中考隐形圆问题.docx

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中考隐形圆问题

2021中考数学复习隐形圆问题大全

一定点+定长

1.依据：

到定点的距离等于定长的点的集合是以定点为圆心定长为半径的圆。

2.应用：

〔1〕如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD=2，BC=1，AB∥CD，求BD的长。

简析：

因AB=AC=AD=2，知B、C、D在以A为圆2为半径的圆上，由AB∥CD得DE=BC=1，易求BD=

。

〔2〕如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB边的中点，F是线段BC边上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，那么B′D的最小值是.　

简析：

E为定点，EB′为定长，B′点路径为以E为圆心EB′为半径的圆，作穿心线DE得最小值为

。

〔3〕ΔABC中，AB=4，AC=2，以BC为边在ΔABC外作正方形BCDE，BD、CE交于点O，那么线段AO的最大值为.

简析：

先确定A、B点的位置，因AC=2，所以C点在以A为圆心，2为半径的圆上；因点O是点C以点B为中心顺时针旋转45度并1：

√2缩小而得，所以把圆A旋转45度再1：

缩小即得O点路径。

如以下图，转化为求定点A到定圆F的最长路径，即AF+FO=3

。

二定线+定角

1.依据：

与一条定线的两端夹角一定的动点路径是以定线为弦，定角为圆周角的弧。

2.应用：

〔1〕矩形ABCD中，AB=10，AD=4，点P是CD上的动点，当∠APB=90°时求DP的长.　

简析：

AB为定线，∠APB为定角〔90°〕，P点路径为以AB为弦〔直径〕的弧，如以下图，易得DP为2或8。

〔2〕如图，∠XOY=45°，等边三角形ABC的两个顶点A、B分别在OX、OY上移动，AB=2，那么OC的最大值为.

简析：

AB为定线，∠XOY为定角，O点路径为以AB为弦所含圆周角为45°的弧，如以下图，转化为求定点C到定圆M的最长路径，即CM+MO=

+1+

。

〔3〕A〔2，0〕，B〔4，0〕是x轴上的两点，点C是y轴上的动点，当∠ACB最大时，那么点C的坐标为_____．

简析：

作ΔABC的处接圆M，当∠ACB最大时，圆心角∠AMB最大，当圆M半径最小时∠AMB最大，即当圆M与y轴相切时∠ACB最大。

如以下图，易得C点坐标为〔0，2

〕或〔0，-2

〕。

〔4〕如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax^2-3ax-4a的图象经过点C（0,2）,交轴于点A、B，（A点在点左侧）,顶点为D.

①求抛物线的解析式及点A、B的坐标;

②将ΔABC沿直线BC对折,点A的对称点为A',试求A'的坐标;

③抛物线的对称轴上是否存在点P,使∠BPC=∠BAC.假设存在,求出点P的坐标;假设不存在,请说明理由.

简析③：

定线BC对定角∠BPC=∠BAC，那么P点在以BC为弦的双弧上〔关于BC对称〕，如以下图所示。

三三点定圆

1.依据：

不在同一直线上的三点确定一个圆。

2.应用：

ΔABC中，∠A＝45°，AD⊥BC于D，BD=4，CD=6，求AD的长。

简析：

作ΔABC的外接圆，如以下图，易得AD=7+5=12。

四四点共圆

1.依据：

对角互补的四边形四个顶点共圆〔或一边所对两个角相等〕。

2.应用：

如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P、E分别是线段AC、BC上的点，四边形PEFD为矩形，假设AP=2，求CF的长。

简析：

因∠PEF=∠PDF=∠DCE=90°，知D、F、C、E、P共圆，如以下图，由∠1=∠2、∠4=∠5，易得ΔAPD∼ΔDCF，CF：

AP＝CD：

AD，得CF＝1.5。

五旋转生圆

1.如图，圆O的半径为5，A、B是圆上任意两点，且AB=6，以为AB边作正方形ABCD〔点D、P在直线两侧〕，假设AB边绕点P旋转一周，那么CD边扫过的面积为_____。

简析：

CD旋转一周扫过的图形可以用两点确定，一是最远点距离为PC，二是最近点距离为P到直线CD的垂线段，从而确定两个圆，CD即为两圆之间的圆环，如以下图。

2.如图，在ΔABC中，∠BAC=90°，AB=5cm，AC=2cm，将ΔABC绕顶点C按顺时针方向旋转至ΔA'B'C的位置，那么线段AB扫过区域的面积为_____。

简析：

扫过的阴影局部旋转拼合成如下圆心角为45度的扇环。

六动圆综合

1.动圆+定弦：

依据直径是圆中最长的弦，知此弦为直径时，圆最小。

如图,△ABC中,∠ABC＝90°,AB＝6,BC＝8,O为AC的中点,过O作OE⊥OF,OE、OF分别交射线AB、BC于E、F,那么EF的最小值为.

