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空间中的平行关系

普通高中课程标准实验教科书—数学[人教版]

高三新数学第一轮复习教案（讲座10）—空间中的平行关系

一．课标要求：

1．平面的基本性质与推论

借助长方体模型，在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间线、面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理：

♦公理1:

如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内；

♦公理2:

过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面；

♦公理3:

如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直

线；

♦公理4:

平行于同一条直线的两条直线平行；

♦定理:

空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

2．空间中的平行关系

以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，

认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定。

通过直观感知、操作确认，归纳出以

下判定定理:

♦平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；♦一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行；通过直观感知、操作确认，归纳出以下性质定理，并加以证明:

♦一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行；♦两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行；♦垂直于同一个平面的两条直线平行

能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。

二．命题走向

立体几何在高考中占据重要的地位，通过近几年的高考情况分析，考察的重点及难点稳定，高考始终把直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的性质和判定作为考察重点。

在难度上也始终以中等偏难为主，在新课标教材中将立体几何要求进行了降低，重点在对图形及几何体的认识上，实现平面到空间的转化，示知识深化和拓展的重点，因而在这部分知识点上命题，将是重中之重。

预测2007年高考将以多面体为载体直接考察线面位置关系:

（1）考题将会出现一个选择题、一个填空题和一个解答题；

（2）在考题上的特点为:

热点问题为平面的基本性质，考察线线、线面和面面关系的论证，此类题目将以客观题和解答题的第一步为主。

三．要点精讲

1．平面概述

（1）平面的两个特征：

①无限延展②平的（没有厚度）

（2）平面的画法:

通常画平行四边形来表示平面

（3）平面的表示:

用一个小写的希腊字母、、等表示，如平面、平面；用

表示平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如平面AC。

2．三公理三推论:

公理1:

若一条直线上有两个点在一个平面内，则该直线上所有的点都在这个平面内:

Al,Bl,A,Bl

公理2:

如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的

集合是一条过这个公共点的直线。

公理3:

经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。

推论一：

经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。

推论二：

经过两条相交直线,有且只有一个平面。

推论三：

经过两条平行直线,有且只有一个平面。

3.空间直线：

（1）空间两条直线的位置关系：

相交直线一一有且仅有一个公共点；

平行直线一一在同一平面内，没有公共点；

异面直线不同在任何一个平面内，没有公共点。

相交直线和平行直线也称为共面直

线。

异面直线的画法常用的有下列三种：

（2）平行直线：

在平面几何中，平行于同一条直线的两条直线互相平行，这个结论在空间也是成立的。

即公理4:

平行于同一条直线的两条直线互相平行。

（3）异面直线定理：

连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直

线是异面直线。

推理模式：

A,B,a,BaAB与a是异面直线。

4•直线和平面的位置关系

（1）直线在平面内（无数个公共点）；

（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；

（3）直线和平面平行（没有公共点）——用两分法进行两次分类。

它们的图形分别可表示为如下，符号分别可表示为a,alA,a//。

线面平行的判定定理：

如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么

这条直线和这个平面平行。

推理模式：

a,b,a//ba//.

线面平行的性质定理：

如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相

交，那么这条直线和交线平行。

推理模式：

all,a

5.两个平面的位置关系有两种：

两平面相交（有一条公共直线）、两平面平行（没有公

共点）

（1）两个平面平行的判定定理：

如果一个平面内有两条相交直线都平行于一个平面，那么这两个平面平行。

这两个平面互相平行。

推论模式：

albP,a,b,albP,a,b,a//a,b//bll

（2）两个平面平行的性质

（1）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面；

（2）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

四.典例解析

题型1:

共线、共点和共面问题

例1.

