中考隐形圆问题.docx

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中考隐形圆问题

2019中考数学复习隐形圆问题大全

一定点+定长

1.依据：

到定点的距离等于定长的点的集合是以定点为圆心定长为半径的圆。

定点।定长二四

2.应用：

BD的长。

（1）如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD=2,BC=1,AB//CD,求

由AB//

简析：

因AB=AC=AD=2,知B、C、D在以A为圆2为半径的圆上,

CD得DE=BC=1,易求BD=<5。

F是线段

B'D,则

（2）如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=6,E是AB边的中点，

BC边上的动点，将^EBF沿EF所在直线折叠得到△EB'F,连接B'D的最小值是.

.4

简析：

E为定点，EB'为定长，B'点路径为以E为圆心EB'为半径的圆,

作穿心线DE得最小值为2屈。

D

（3）AABC中，AB=4,AC=2,以BC为边在AABC外作正方形BCDE,BD、

CE交于点O,则线段AO的最大值为

R

简析：

先确定A、B点的位置，因AC=2,所以C点在以A为圆心，2为半径的圆上；因点。

是点C以点B为中心顺时针旋转45度并1:

，2缩小而

得，所以把圆A旋转45度再1:

夜缩小即得。

点路径。

如下图，转化为

求定点A到定圆F的最长路径，即AF+FO=3&。

D

定线+定角

1.依据：

与一条定线的两端夹角一定的动点路径是以定线为弦，定角为圆周

角的弧。

2.应用：

（1）矩形ABCD中，AB=10,AD=4,点P是CD上的动点，当/APB=90°时求DP的长.

简析：

AB为定线，/APB为定角（90）,P点路径为以AB为弦（直径）

的弧，如下图，易得DP为2或8。

（2）如图，/XOY=45°,等边三角形ABC的两个顶点A、B分别在OX、OY上移动，AB=2,那么OC的最大值为一.

简析：

AB为定线，/XOY为定角，。

点路径为以AB为弦所含圆周角为45的弧，如下图，转化为求定点C到定圆M的最长路径，即CM+MO=J3+1+J2

（3）已知A（2,0）,B（4,0）是x轴上的两点，点C是y轴上的动点,当/ACB最大时，则点C的坐标为.

简析：

作AABC的处接圆M,当/ACB最大时，圆心角/AMB最大，当圆M半径最小时/AMB最大，即当圆M与y轴相切时/ACB最大。

如下图，易得C点坐标为（0,2J2）或（0,-2J2）

（4）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=axA2-3ax-4a的图象经过点C（0,2）,

交轴于点A、B,（A点在点左侧）,顶点为D.

①求抛物线的解析式及点A、B的坐标；

②将AABC沿直线BC对折，点A的对称点为A',试求A’的坐标；

③抛物线的对称轴上是否存在点P,使/BPC=/BAC若存在，求出点P的坐标；

简析③：

定线BC对定角/BPC=/BAC,则P点在以BC为弦的双弧上（关

于BC对称），如下图所示

353万

-）P（T，"丁）

1.依据：

不在同一直线上的三点确定一个圆。

2.应用:

AABC中，/A=45°,ADLBC于D,BD=4,CD=6,求AD的长。

简析：

作AABC的外接圆，如下图，易得AD=7+5=12O

四四点共圆

1.依据：

对角互补的四边形四个顶点共圆（或一边所对两个角相等）。

2.应用:

如图，在矩形ABCD中，AB=6,AD=8,P、E分别是线段AGBC上的点,

四边形PEFD为矩形，若AP=2,求CF的长。

简析：

因/PEF=/PDF=/DCE=90°,知D、F、C、E、P共圆，如下图，由/1=/2、/4=/5,易得AAPD-ADCF,CF:

AP=CD:

AD,得CF=。

D

五旋转生圆

1.如图，圆。

的半径为5,A、B是圆上任意两点，且AB=6,以为AB边作正方形ABCD（,点D、P在直线两侧），若AB边绕点P旋转一周，则CD边扫过的面积为。

简析：

CD旋转一周扫过的图形可以用两点确定，一是最远点距离为PC,二

是最近点距离为P到直线CD的垂线段，从而确定两个圆，CD即为两圆之间的圆环，如下图。

2.如图，在AABC中，/BAC=90°,AB=5cm,AC=2cm,将AABC绕顶点C

按顺时针方向旋转至AA'B'C的位置，则线段AB扫过区域的面积为。

」

简析：

扫过的阴影部分旋转拼合成如下圆心角为45度的扇环。

六动圆综合

1.动圆+定弦：

依据直径是圆中最长的弦，知此弦为直径时，圆最小

如图，△ABC中，/ABC=90°,AB=6,BC=8,。

为AC的中点，过。

作OE±OF,OE、OF分别交射线AB、BC于E、F,则EF的最小值为一

TEB

简析：

图中显然O、E、F、B共圆，圆是动的，但弦BO=5,当BO为直径

时最小，所以EF最小为5.