简析：

图中显然O、E、F、B共圆，圆是动的，但弦BO＝5，当BO为直径时最小，所以EF最小为5.

2.动圆+定线：

相切时为临界值。

如图,Rt△ABC中,∠C＝90°,∠ABC＝30°,AB＝6,点D在AB边上,点E是BC边上一点（不与点B、C重合）,且DA＝DE,那么AD的取值围是。

简析：

因DA=DE，可以D点为圆心以DA为半径作圆，那么圆D与BC相切时，半径DE最小。

E向B点移动半径增大直至D到B处〔不含B点〕，得2≤AD<3。

3.动弦+定角：

圆中动弦所对的角一定，那么当圆的直径最小时此弦长最小。

：

△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，D、E分别为AB、AC边上的一个动点，过D分别作DF⊥AC于F，DG⊥BC于G，过E作EH⊥AB于H，EI⊥BC于I，连FG、HI，

求证：

FG与HI的最小值相等。

简析：

可以看HI何时最小，因B、H、E、I共圆，且弦HI所对圆周角一定，所以当此圆直径最小时弦HI最小，即当BE最小时，此时BE⊥AC，解△OHI可得HI的最小长度。

同样可求FG的最小长度。

此题可归纳一般结论：

当∠ABC=α，∠ACB=β，BC=m时，FG和HI的最小值均为m*sinα*sinβ。

达标测试：

1.BC＝AC＝6，∠BCA＝90°，∠BDC＝45°，AD＝2，求BD.

2.如图，将线段AB绕点A逆时针旋转60°得到线段AC，继续旋转α〔0°＜α＜120°〕得到线段AD，连接CD，BD，那么∠BDC的度数为.

3.如图，在边长为2√3的等边△ABC中，动点D、E分别在BC、AC边上，且保持AE=CD，连接BE、AD，相交于点P，那么CP的最小值为____.

4.如图，E是正方形ABCD的边AB上的一点，过点E作DE的垂线交∠ABC的外角平分线于点F，求证：

FE＝DE.

5.当你站在博物馆的展厅中时，你知道站在何欣赏最理想吗.如图，设墙壁上的展品最高点P距离地面2.5米，最低点Q距地面2米，观察者的眼睛E距地面1.6米，当视角∠PEQ最大时，站在此处欣赏最理想，那么此时E到墙壁的距离为米.

6.如图直线y=x+2分别与x轴，y轴交于点M、N，边长为1的正方形OABC的一个顶点O在坐标系原点，直线AN与MC交于点P，假设正方形OABC绕点O旋转一周，那么点P到点〔0,1〕长度的最小值是____.

2021•填压〕如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点F在边AC上，并且CF＝2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，那么点P到边AB距离的最小值是．

【分析】如图，延长FP交AB于M，当FP⊥AB时，点P到AB的距离最小，利用△AFM∽△ABC，得到

＝

求出FM即可解决问题．

【解答】解：

如图，延长FP交AB于M，当FP⊥AB时，点P到AB的距离最小．〔点P在以F为圆心CF为半径的圆上，当FP⊥AB时，点P到AB的距离最小〕

∵∠A＝∠A，∠AMF＝∠C＝90°，

∴△AFM∽△ABC，

∴

＝

，

∵CF＝2，AC＝6，BC＝8，

∴AF＝4，AB＝

＝10，

∴

＝

，

∴FM＝3.2，

∵PF＝CF＝2，

∴PM＝1.2

∴点P到边AB距离的最小值是1.2．

故答案为1.2．

〔2021•填空倒2〕如图，▱OABC的顶点A、C分别在直线x＝1和x＝4上，O是坐标原点，那么对角线OB长的最小值为．

【分析】过点B作BD⊥直线x＝4，交直线x＝4于点D，过点B作BE⊥x轴，交x轴于点E．那么OB＝

．由于四边形OABC是平行四边形，所以OA＝BC，又由平行四边形的性质可推得∠OAF＝∠BCD，那么可证明△OAF≌△BCD，所以OE的长固定不变，当BE最小时，OB取得最小值，从而可求．

【解答】解：

过点B作BD⊥直线x＝4，交直线x＝4于点D，过点B作BE⊥x轴，交x轴于点E，直线x＝1与OC交于点M，与x轴交于点F，直线x＝4与AB交于点N，如图：

∵四边形OABC是平行四边形，

∴∠OAB＝∠BCO，OC∥AB，OA＝BC，

∵直线x＝1与直线x＝4均垂直于x轴，

∴AM∥，

∴四边形ANCM是平行四边形，

∴∠MAN＝∠NCM，

∴∠OAF＝∠BCD，

∵∠OFA＝∠BDC＝90°，

∴∠FOA＝∠DBC，

在△OAF和△BCD中，

，

∴△OAF≌△BCD．

∴BD＝OF＝1，

∴OE＝4+1＝5，

∴OB＝

．

由于OE的长不变，所以当BE最小时〔即B点在x轴上〕，OB取得最小值，最小值为OB＝OE＝5．

故答案为：

5．

〔2021•选压〕如图，矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，点E，F，G，H分别在矩形ABCD各边上，且AE＝CG，BF＝DH，那么四边形EFGH周长的最小值为〔　　〕

