微专题极值点偏移题型归纳.docx

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微专题极值点偏移题型归纳

极值点偏移问题梳理

极值点偏移的含义

众所周知，函数/（x）满足泄义域内任意自变量X都有f（x）=则函数f（x）关于直线

兀=加对称：

可以理解为函数/（x）在对称轴两侧，函数值「变化快慢相同，且若/（x）为单峰函数，则x=m必为/（x）的极值点.如二次函数/（X）的顶点就是极值点％,若f（x）=c的两根的中点为送空，则刚好有土严=忑，即极值「点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移.

若相等变为不等，则为极值点偏移：

若单峰函数f（x）的极值点为加,且函数_/（x）满足定义域内x=m

左侧的任意自变昼x都有fM>f（2〃?

-x）或/（j）

若加<土仝，则称为极值点左偏；若加>土亠，则称为极值点右偏.如函数g（x）=—的极

22e

值点X。

=1刚好在方程g（x）=c的两根中点土护的左边，我们称之为「极值点左偏.

极值点偏移问题的一般题设形式：

匚若函数/（X）存在两个零点旺,心且旺工勺，求证^K+心>2兀

（X。

为函数/（X）的极值点）；2.若函数/（X）中存在几孔且山式七满足/（^!

）=/（%2），求证：

X]+x2>2x0（兀）为函数/（X）的极值点）:

3.若函数于⑴存在两F个零点旺,勺且州工勺，令尤0；''

2求证：

/'（Xo）>O：

4.若函数f（X）中存在坷,勺且XjX2满足/（x（）=f（x2）,令x0=-A'^A：

求证：

广（勺）>0.

运用判定定理判定极值点偏移的方法

1、方法概述：

（1）求岀函数/（X）的极值点入：

（2）构造一元差函数F（x）=/（xn+x）-/（x0-x）：

（3）确「左函数F（x）的单调性：

（4）结合F（0）=0,判断F（x）的符号，从而确泄/（x°+x）、/（x0-a）的大小关系.

口诀：

极值偏离对称轴，构造函数觅行踪；四个步骤环相扣，两次单调紧跟随.

2、抽化模型答题模板:

若已知函数f（x）满足/（%,）=f（x2）,X。

为函数/（x）的极值点,求证：

x,+七V2x（、.

（1）讨论函数/（X）的单调性并求岀/（X）的极值点X。

：

假设此处/（X）在（-8,忑）上单调递减，在（心+8）上单调递增.

（2）构造F（x）=f（xQ+x）-/（x0-x）:

注：

此处根•据题意需要还可以构造成F（x）=/（a）-/（2a0-x）的形式.（3）通过求导F（x）讨论F（x）的单调性，判断岀F（x）在某段区间上的正负，并得出/（心+x）与/（“一力的大小关系；

假设此处F（x）在（0,+8）上单调递增，那么我们便可得出F（x）>F（x.）=f（x0）一/（忑）=0,从而得到：

时，f（x0+x）>f（x0-A）.（4）不妨设X）

）=/（x2）,f（x0+x）与/（兀）一力的大小关系得岀结论；接上述情况，由于^>XO时，f（x（）+x）>f（x0-x）且xlf[x0-（Xj-x0）]=f（2x0-x2）,又因为X]v,2x0-x2

得证.（5）若「要证明广（土严）<0,还需进一步讨论土尹与％的大小，得出土严所在的单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证•此处只需继续证明：

因为州+吃<2瓦，故迸殳<儿，由于/（X）在（yo,兀）上单调递减，故/•（VZ2z）

一、不含参数的极值点偏移问题

例1.（2020-广东大联考）已知函数/（a）=—.

（1）若对任意XW（0,*o）,f（x2）

（2）若函数g（x）=/（x）+丄一〃7有两个不同的零点歼，吃，证明：

勺+吃>2.

【解析】

（1）解：

由j\x2）

令”（X）=警，则"）=2（1-严兀）冷/?

