二次函数中的存在性问题.docx

二次函数中的存在性问题.docx

《二次函数中的存在性问题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《二次函数中的存在性问题.docx（12页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

二次函数中的存在性问题

二次函数&几何

【相似】

1、如图，抛物线y=a（x+3）（x-1）与x轴相交于A、B两点（点A在点B右侧），过点A的直线交抛物线于另一点C，点C的坐标为（-2，6）.

（1）求a的值及直线AC的函数关系式；

（2）P是线段AC上一动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点M，交x轴于点N.

①求线段PM长度的最大值；

②在抛物线上是否存在这样的点M，使得△CMP与△APN相似？

如果存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标（不必写解答过程）；如果不存在，请说明理由.

【特殊图形或直角】

1、在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板

放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点

，点

，如图所示：

抛物线

经过点

．

（1）求点

的坐标；

（2）求抛物线的解析式；

（3）在抛物线上是否还存在点

（点

除外），使

仍然是以

为直角边的等腰直角三角形？

若存在，求所有点

的坐标；若不存在，请说明理由．

2、如图,已知抛物线

与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，-1）.

（1）求抛物线的解析式；

（2）点E是线段AC上一动点，过点E作DE⊥x轴于点D，连结DC，当△DCE的面积最大时，求点D的坐标；（3）在直线BC上是否存在一点P，使△ACP为等腰三角形，若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由.

3、如图，已知抛物线y＝

+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝1，且抛物线经过A（－1，0）、C（0，－3）两点，与x轴交于另一点B．

（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；

（2）在抛物线的对称轴x＝1上求一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，并求此时点M的坐标；

（3）设点P为抛物线的对称轴x=1上的一动点，求使∠PCB＝90º的点P的坐标．

【几何】

4、如图，抛物线y=-

+

+3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D

（1）直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴；

（2）连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF∥DE交抛物线于点F，

设点P的横坐标为m；

①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？

②设△BCF的面积为S，求S与m的函数关系式．

5、如图所示，在平面直角坐标系xoy中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正

半轴上，抛物线y=

经过点A、B和D（4，

）．

（1）求抛物线的解析式．

（2）如果点P由点A出发沿AB边以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q由点B出发沿BC边以1cm/s的速度

向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设S=

（

）

①试求出S与运动时间t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；

②当S取

时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？

如果存在，

求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由．

（3）在抛物线的对称轴上求点M，使得M到D、A的距离之差最大，求出点M的坐标．

6、如图，抛物线y=ax2+bx经过点A（-4，0）、B（-2，2），连接OB、AB，

（1）求该抛物线的解析式．

（2）求证：

△OAB是等腰直角三角形．

（3）将△OAB绕点O按逆时针方向旋转135°，得到△OA′B′，写出A′B′的中点P的坐标，试判断点P是否在

此抛物线上．

（4）在抛物线上是否存在这样的点M，使得四边形ABOM成直角梯形，若存在，请求出点M坐标及该直角

梯形的面积，若不存在，请说明理由．

7、已知抛物线y=

-mx+2m-

．

（1）试说明：

无论m为何实数，该抛物线与x轴总有两个不同的交点．

（2）如图，当抛物线的对称轴为直线x=3时，抛物线的顶点为点C，直线y=x-1与抛物线交于A、B两点，并

与它的对称轴交于点D．

①抛物线上是否存在一点P使得四边形ACPD是正方形？

若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；

②平移直线CD，交直线AB于点M，交抛物线于点N，通过怎样的平移能使得以C、D、M、N为顶点的

四边形是平行四边形．

8、如图，抛物线

的顶点为D（-1，-4），与y轴交于点C（0，-3），与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）连接AC，CD，AD，试证明△ACD为直角三角形；

（3）若点E在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F，使以A，B，E，F为顶点的四边形为平行四边形？

若

存在，求出所有满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．

9、如图，已知二次函数

的图象经过A（-2，-1），B（0，7）两点．

（1）求该抛物线的解析式及对称轴；

（2）当x为何值时，y＞0？

（3）在x轴上方作平行于x轴的直线l，与抛物线交于C，D两点（点C在对称轴的左侧），过点C，D作x轴的垂

线，垂足分别为F，E．当矩形CDEF为正方形时，求C点的坐标．

10、已知：

关于x的一元二次方程：

.

（1）求证：

这个方程有两个不相等的实数根；

（2）当抛物线

与x轴的交点位于原点的两侧，且到原点的距离相等时，求此抛物线的解析式；

（3）将

（2）中的抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分保持能够不变，得到图形C1,将图形C1向右平移一个单位,得到图形C2，当直线

（b<0）与图形C2恰有两个公共点时，写出b的取值范围.