2.动圆+定线：

相切时为临界值。

如图，RtzXABC中，/C=90°,/ABC=30°,AB=6,点D在AB边上，点E是BC边上一点（不与点B、C重合），且DA=DE,则AD的取值范围是_。

CEB

简析：

因DA=DE,可以D点为圆心以DA为半径作圆，则圆D与BC相切时，半径DE最小。

E向B点移动半径增大直至D到B处（不含B点），得20AD<3。

CES

3.动弦+定角：

圆中动弦所对的角一定，则当圆的直径最小时此弦长最小已知：

△ABC中，/B=45°,/C=60°,D、E分别为AB、AC边上的一个动点，过D分另1J作DFLAC于F,DG±BC于G,过E作EH，AB于H,EIXBC于I,连FG、HI,

求证：

FG与HI的最小值相等。

简析：

可以看HI何时最小，因B、H、E、I共圆，且弦HI所对圆周角一定，所以当此圆直径最小时弦HI最小，即当BE最小时，此时BE，AC,解AOHI

可得HI的最小长度。

同样可求FG的最小长度。

此题可归纳一般结论：

当/ABC=a,/ACB=B,BC=m时，FG和HI的最小

值均为m*sina*sin0。

达标测试：

=AC=6,/BCA=90°,/BDC=45°,AD=2,求BD.

2.如图，将线段AB绕点A逆时针旋转60°得到线段AC,继续旋转a（0

3.如图，在边长为2,3的等边△ABC中，动点D、E分别在BGAC边上,且保持AE=CD,连接BE、AD,相交于点P,则CP的最小值为.

4.如图，E是正方形ABCD的边AB上的一点，过点E作DE的垂线交/ABC的外角平分线于点F,求证：

FE=DE.

5.当你站在博物馆的展厅中时，你知道站在何观赏最理想吗如图，设墙壁上的展品最高点P距离地面米，最低点Q距地面2米，观察者的眼睛E距地面米，当视角/PEQ最大时，站在此处观赏最理想，则此时E到墙壁的距

离为一米.

6.如图直线y=x+2分别与x轴，y轴交于点M、N,边长为1的正方形OABC的一个顶点O在坐标系原点，直线AN与MC交于点P,若正方形OABC绕点。

旋转一周，则点P到点（0,1）长度的最小值是.

2016淮安填压）如图，在Rt^ABC中，/C=90°,AC=6,BC=8,点F在边AC上，并且

CF=2,点E为边BC上的动点，将^CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边

AB距离的最小值是

【分析】如图，延长FP交AB于M,当FP±AB时，点P到AB的距离最小，利用△AFM

s^ABC,得到=求出FM即可解决问题.

【解答】解：

如图，延长FP交AB于M,当FP±AB时，点P到AB的距离最小.（点P

•./A=/A,/AMF=/C=90°,AFM^AABC,

1'1=,

.CF=2,AC=6,BC=8,

AF=4,AB=（虱,讨2=10,

1'1=,

FM=,

•••PF=CF=2,

PM=

•••点P到边AB距离的最小值是.

故答案为.

（2016无锡填空倒2）如图，已知OABC的顶点A、C分别在直线x=1和x=4上,。

是坐标原点，则对角线OB长的最小值为.

【分析】过点B作BD，直线x=4,交直线x=4于点D,过点B作B已x轴，交x轴于点E.则OB=7oE?

+BE2由于四边形OABC是平行四边形，所以OA=BC,又由平行四边形的性质可推得/OAF=/BCD则可证明△OAF^△BCD所以OE的长固定不变，当BE最小时，OB取得最小值，从而可求.

【解答】解：

过点B作BD，直线x=4,交直线x=4于点D,过点B作BE，x轴，交x轴于点E,直线x=1与OC交于点M,与x轴交于点F,直线x=4与AB交于点N,如图：

••.四边形OABC是平行四边形，

，/OAB=/BCO,OC//AB,OA=BC,

;直线x=1与直线x=4均垂直于x轴，

AM//CN,

・•・四边形ANCM是平行四边形，

・./MAN=ZNCM,

・./OAF=/BCD,

・./OFA=/BDC=90°,

・./FOA=/DBC,

在△。

人5和4BCD中，

rZFOA=ZDEC

0A=BC,

[/OAF:

/BCD

・.△OAF^△BCD.