'⑴=0,

•••在0®上，川（x）>0,〃（x）单调递增；在巨七上，/f（x）

•••h（（x）

r2）

=T-'

则k>—9即R的取值范用为

厂+s

丿"

⑵证明：

设x,0,g（x）单调递增:

在（1，+00）上，/（X）oo时，g（x）>-wi,

且g（x）fT"，02，即证x2>2-^.Vx2>1,2—州>1,e

g（x）在（l,+x）上单调递减…••只需证明g（X2）Vg（2-X|）.由g（X[）=g（X2），

只需证明g（x,）vg（2_xj令/n（x）=g（x）-g（2_x）,

TP）

mf（x）=

lnxln（2-x）

—丁一（2—才

・—0,宀（2-寸，・・.〃（）>」：

〜（「）=_学凹

'7（2—E（2-X）-

・•.加（x）在-,1］上单调递增，.：

加（x）v加⑴=0,即/”（x）<0,・•.召+勺>2.

例2.（2010天津理）己知函f（x）=xe~x（xeR）,如果坷工花，且fW=7（-^2）•证明：

册+吃>2.

【解析】构造F（x）=/（I+a:

）-/（I-X）,xe（0J],则F（x）=广（1+兀）_广（1_兀）=吕（宀1）>0,

所以F（x）在"（0,1]上单调递增,F（x）>F（0）=0,也即+对"（0,1]恒成立•由

0/（l-G-x,））=/（%,）=f（x2）,

即f（2-xt）>f（x2）,又因为2-召,.丫2e（l，+°°），且/（X）在（1,乜）上单调递减，

所以2-%）2.

二、含参数的极值点偏移问题

含参数的极值点偏移问题，是在原有的两个变元召的基础上，又多了一个参数，故思路很自然的就会想到：

想尽一切办法消去参数，从而转化成不含参数的问题去解决：

或者以参数为媒介，构造出一个变元的新的函数。

例1.（2020-天津滨海新区七校联考）已知函数f（x）=msin（\-x）+\nx.

（1）当加=1时，求函数《/（x）在（0,1）的单调性：

（2）当加=0且«>--时，g（x）=-0（x）+丄，求函数g（x）在（0厨上的最小值；

€\

（3）当加=0时，力（（X）=/（•¥）+-!

--“有两个零点X],X2,且X,

Xj+x2>1.

【解析】

（1）由题意，函数/（x）=sin（l-x）+lnx,则广（x）=—cos（l—x）+丄，

又VXG（0,l）,/.->1,cos（l-x）0,A/（x）在（0,1）上单调递增.

・1

（2）由g（x）=_0（x）+丄=丄一alnx,则g'（x）=-—=-,

Xxx~XX-

（1）当a>0时，Vxw（0,£）,g'（x）<0,此时图数g（x）在区间（0,可上单调递减，

・••函数g（x）在x=e处取得最小值,即g（x）n.n=g（（e）=丄―“：

（2）当“<0时，令g©）=0dx=-丄，

当一丄时，即当一-<6/<0,g（x）<09

此时函数g（x）在区间（0,习上单调递减，函数g（x）在x=e处取得最小值，

即g（X）nun=g（e）=；；综上所得g（x）min=g（«）=£-°•

（3）证明：

根据题意，〃（x）=lnx+丄一b（x>0）,

•・•册，吃是函数h（x）=\nx+--b的两个零点，.•.111禹+二一〃=0,“厂+”一―〃=02x上召厶丫2

__册7i-11亠

两式相减,可Wln|=---,即哙=士亍，.・小一2吟’则刃益七2心“2x2X2

令『=严，虫（0,1）,则x+r=匕_+二£=二.记“/）=」-21痕，虫（0,1）,则/，（/）=匕工兀X，+X2"2hi7+2h?

7"2hw'尸

XV/G（0J）t/.r（/）>0恒成立,故/（/）

（1）,即/一丄—21n/v0・可得二£〉「•••州+勺>1・'2hw>

例2•已知函数f（x）=\nx^ax9"为常数，若函数/（x）有两个零点证明：

易・兀〉/・

【解析】法一：

利用参数"作为媒介，换元后构造新函数：

不妨设x,＞a2,

VInx}-ax}=0,Inx2-ax2=0,Inx}+Inx2=a（x{+x2）,In-Inx2=a（x{-x2）,

••~~=a,欲证明>e21即证InXj+Inx,>2.