（1）如图所示，平面ABD平面BCD=直线BD,M、N、P、Q分别为线

段AB、BC、CD、DA上的点，四边形MNPQ是以PN、QM为腰的梯形。

试证明三直线BD、MQ、NP共点。

证明：

•••四边形MNPQ是梯形，且MQ、NP是腰,

•••直线MQ、NP必相交于某一点0。

•/O直线MQ;直线MQ平面ABD,

O平面ABD。

同理，0平面BCD，又两平面ABD、BCD的交线为BD,

故由公理二知，O直线BD，从而三直线BD、MQ、NP共点。

点评：

由已知条件，直线MQ、NP必相交于一点0，因此，问题转化为求证点0在直线BD上，由公理二，就是要寻找两个平面，使直线BD是这两个平面的交线，同时点0是这两个平面的公共点即可.“三点共线”及“三线共点”的问题都可以转化为证明“点在直线上”的问题。

（2）如图所示，在四边形ABCD中，已知AB//CD，直线AB,BC,AD,DC分别与

平面a相交于点E,G,H,F.求证：

E,F,G,H四点必定

共线。

A

证明：

•••AB//CD,

BD

•AB,CD确定一个平面3.

//厂\h

又TABa=E,AB3,—E€a,E€3,

EF

aG

即E为平面a与B的一个公共点。

同理可证F,G,H均为平面a与B的公共点.

•••两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线，

•••E,F,G,H四点必定共线。

点评：

在立体几何的问题中，证明若干点共线时，常运用公理2,即先证明这些点都是

某二平面的公共点，而后得出这些点都在二平面的交线上的结论。

例2.已知：

a,b,c,d是不共点且两两相交的四条直线，求证：

a,b,c,d共面。

证明：

1o若当四条直线中有三条相交于一点，不妨设a,b,c相交于一点A,

/、H』

/

K

d

a

b

c

A”

a

//_d

_a_E_F_b_G_c

图1

a

图2

但Ad，如图1所示：

•直线d和A确定一个平面a。

又设直线d与a,b,c分别相交于E,F,G,

则A,E,F,G€a。

TA,E€a,A,E€a,•aa。

同理可证ba,ca。

•a,b,c,d在同一平面a内。

2o当四条直线中任何三条都不共点时,

如图2所示:

•••这四条直线两两相交，则设相交直线a,b确定一个平面a。

设直线c与a,b分别交于点H,K，贝UH,K€a。

又H,K€C,「.ca。

同理可证da。

•a,b,c,d四条直线在同一平面a内.

点评：

证明若干条线（或若干个点）共面的一般步骤是：

首先根据公理3或推论，由题给

条件中的部分线（或点）确定一个平面，然后再根据公理1证明其余的线（或点）均在这个平面

内。

本题最容易忽视“三线共点”这一种情况。

因此，在分析题意时，应仔细推敲问题中每一句话的含义。

题型2:

异面直线的判定与应用

例3.已知：

如图所示，

=a,b

ab=A,c

c/a。

求证

直线b、c为异面直线。

证法一

:

假设b、C共面于

.由Aa,a//c知，Ac，而ab=A,

=a,

A

A

。

又c

、都经过直线c及其外的一点A,

与重合,

于是a

，又b。

又、

都经过两相交直线

a、b，从而、重合。

、、

为冋一平面,

这与=a矛盾。

•••b、c为异面直线.