BD=OF=1,

OE=4+1=5,

・■•ob=Voe2+be2-

由于OE的长不变，所以当BE最小时（即B点在x轴上），OB取得最小值，最小值为OB

故答案为：

5.

（2017南通选压）如图，矩形ABCD中，AB=10,BC=5,点E,F,G,H分别在矩形ABCD

各边上，且AE=CG,BF=DH,则四边形EFGH周长的最小值为（

【分析】作点E关于BC的对称点E',连接E'G交BC于点F,此时四边形EFGH周长

取最小值，过点G作GG'XAB于点G',由对称结合矩形的性质可知：

E'G'=AB=

10、GG'=AD=5,利用勾股定理即可求出EG的长度，进而可得出四边形EFGH周长的最小值.

【解答】解：

作点E关于BC的对称点E',连接E'G交BC于点F,此时四边形EFGH周长取最小值，过点G作GG'，AB于点G',如图所示.

•••AE=CG,BE=BE',

E'G'=AB=10,

•.GG，=AD=5,

Eg=Je'G'2=5

••C四边形EFGH=2E'G=10.

（2018镇江选压）如图，一次函数y=2x与反比例函数y=k（k>0）的图象交于A,B两x|

点，点P在以C（-2,0）为圆心，1为半径的OC±,Q是AP的中点，已知OQ长的最

【分析】作辅助线，先确定OQ长的最大时，点P的位置，当BP过圆心C时，BP最长,

设B（t,2t）,则CAt-（-2）=t+2,BD=-2t,根据勾股定理计算t的值，可得k的值.

【解答】解：

连接BP,

由对称性得：

OA=OB,

••・Q是AP的中点，

.OQ=-BP>

.OQ长的最大值为一，

2

•.BP长的最大值为—X2=3,

2

如图，当BP过圆心C时，BP最长，过B作BD）±x轴于D,

•.CP=1,

BC=2,

•--B在直线y=2x上，

设B（t,2t）,则CD=t-（—2）=t+2,BD=-2t,

在Rt^BCD中，由勾股定理得：

BC2=CD2+BD2,

•-22=（t+2）2+（-2t）

八.4

t=0（舍）或一=

（2018无锡）如图，已知/XOY^60°,点A在边OX上，OA=2.过点A作AC，OY于点C,

以AC为一边在/XOY内作等边三角形ABC,点P是△ABC围成的区域（包括各边）内的

一点，过点P作PD//OY交OX于点D,作PEE//OX交OY于点E.设OD=a,OE=b,则

EODP是平行四边形，得EP

【分析】作辅助线，构建30度的直角三角形，先证明四边形

=OD=a,在R「HEP中，/EPH=30°,可得EH的长，计算a+2b=2OH,确认OH最

大和最小值的位置，可得结论.

【解答】解：

过P作PHLOY交于点H,

•••PD//OY,PE//OX,

，四边形EODP是平行四边形，/HEP=ZXOY=60°,

EP=OD=a,

RtAHEP^,/EPH=30°,

EH=—EP=—a,

22

••-a+2b=2（-i-a+b）=2（EH+EQ=2OH,

当P在AC边上时，H与C重合，此时OH的最小值=OC=

2；

当P在点B时，OH的最大值是：

1+二=二，即（a+2b）的最大值是5,

22

••-2

（2018苏州）如图，已知AB=8,P为线段AB上的一个动点，分别以AP,PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE点P,C,E在一条直线上，/DAP=60°.M,N分别是对角线AC,BE的中点.当点P在线段AB上移动时，点M,N之间的距离最短为（结果留根号）.

AP6

【分析】连接PM、PN,首先证明/MPN=90°设PA=2a,贝UPB=8-2a,PM=a,PN

=（4-a）,构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；

・•.四边形APCD四边形PBFE是菱形，/DAP=60°,

・./APC=120°,/EPB=60°,

.M,N分别是对角线AC,BE的中点，

CPM=_/APC=60。

ZEPN=—ZEPB=30。

22

・./MPN=60°+30°=90°,

设PA=2a,贝UPB=8-2a,PM=a,PN=（4—a）,

MN=J]*=山a2-24a+48=痛d-3产+12,

，a=3时，MN有最小值，最小值为2,故答案为2.