北师大版初中数学利用三角形全等测距离 教案.docx

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北师大版初中数学利用三角形全等测距离教案

5　利用三角形全等测距离

能利用三角形的全等解决实际生活中的“不可测距离”问题,体会数学与实际生活的联系,培养思维的逻辑性和发散性.

通过让学生体会教科书中提供的情境,明白具体做法,并尝试思考其中的道理,体会数学与实际生活的联系.

通过生动、有趣、现实的例子激发学生的兴趣,引发他们去思考,并能在利用三角形全等解决实际问题的过程中进行有条理的思考和表达.

【重点】　构造全等三角形,将实际问题转化为数学问题.

【难点】　能用所学的知识设计可行的测量方案.

【教师准备】　多媒体课件.

【学生准备】　预习教材P108~109.

导入一:

　　[过渡语]　同学们对全等三角形的知识掌握得真棒.表扬大家一下,老师给大家讲个战争故事!

在抗日战争期间,为了炸毁与我军阵地隔河相望的日军的碉堡,需要测出我军阵地到日军碉堡的距离.既不能过河测量又没有任何测量工具,我八路军战士为此绞尽脑汁,这时一位聪明的八路军战士想出了一个办法,为成功炸毁碉堡立了一功.这位聪明的八路军战士的方法如下:

他面向碉堡的方向站好,然后调整帽子,使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部;然后,他转过一个角度,保持刚才的姿势,这时,视线落在了自己所在岸的某一点上;接着,他用步测的办法量出自己与那个点的距离,这个距离就是他与碉堡的距离.

提问:

你相信这个故事中的测量方法能够测量出我军与碉堡的距离吗?

师:

这节课我们就来研究如何“变不可测距离为可测距离”.

[设计意图]　用真实的故事引入新课,适时地提问,激发了学生的求知欲和好奇心,有不同意见时正好可以组织学生体验战士的测量方法,感受数学与现实生活的联系,以轻松、愉快的心态进入探究新知的过程.

导入二:

　　[过渡语]　同学们,前面我们已经学过了全等三角形的性质和三角形全等的条件,请完成下面的填空.

（多媒体展示）

1.全等三角形的性质:

两三角形全等,对应边　　　　,对应角　　　　. 

2.如图所示,△ADC≌△CBA,那么∠ABC=　　　　,AB=　　　　. 

3.如图所示,已知OA=OD,要使△OAB≌△ODE,只需添加一个条件是:

　　　　. 

[处理方式]　第1,2题学生独立思考后回答.在回答第3题时,让学生抢答,提高学生竞争意识,提高了学习热情,同时要求学生说出依据.教师及时给予评价.

【参考答案】

1.相等　相等

2.∠CDA　CD

3.OB=OE（依据SAS）（或∠A=∠D（依据ASA）或∠B=∠E（依据AAS））

[设计意图]　通过3个题温习与本节有关的知识,帮助基础较弱或掌握不牢的学生巩固旧知识,使学生产生自信,开始在不知不觉中集中精力,走入数学殿堂.同时这也为本节课的学习做好理论铺垫.

　　[过渡语]　同学们,想一想,这个故事中的测量方法能够测量出我军与碉堡的距离吗?

探究活动1　探究引例

思路一

分组活动,亲自体验这位战士的测量方法:

一、三组在教室前走廊,其他组在室内,五组在黑板前.按这位战士的方法,找出走廊或教室中与你距离相等的两个点.在活动时,可用手掌或一个书本代替“帽檐”（师演示）,先确定好一个目标,再调整“帽檐”,使视线通过“帽檐”望去时恰好落在这个目标上,然后保持“帽檐”不动,转过一个角度再望出去,视线所落的位置即为第二个目标,最后大家利用步测等方法测出两个目标与你的距离,验证这位战士做法的合理性,并讨论交流解释其中的道理.

提问:

1.同学们找到与你距离相等的两个点了吗?

这位战士的做法合理吗?

2.你能解释其中的道理吗?

生1:

找到了.这位战士的做法是合理的,这样可以估测出我军阵地到鬼子碉堡的距离.