证法二：

假设b、c共面，则b,c相交或平行。

（1）若b//c，又a//c，则由公理4知a//b，这与ab=A矛盾。

（2）若bc=P，已知b,c，则P是、的公共点，由公理2,P

a，又bc=P，即Pc，故ac=P，这与a//c矛盾。

综合

（1）、

（2）可知，b、c为异面直线。

•/a//c，二A

c，

在直线b上任取一点

P（P异于A），则P

（否则b，又a

，则、都

经过两相交直线a、b，

则、重合，与

=a矛盾）。

证法三：

a,abA，…Aa。

又c，于是根据“过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线”知，b、c为异面直线。

点评：

证明两直线为异面直线的思路主要有两条：

一是利用反证法；二是利用结论“过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线．。

异面直线又有

两条途径：

其一是直接假设b、c共面而产生矛盾；其二是假设b、c平行与相交；分别产生矛盾。

判定直线异面，若为解答题，则用得最多的是证法一、二的思路；若为选择或填空题，则往往都是用证法三的思路。

用反证法证题，一般可归纳为四个步骤：

（1）否定结论；

（2）进行推理；（3）导出矛盾；（4）肯定结论．

宜用反证法证明的命题往往是

（1）基本定理或某一知识系统的初始阶段的命题（如立体几何中的线面、面面平行的判定定量的证明等）；

（2）肯定或否定型的命题（如结论中出

现“必有”、“必不存在”等一类命题）；（3）唯一型的命题（如“图形唯一”、“方程解唯一”等一类命题）；（4）正面情况较为繁多，而结论的反面却只有一两种情况的一类命题；（5）

结论中出现“至多”、“不多于”等一类命题。

例4.

（1）已知异面直线a,b所成的角为70°，则过空间一定点O,与两条异面直线a,b

都成600角的直线有（）条

600，等价

的直线。

故过点O与a,b都成60°角的直线有4条，从而选D。

（2）过点O分别作a//a、b//b，则过点O有三条直线与a,b所成角都为

于过点O有三条直线与a,b所成角都为600，其中一条正是角的平分线。

从而可得选项为C。

点评：

该题以学生对异面直线所成的角会适当转化，较好的考察了空间想象能力。

题型3：

线线平行的判定与性质

例5.（2003上海春，13）关于直线a、b、I及平面M、N,下列命题中正确的是（）

A.若a//M,b//M,贝Ua//b

B.若a//M,b±a，贝Ub±M

C.若^=M,bEM，且I丄a,I丄b，贝UI丄M

D.若a丄M,a//N,贝UM丄N

解析：

解析：

A选项中，若a/M,b//M，则有a//b或a与b相交或a与b异面。

B选项中，b可能在M内，b可能与M平行，b可能与M相交.C选项中须增加a与b相交，则I丄M。

D选项证明如下：

•/a//N,过a作平面a与N交于c,则c//a,二c±M.故M丄N。

答案D。

点评：

本题考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的基本性质。

例6.两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB,M€AC,N€FB，且AM=FN,求证：

MN//平面BCE。

证法一：

作MP丄BC,NQ丄BE,P、Q为垂足，则MP//AB,NQ/AB。

•••MP//NQ,又AM=NF,AC=BF,

•••MC=NB，/MCP=/NBQ=45°

•Rt△MCP也Rt△NBQ

•MP=NQ，故四边形MPQN为平行四边形

•MN//PQ

•/PQ平面BCE,MN在平面BCE夕卜，

•MN//平面BCE。

证法二：

如图过M作MH丄AB于H，贝UMH//BC,

AMAH

ACAB

连结NH，由BF=AC,FN=AM，得

FN

BF

AH

AB

NH//AF//BE

由MH//BC,NH//BE得:

平面MNH//平面BCE

•MN//平面BCE。

A

N.-

F

1/

E

题型4:

线面平行的判定与性质

例7.（2006四川理19）

如图，在长方体

ABCD

A"|B1C1D1中,

M,N分另U是AE.CD!

的中点

ADAAa,AB2a，求证：

MN//面ADD^。

证明：

取CD的中点K，连结MK,NK；

•••M,N,K分别为AK,CD「CD的中点

•••MK//AD,NK〃DD,

•MK//面ADD1A1,NK//面ADD.A

E,P分别是BC,AD1的中点,

•••面MNK//面ADDjA•••MN〃面ADD1A

点评：

主要考察长方体的概念、直线和平面、平面和平面的关

系等基础知识，主要考察线面平行的判定定理。

例8.（1999全国文22,理21）如图所示，已知正四棱柱ABCD

—AiBiCiDi,点E在棱DiD上，截面EAC//DiB,且面EAC与底面

ABCD所成的角为45°,AB=a.