A．5

B．10

C．10

D．15

【分析】作点E关于BC的对称点E′，连接E′G交BC于点F，此时四边形EFGH周长取最小值，过点G作GG′⊥AB于点G′，由对称结合矩形的性质可知：

E′G′＝AB＝10、GG′＝AD＝5，利用勾股定理即可求出E′G的长度，进而可得出四边形EFGH周长的最小值．

【解答】解：

作点E关于BC的对称点E′，连接E′G交BC于点F，此时四边形EFGH周长取最小值，过点G作GG′⊥AB于点G′，如以下图．

∵AE＝CG，BE＝BE′，

∴E′G′＝AB＝10，

∵GG′＝AD＝5，

∴E′G＝

＝5

，

∴C四边形EFGH＝2E′G＝10

．

应选：

B．

〔2021•选压〕如图，一次函数y＝2x与反比例函数y＝

〔k＞0〕的图象交于A，B两点，点P在以C〔﹣2，0〕为圆心，1为半径的⊙C上，Q是AP的中点，OQ长的最大值为

，那么k的值为〔　　〕

A．

B．

C．

D．

【分析】作辅助线，先确定OQ长的最大时，点P的位置，当BP过圆心C时，BP最长，设B〔t，2t〕，那么CD＝t﹣〔﹣2〕＝t+2，BD＝﹣2t，根据勾股定理计算t的值，可得k的值．

【解答】解：

连接BP，

由对称性得：

OA＝OB，

∵Q是AP的中点，

∴OQ＝

BP，

∵OQ长的最大值为

，

∴BP长的最大值为

×2＝3，

如图，当BP过圆心C时，BP最长，过B作BD⊥x轴于D，

∵CP＝1，

∴BC＝2，

∵B在直线y＝2x上，

设B〔t，2t〕，那么CD＝t﹣〔﹣2〕＝t+2，BD＝﹣2t，

在Rt△BCD中，由勾股定理得：

BC2＝CD2+BD2，

∴22＝〔t+2〕2+〔﹣2t〕2，

t＝0〔舍〕或﹣

，

∴B〔﹣

，﹣

〕，

∵点B在反比例函数y＝

〔k＞0〕的图象上，

∴k＝﹣

＝

；

应选：

C．

〔2021•〕如图，∠XOY＝60°，点A在边OX上，OA＝2．过点A作AC⊥OY于点C，以AC为一边在∠XOY作等边三角形ABC，点P是△ABC围成的区域〔包括各边〕的一点，过点P作PD∥OY交OX于点D，作PE∥OX交OY于点E．设OD＝a，OE＝b，那么a+2b的取值围是．

【分析】作辅助线，构建30度的直角三角形，先证明四边形EODP是平行四边形，得EP＝OD＝a，在Rt△HEP中，∠EPH＝30°，可得EH的长，计算a+2b＝2OH，确认OH最大和最小值的位置，可得结论．

【解答】解：

过P作PH⊥OY交于点H，

∵PD∥OY，PE∥OX，

∴四边形EODP是平行四边形，∠HEP＝∠XOY＝60°，

∴EP＝OD＝a，

Rt△HEP中，∠EPH＝30°，

∴EH＝

EP＝

a，

∴a+2b＝2〔

a+b〕＝2〔EH+EO〕＝2OH，

当P在AC边上时，H与C重合，此时OH的最小值＝OC＝

OA＝1，即a+2b的最小值是2；

当P在点B时，OH的最大值是：

1+

＝

，即〔a+2b〕的最大值是5，

∴2≤a+2b≤5．

〔2021•〕如图，AB＝8，P为线段AB上的一个动点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE，点P，C，E在一条直线上，∠DAP＝60°．M，N分别是对角线AC，BE的中点．当点P在线段AB上移动时，点M，N之间的距离最短为〔结果留根号〕．

【分析】连接PM、PN．首先证明∠MPN＝90°设PA＝2a，那么PB＝8﹣2a，PM＝a，PN＝

〔4﹣a〕，构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；

【解答】解：

连接PM、PN．

∵四边形APCD，四边形PBFE是菱形，∠DAP＝60°，

∴∠APC＝120°，∠EPB＝60°，

∵M，N分别是对角线AC，BE的中点，

∴∠CPM＝

∠APC＝60°，∠EPN＝

∠EPB＝30°，

∴∠MPN＝60°+30°＝90°，

设PA＝2a，那么PB＝8﹣2a，PM＝a，PN＝

〔4﹣a〕，

∴MN＝

＝

＝

，

∴a＝3时，MN有最小值，最小值为2

，

故答案为2

．