空间中的平行关系.docx
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空间中的平行关系
空间的平行关系
1.已知α∥β,a⊂α,B∈β,则在β内过点B的所有直线中( )
A.不一定存在与a平行的直线
B.只有两条与a平行的直线
C.存在无数条与a平行的直线
D.存在唯一一条与a平行的直线
2.(2009年高考福建卷)设m,n是平面α内的两条不同直线;l1,l2是平面β内的两条相交直线.则α∥β的一个充分而不必要条件是( )
A.m∥β且l1∥αB.m∥l1且n∥l2
C.m∥β且n∥βD.m∥β且n∥l2
3.(2010年启东中学质检)已知m、n是不重合的直线,α、β是不重合的平面,有下列命题:
①若m⊂α,n∥α,则m∥n;
②若m∥α,m∥β,则α∥β;
③若α∩β=n,m∥n,则m∥α且m∥β;
④若m⊥α,m⊥β,则α∥β.
其中真命题的个数是( )
A.0B.1C.2D.3
4.如图,在空间四边形ABCD中,M∈AB,N∈AD,若
=
,则直线MN与平面BDC的位置关系是__________.
5.(原创题)棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是棱AA1的中点,过C、M、D1作正方体的截面,则截面的面积是__________.
6.如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,D点为棱AB的中点.
求证:
AC1∥平面CDB1.
1.如果一条直线和一个平面平行,那么这条直线只和这个平面内的( )
A.一条直线不相交B.两条相交直线不相交
C.无数条直线不相交D.任意一条直线都不相交
2.对于平面α和共面的直线m、n,下列命题中是真命题的是( )
A.若m⊥α,m⊥n,则n∥α
B.若m∥α,n∥α,则m∥n
C.若m⊂α,n∥α,则m∥n
D.若m、n与α所成的角相等,则m∥n
3.给出下列关于互不相同的直线l、m、n和平面α、β、γ的三个命题:
①若l与m为异面直线,l⊂α,m⊂β,则α∥β;
②若α∥β,l⊂α,m⊂β,则l∥m;
③若α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,l∥γ,则m∥n.
其中真命题的个数为( )
A.3B.2
C.1D.0
4.如图,ABCD-A1B1C1D1为正方体,下面结论错误的是( )
A.BD∥平面CB1D1
B.AC1⊥BD
C.AC1⊥平面CB1D1
D.异面直线AD与CB1所成的角为60°
5.
如图边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G,已知△A′DE是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形,则下列命题中正确的是()
①动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上;
②BC∥平面A′DE;
③三棱锥A′-FED的体积有最大值.
A.①B.①②
C.①②③D.②③
6.下列四个正方体图形中,A、B为正方体的两个顶点,M、N、P分别为其所在棱的中点,能得出AB∥平面MNP的图形的序号是( )
A.①③B.①④
C.②③D.②④
7.考察下列三个命题,在“__________”处都缺少同一个条件,补上这个条件使其构成真命题(其中l、m为直线,α、β为平面),则此条件为__________.
①
⇒l∥α;②
⇒l∥α;③
⇒l∥α.
8.
空间四边形ABCD的两条对棱AC、BD的长分别为5和4,则平行于两条对棱的截面四边形EFGH在平移过程中,周长的取值范围是 .
9.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点,N是BC的中点,点M在四边形EFGH上及其内部运动,则M满足条件 时,
有MN∥平面B1BDD1.
10.如图,四棱锥A-BCD被一平面所截,截面为平行四边形EFGH,求证:
CD∥平面EFGH.
11.正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、M、F为棱B1C1,C1D1和B1B的中点,试过E、M作一平面与平面A1FC平行.
12.已知如图,斜三棱柱ABC-A1B1C1中,点D、D1分别为AC、A1C1上的点.
(1)当
等于何值时,BC1∥平面AB1D1?
(2)若平面BC1D∥平面AB1D1,求
的值.
空间的平行关系
1.已知α∥β,a⊂α,B∈β,则在β内过点B的所有直线中( )
A.不一定存在与a平行的直线
B.只有两条与a平行的直线
C.存在无数条与a平行的直线
D.存在唯一一条与a平行的直线
解析:
选D.B点与a确定一平面γ与β相交,设交线为b,则a∥b.
2.(2009年高考福建卷)设m,n是平面α内的两条不同直线;l1,l2是平面β内的两条相交直线.则α∥β的一个充分而不必要条件是( )
A.m∥β且l1∥αB.m∥l1且n∥l2
C.m∥β且n∥βD.m∥β且n∥l2
解析:
选B.∵m∥l1,且n∥l2,又l1与l2是平面β内的两条相交直线,∴α∥β,而当α∥β时不一定推出m∥l1且n∥l2,可能异面.故选B.
3.(2010年启东中学质检)已知m、n是不重合的直线,α、β是不重合的平面,有下列命题:
①若m⊂α,n∥α,则m∥n;
②若m∥α,m∥β,则α∥β;
③若α∩β=n,m∥n,则m∥α且m∥β;
④若m⊥α,m⊥β,则α∥β.
其中真命题的个数是( )
A.0B.1
C.2D.3
答案:
B
4.如图,在空间四边形ABCD中,M∈AB,N∈AD,若
=
,则直线MN与平面BDC的位置关系是__________.
解析:
在平面ABD中,
=
,
∴MN∥BD.
又MN⊄平面BCD,BD⊂平面BCD,
∴MN∥平面BCD.
答案:
平行
5.(原创题)棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是棱AA1的中点,过C、M、D1作正方体的截面,则截面的面积是__________.
解析:
由面面平行的性质知截面与面AB1的交线MN是△AA1B的中位线,所以截面是梯形CD1MN,易求其面积为
.