（I）求截面EAC的面积；

（n）求异面直线AiBi与AC之间的距离；解：

（I）如图所示，连结DB交AC于0,连结E0。

•••底面ABCD是正方形，

•D0丄AC

又•••ED丄底面AC,

•E0丄AC

•••/EOD是面EAC与底面AC所成二面角的平面角，

•••/EOD=45°

DO=a,AC=

2

、2

EO=a•sec45=a,

2

141

故S^eac=EO•AC=a2.

22

（n）由题设ABCD—AiBiCiDi是正四棱柱，得AiA丄底面AC,AiA丄AC.又AiA丄AiBi,

•-AiA是异面直线AiBi与AC间的公垂线.

•••DiB//面EAC，且面DiBD与面EAC交线为EO,

•-DiB//EO,

又O是db的中点

•-E是DiD的中点，DiB=2EO=2a.

•Did=DiB2DB2、2a

异面直线AiBi与AC间的距离为■■2a.

题型5:

面面平行的判定与性质

例9.如图，正方体ABCD—AiBiCiDi的棱长为

证明：

平面ACDi//平面AiCiB。

证明：

如图，•AiBCDi是矩形，AiB//DiC。

又DiC平面DiCA,AiB平面DiCA,

•-AiB//平面DiCA。

同理AiCi//平面DiCA，又AiCiAiB=Ai,平面DiCA//平面BAiCi

AiCi与AiB两相交直线分别与平面

A

点评：

证明面面平行，关键在于证明例10.P是厶ABC所在平面外一点，的重心。

（1）求证：

平面A'B'C'//平面ABC;

（2）SaA，B，C：

SaABC的值。

解析：

⑴取AB、BC的中点M、N,

PC

PA

2

则PM

PN

3

•••A'C'

//

MN

A'C'

//平面

ABC。

同理A'

B'

//面

ABC,

A'B'

C'/

//面ABC.

AC

PA

2

（2）MN

PN

3

A'

C'

221

1

ACDi平行。

、B'、C'分别是△PBC、APCA、△PAB

=3MN=3•AC=3AC

AC1

AC3,

AB1BC同理AC3BC

SABC.AC）21

SABCAC9

系）的基础上，研究有关平行的判定依据（定义、公理和定理）、判定方法及有关性质的应用；在有关问题的解决过程中，进一步了解和掌握相关公理、定理的内容和功能，并探索立体几

何中论证问题的规律；在有关问题的分析与解决的过程中提高逻辑思维能力、空间想象能力

及化归和转化的数学思想的应用.

1•用类比的思想去认识面的垂直与平行关系，注意垂直与平行间的联系。

2.注意立体几何问题向平面几何问题的转化，即立几问题平面化。

3.注意下面的转化关系：

II

线蛭平行H,线面平行面面平行

t.I

4•直线和平面相互平行

证明方法：

①证明直线和这个平面内的一条直线相互平行；◎证明这条直线的方向量

和这个平面内的一个向量相互平行；③证明这条直线的方向量和这个平面的法向量相互垂

直。

5.证明两平面平行的方法：

（1）禾U用定义证明。

禾U用反证法，假设两平面不平行，则它们必相交，再导出矛盾。

（2）判定定理：

一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行，

这个定理可简记为线面平行则面面平行。

用符号表示是：

anb,a

a,a〃B,b〃B,则a〃B。

（3）垂直于同一直线的两个平面平行。

用符号表示是：

a丄a,a丄B则a〃B。

（4）平行于同一个平面的两个平面平行。

//,////

两个平面平行的性质有五条：

（1）两个平面平行,其中一个平面内的任一直线必平行于另一个平面,这个定理可简

记为：

“面面平行，则线面平行”。

用符号表示是：

a//3,a

a,贝Va〃B。

（2）如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行，这个定理可简

记为：

"面面平行，则线线平行”。

用符号表示是：

〃//^，仏门丫=a,3^y=b，贝Ua//b。

（3）一条直线垂直于两平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面。

这个定理可用

于证线面垂直。

用符号表示是：

a〃B,a丄a，贝Va丄B。

（4）夹在两个平行平面间的平行线段相等。

（5）过平面外一点只有一个平面与已知平面平行。