X\-X2

•:

lnxj+Inx2=a（xt+x2）,•'•即证a>

・••原命题等价于证明血二旦＞二一,即证：

山玉＞辿匚血，令/=巴卫＞1）,构造

X]—尤2X\+X2X2X\+^2X2

则知-響心，此问题等价转化成为例I中思路2的解答，下略.

法二：

直接换元构造新函数：

lnxInlnx7x.x7

a=—=—o十=A，设州<禺，/=亠（>1）,x{x2In£X]xx

则…単斗,

InX]Inxl

一”宀iIn/,,,,In?

t\nt

反解出:

inA]=Jnx2=Intxx=Inf+In召=Inr+=

/—lf—1/—1

故x.x1>£?

2<=>Inx.+In>2<=>\nt>2,转化成法二，下同,略.

-r-1

例3•已知旺,勺是函数f（x）=ex-ax的两个零点，且＜x2.求证：

x,x2＜l.

【解析】要证：

x,x2<1,即证：

等价于・（r>0）,等价于即证：

『・£了一”+1<0

二111LtL

令h（t）=t-e2一d+1（/>0）,贝Uif（t）=e2+—t-e2-e=，（1+——，）,

必）“（0）=0,从而h\t）<0,力（/）在（0,+oo）单调递减，•••/?

（/）v/2（0）=0,即证原不等式成立.

例4•设函数f（x）=a2x---2aInax（a>0）,函数广（x）为/（x）的导函数，且A（xvf（x{）\B（x2J（x2））是/⑴的图像上不同的两点，满足/（和+/（大2）=°，线段A3中点的横坐标为心，证明：

"兀>1・

【解析】•••心。

>10士竺>丄0齐>3—也，又依题意r（x）=（«-l）2>o,

2aax

得/（x）在泄义域上单调递增，所以要证Q°>1,只需证一=—一吃），

即/（—一也）+/（禺）v0……①

不妨设注意到/（丄）=0,由函数单调性知，有西<丄£>丄，

aaa

构造函数F（x）=f（^-X）+f（x）,则F'（x）=f（x）-r（--x）=-等㈡〒,

aax"（2-ax）

当x>-时，F\x）<0,即F（x）单调递减，当x>-时，F（x）vF（丄）=0,从而不等式①式成立，故原aaa

不等式成立.

三、含对数平均的极值点偏移

例1.（2020-重庆一中期末）

（1）当X>1时，不等式lnx>

x+1

（2）已知函数/（A）=（A-l）lnxtg（x）=»a¥'+x（x>0）,如果函数T（x）=/（x）-g（x）有两个极值点

山、X2,求证：

心吃>16.（参考数据：

V2^1.4Hln2^0.69,s2・72,"为自然对数的底数）

【解析】

（1）令/心）=1心_5：

）,其中x>l,且有力

（1）=0

12a对—2（a—l）x+l

x（x+1）2x（a+1）2'

令m（x）=x2-2（a-\）x+\,则/\=4（°一1）‘一4=4“（“一2）.

1当△<（）时，即当0\,m（x）>0,即/r（x）XO,

所以，函数y=h（x）在区间（1,+x）上为增函数，当x>l时，/心）>力

（1）=0,合乎题意：

2当/>0时,则av0或a>2.

（1）当“<0时，对任意的x>\,w（x）>0,即/?

z（x）>0,

所以，函数y=h（x）在区间（1,+对上为增函数，当x>l时，/心）>力

（1）=0,合乎题意：

（11）当a>2时，设函数y=h（x）的两个极值点分别为川、心，设坷<吃，

由韦达定理得

心厂2—1）>0,则必有。

当1vxvx?

时，/「（x）v0,当x>x2时，/?

z（x）>0.所以，力（吃）

（1）=0,不合乎题意.综上所述，实数d的取值范囤是（yo,2］：

由题意<

相加有ln（x$2）—亠二乂=“（兀+尤2），①

代入①有In（州吃）一A）+A：

即in（x,x2）-辿+冬）=［土竺］In卫,

2（△+•]）=仆+七k卫>2

1兀2-羽丿比

不妨设01,由

（1）有ln（x）x2）-

又叽）-常Eg）一警6辰）说

所以21n（7^）--y=>2,即-丁亍>1,

21?

