝1.
∴四边形ABCD是等腰梯形，AB＝3.
∴AE＝BF＝1.
∵∠BAD＝45°，∴DE＝CF＝1.
连接CE，则CE＝CB＝
.
∵EB＝2，∴∠BCE＝90°.则BC⊥CE.
在上图2中，∵AE⊥EB，AE⊥ED，EB∩ED＝E，
∴AE⊥平面BCDE.
∵BC平面BCDE，∴AE⊥BC.
∵AE∩CE＝E，∴BC⊥平面AEC.
（2）用反证法．
假设EM∥平面ACD.
∵EB∥CD，CD平面ACD，EB平面ACD，
∴EB∥平面ACD.
∵EB∩EM＝E，
∴平面AEB∥平面ACD.
而A∈平面AEB，A∈平面ACD，
与平面AEB∥平面ACD矛盾．
∵假设不成立．
∴EM与平面ACD不平行．
升级会员 