答案:
6.如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,D点为棱AB的中点.
求证:
AC1∥平面CDB1.
证明:
连结BC1,交B1C于点E,连结DE,则BC1与B1C互相平分.
∴BE=C1E,又AD=BD,
∴DE为△ABC1的中位线,
∴AC1∥DE.
又DE⊂平面CDB1,AC1⊄平面CDB1,
∴AC1∥平面CDB1.
练习
1.如果一条直线和一个平面平行,那么这条直线只和这个平面内的( )
A.一条直线不相交B.两条相交直线不相交
C.无数条直线不相交D.任意一条直线都不相交
解析:
选D.由线面平行的定义易知,应选D.
2.对于平面α和共面的直线m、n,下列命题中是真命题的是( )
A.若m⊥α,m⊥n,则n∥α
B.若m∥α,n∥α,则m∥n
C.若m⊂α,n∥α,则m∥n
D.若m、n与α所成的角相等,则m∥n
答案:
C
3.给出下列关于互不相同的直线l、m、n和平面α、β、γ的三个命题:
①若l与m为异面直线,l⊂α,m⊂β,则α∥β;
②若α∥β,l⊂α,m⊂β,则l∥m;
③若α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,l∥γ,则m∥n.
其中真命题的个数为( )
A.3B.2
C.1D.0
解析:
选C.①中当α与β不平行时,也能存在符合题意的l、m.
②中l与m也可能异面.
③中
⇒l∥m,
同理l∥n,则m∥n,正确.
4.如图,ABCD-A1B1C1D1为正方体,下面结论错误的是( )
A.BD∥平面CB1D1
B.AC1⊥BD
C.AC1⊥平面CB1D1
D.异面直线AD与CB1所成的角为60°
解析:
选D.对于选项D,∵BC∥AD,∴∠B1CB即为AD与CB1所成角,此角为45°,故D错.
5.
如图边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G,已知△A′DE是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形,则下列命题中正确的是( )
①动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上;
②BC∥平面A′DE;
③三棱锥A′-FED的体积有最大值.
A.①B.①②
C.①②③D.②③
解析:
选C.①中由已知可得面A′FG⊥面ABC,
∴点A′在面ABC上的射影在线段AF上.
②BC∥DE,∴BC∥平面A′DE.
③当面A′DE⊥面ABC时,三棱锥A′-FDE的体积达到最大.
6.下列四个正方体图形中,A、B为正方体的两个顶点,M、N、P分别为其所在棱的中点,能得出AB∥平面MNP的图形的序号是( )
A.①③B.①④
C.②③D.②④
解析:
选B.对图①,可通过面面平行得到线面平行.对图④,通过证明AB∥PN得到AB∥平面MNP,故选B.
7.考察下列三个命题,在“__________”处都缺少同一个条件,补上这个条件使其构成真命题(其中l、m为直线,α、β为平面),则此条件为__________.
①
⇒l∥α;②
⇒l∥α;③
⇒l∥α.
解析:
①体现的是线面平行的判定定理,缺的条件是“l为平面α外的直线”即“l⊄α”,它同样也适合②③,故填l⊄α.
答案:
l⊄α
8.
空间四边形ABCD的两条对棱AC、BD的长分别为5和4,则平行于两条对棱的截面四边形EFGH在平移过程中,周长的取值范围是 .
解析:
设
=
=k,∴
=
=1-k,
∴GH=5k,EH=4(1-k),∴周长=8+2k.
又∵0<k<1,∴周长的范围为(8,10).
答案:
(8,10)
9.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点,N是BC的中点,点M在四边形EFGH上及其内部运动,则M满足条件 时,有MN∥平面B1BDD1.
解析:
∵HN∥DB,FH∥D1D,
∴面FHN∥面B1BDD1.
故M∈FH.
答案:
M∈FH
10.如图,四棱锥A-BCD被一平面所截,截面为平行四边形EFGH,求证:
CD∥平面EFGH.
证明:
∵四边形EFGH为平行四边形,
∴EF∥GH.又GH⊂平面BCD,
∴EF∥平面BCD.
而平面ACD∩平面BCD=CD,EF⊂平面ACD,
∴EF∥CD.
而EF⊂平面EFGH,CD⊄平面EFGH,
∴CD∥平面EFGH.
11.正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、M、F为棱B1C1,C1D1和B1B的中点,试过E、M作一平面与平面A1FC平行.
解:
如图,取CC1中点G,
连结B1G,取C1G中点H,连结EH.
则EH∥B1G∥FC.
同理,连结MH.
则MH∥A1F.
连结EM,又MH∩EH=H,
∴面EMH∥面A1FC,
即面EHM为所求平面.
12.已知如图,斜三棱柱ABC-A1B1C1中,点D、D1分别为AC、A1C1上的点.
(1)当
等于何值时,BC1∥平面AB1D1?
(2)若平面BC1D∥平面AB1D1,求
的值.
解:
(1)如图,取D1为线段A1C1的中点,此时
=1,
连结A1B交AB1于点O,连结OD1.
由棱柱的性质,知四边形A1ABB1为平行四边形,所以点O为A1B的中点.
在△A1BC1中,点O、D1分别为A1B、A1C1的中点,
∴OD1∥BC1.
又∵OD1⊂平面AB1D1,BC1⊄平面AB1D1,
∴BC1∥平面AB1D1.
∴
=1时,BC1∥平面AB1D1,
(2)由已知,平面BC1D∥平面AB1D1,
且平面A1BC1∩平面BDC1=BC1,
平面A1BC1∩平面AB1D1=D1O.
因此BC1∥D1O,同理AD1∥DC1.
∴
=
,
=
.
又∵
=1,
∴
=1,即
=1.