设G（x）=\nx——，则G,（x）=—+—>0,G（x）=\nx——在（0,+“）单调递增，•IXXX

21又G（4）=ln4--=21n2--«2x0.69-0.5<1,

===>1>ln4-—=G（4）,:

.馭勺>4,因此x,x2>16.

例2.（2020湖北高三月考（理））已知函数f{x）=alnx-（x-\）e\其中“为非零常数.

（1）讨论/（X）的极值点个数，并说明理由;

（2）若a>e9（i）证明：

/（x）在区间（1,2）内有且仅有1个零点沖）设心为/（x）的极值点严为/（X）

的零点且X】>1,求证：

勺+2lg>x}.

【解析】

（1）解：

由已知，/（X）的定义域为（0,+co）.•••广何=巴一加==,

1当d<0时，a-x2er<0,从而广（x）v0,所以_/（x）在（0,乜）内单调递减，无极值点；

2当a>0时，令g（x）=a-x2exf

则由于g（x）在[0,+00）上单调递减，g（0）=d>0,g（五）="一“評=“（1一評）<0,

所以存在唯一的x°w（O，T使得g（呂）=0,

所以当xw（O,Xo）时，g（x）〉0,即/'（x）>0：

当xw（Xo，p）时，g（x）<0,即广（x）v0,

所以当a>0时，/（x）在（0,*q）上有且仅有一个极值点-

综上所述，当“<0时，函数/（x）无极值点：

当a>0时，函数f（x）只有一个极值点；

（2）证明：

（/）由

（1）知f,（x）=cl~Ae・令g（x）=a-x2e\由a得g（l）=d-a>0,

所以g（x）=O任（l,+oo）内有唯一解，从而/'（%）=0在（0,乜）内有唯一解，

不妨设为心，则于（x）在（I,。

）上单调递增，在（无,乜）上单调递减，所以勿是/（x）的唯一极值点.

令h（x）=bvc-x+i,则当x>l时，吐町=丄一lvO,故力⑴在（1,乜）内单调递减,

从而当x>l时，A（x）

（1）=O,所以hvc

从而当a>e时，lua>1,且f（Ina）=alnIna-1）el,M

又因为/（l）=0,故/'（x）在（1,-kx））内有唯一的零点.

（"）由题意，[少）\）一?

即].门，从而苗冋=（易-片,即啊=営■严[/（xJ=OW巧一（召一10=0'丿兀

Y—|

因为当西>1时,lnxx心>1,故丄厂召一1,即严<乩

两边取对数，得Ine^<加球，于是召一x（）<2h%,整理得x0+21%>x}.

例3.（2019夏津第一中学高三月考）已知函数/（x）=x+--w|丄+lnx]（〃疋R）.

（1）当心1时，讨论/（X）的单调性；

（2）设函数g（x）=/a）+^^,若存在不相等的实数X—2,使得g（Xi）=g（Xj）,证明：

0v/wv^+E.

【解析】

（1）函数/（兀）的定义域为（0,+s）.

/•‘/、1m—1illx~—rnx+m—1（x—l）[x—（ih—1）1mx.lx.,c

/（x）=1+一；=；=:

因为m>\,所以加一1>0，

x~Xx~x~

1当00得x>l或x

所以于（x）在（0,〃?

—1）,（1,+Q上是增函数，在（加一1,1）上是减函数：

2当加一1=1,即m=2时/'（x）nO,所以/（x）在（0,+8）上是增函数：

3当加—1>1,即m>2时，由f（x）>0得x>加一1或xvl,由所以于（x）在

（0,1）,（加—1,乜）.上是增函数，在（1冲一1）上是减函数

综上可知：

当\

当加=2时，/（x）在（0，+“）.上是单调递增；

当m>2时/（x）在（0,1）,（7m-1,-ko）上是单调递增,在（1,加一1）上是单调递减.

（2）g（x）=/（%）+——=x-m\nxfgf（x）=\-—9

当<0时，g'（x）>0,所以g（x）在（0,4-09）上是增函数，故不存在不相等的实数X,,x2,使得g（xj=^（x2）,所以加>0.

由g（xj=g（*2）得％］—加ho=心一加lnx?

，即w（ln^2-lnx1）=x2-x1,不妨设0

只需证

所以力U）在（1，炖）上是增函数.所以/?

（/）>/2

（1）=0,从而］［订一厂1>0,故0<〃?

<州+尤2・课后练习

1.已知函数f（x）=x\nx.

（1）求/（X）的图象在x=f处的切线方程;

（2）若函数F（x）=Z£2_b有两个不同的零点可、吃，证明：

xrv2-€2>0.

【答案】

（1）y=2x—j

（2）证明见解析.

（1）v/（x）=xlnx,定义域为（0,+乞），//（x）=lnx+l,f（e）=e,广（e）=2.

bx、=InX]bx、=In

因此，函数y=f{x）的图象在兀之处的切线方程为y-e=2（x-e）9即y=2x—.

（2）^F（x）=^-L^-Z?

=—-/?

=0,得bx=\nx,由题意可得＜两式相加得b（召+X2）=Inx}+Inx2,两式相减得b（x}-x2）=Inx{-Inx2,

+x2_InxAx,

设xA>x2>09可得州一勺一山―・・・型兰山丄L=inx$2,"""""AJA-y.X-I

要证召无〉，，即证^ln^=lnxIA-,>2,即沁〉儿\_乜）"x{一x2x2

e-1

x2xx+x2

令/=+>1，即证Inf〉二节_：

）,构造函数g⑴=lnf一二"一；），其中/>1,

必）十汁1厂辟所以’函数呦如—嚮在区间心）上单调递增•

当/>1时，g“）>g（l）=0,所以，ln/>「U）.因此，-V,x2>e2.

2.已知函/（x）=Inx+x>owR.

（1）若/⑴=0,求函数/（工）的单调递减区间;

（2）若关于x的不等式成立，求整数"的最小值;

（3）若°=一2,正实数儿，勺满足/（召）+/（七）+齐吃=0,证明：

召+兀2>：

【答案】⑴（*）;

（2）2：

（3）证明见解析.

（1）由/

（1）=1—彳=0,可得a=2,所以f（x）=\nx-x2+x,x>0,

ior21r4-1I

f（x）=丄一2x+l=—（x>0）,由广（x）vO,得2F_x_i>o,解得兀>1或x<—牙,

Xx/

又因为x>0,所以x>l,所以/（x）的单调递减区间为（1•炖）・

（2）令g（x）=/（x）-（ax-l）=lnx--ax2+（l-«）x+l,

亦［、l\1\—Q~+（l—。

）兀+1

所以g（x）=——ax+（l_a）=\7

当dSO时，因为x>0.所以/（x）>0,所以g（x）在（0,+8）上是递增函数.

又因为g（l）=lnl-一^xl2+（l-«）+l=--t/+2>0,

ax-—]（x+l）

所以关于X的不等式f（x）

当“>0时，一、-ax2+（l-6/）x+lg（x）=一

时，g©）vO,

，得尤=丄.所以当"0,耳时，g'（x）>0；当xe^,-K0

因此函数g（x）在X彳。

，勻

上是增函数，在丄,+T上是减函数,

丿

故函数g（x）的最大值为g

+（1—a）x—1=In,

'7u2a

令h（a）=——Ina,因为/»（l）=^>0,力

（2）=扌一In2v0,

又因为/?

（"）在“w（0,+8）上是减函数，所以当a>2时，/心）<0.所以整数"的最小值为2・

（3）当a=-2时，/（x）=lnx+x2+x»x>0,

由/（xi）+/（x2）+xix2=0，得lux】+xf+x{+Inx2+x2+x}x2=0,

从而（%j+x2）2+（%|+x2）=%|X2-In（%|X2）»令f=V2,则由（p（t）=t-\nt,得=

可知，0（/）在区间（0,1）上单调递减，在区间（L+oo）上单调递增，所以0（/）»0

（1）=1,所以（召+勺）2+（旺+吃）》1，因此册+兀》』3成立,

又因为字

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