生2:

（展示）这种方法实际上应用了全等三角形的知识.可用图来表示:

AC,EF表示这位战士,点B,D分别表示碉堡、岸上的某一点,由于身体与地面是垂直的,所以∠C=∠F=90°,因为视线是通过“帽檐”看目标的,“帽檐”保持不动,所以∠A=∠E,又AC=EF,即△ABC和△EDF中,

所以△ABC≌△EDF（ASA）,所以BC=DF（全等三角形对应边相等）.

师:

解释得真好.这位战士测距离时用到了三角形全等的知识,从而“变不可测距离为可测距离”.

[设计意图]　学生对于情境中战士的做法比较陌生,通过角色模拟的方法进行体验,让学生对战士的测量方法有一个直观理解,进而思索其中的道理.在操作验证过程中培养合作参与精神和严谨的学习态度.鼓励学生自己说明理由,锻炼数学思考能力和有条理的语言表达能力.

思路二

　　[过渡语]　同学们,自主学习教材第108页,想一想之前战士测碉堡距离的方法,并解释其中的道理.

[处理方式]　学生自主学习,先独立思考体会问题情境,明白战士的具体做法,对战士的测量有直观的理解;然后在小组间相互交流看法.教师要巡回指导,帮助学生审题,引发学生思考,让学生有主动尝试利用三角形全等来解决实际问题的欲望.

提问1:

哪位同学能根据你的理解情况,用太阳帽来把战士的做法演示一遍?

学生演示:

先在教室中选择适当的位置站好,再选择目标,利用课前准备的太阳帽进行演示,通过测量来验证战士的做法的合理性.

提问2:

你认为战士的做法合理吗?

多媒体出示测碉堡距离过程简图:

哪位同学能说一说战士的做法为什么合理?

在测量的过程中,战士的视线与身体的夹角不变、身高不变、身体垂直地面.战士的方法可用这个图来表示:

（借助实物投影仪展示）

AC,A'C'表示某一个人站的位置,点B,点B'分别表示第一目标、第二目标.则在△ABC和△A'B'C'中,因为

所以△ABC≌△A'B'C',所以BC=B'C'.

师总结:

这位战士测距离时利用帽檐,以俯视角度不变,构造了全等三角形,从而解决了棘手的问题,由此可见三角形全等在实际生活中应用是多么重要.

[设计意图]　让学生主动参与,积极思考,在操作过程中培养合作交流精神和严谨的学习态度.在鼓励学生的过程中,锻炼了他们的数学思考能力和语言表达能力,形成了良好的学习氛围.

　　[过渡语]　三角形全等在实际生活中应用非常广泛,下面我们来看下面的问题.

探究活动2　测池塘两端的距离

小丽和朋友们在上周末游览风景区时,看到了一个美丽的池塘,他们想知道最远两点A,B之间的距离,但是没有船,不能直接去测.手里只有一根绳子和一把尺子,他们怎样才能测出A,B之间的距离呢?

请你设计一个可行的方案,画出设计图形,写出设计方案,并说明理由.

[处理方式]　学生独立思考,小组交流探讨;教师巡视指导,特别关注有困难的学生此时是否积极参与,教师在黑板上画几个池塘图案备学生展示用.

下面请同学们到黑板上展示讲解你的方案.

展示1:

如图所示,在陆地上取一个可以直接到达A和B的点C,连接AC并延长到D,使CD=AC;连接BC并延长到E,使CE=CB,连接DE并测量出它的长度即为AB的长.

理由:

在△ABC和△DEC中,

所以△ABC≌△DEC（SAS）,

所以AB=DE（全等三角形对应边相等）.

展示2:

如图所示,先作三角形ABC,再找一点D,使AD∥BC,并使AD=BC,连接CD,量CD的长即得AB的长.

理由:

在△ABC和△CDA中,

所以△ABC≌△CDA（SAS）,

所以AB=DC（全等三角形对应边相等）.

展示3:

如图所示,找一点D,使AD⊥BD,延长AD至C,使CD=AD,连接BC,量BC的长即得AB的长.

理由:

在△ABD和△CBD中,

所以△ABD≌△CBD（SAS）,所以AB=BC（全等三角形对应边相等）.

展示4:

如图所示,在地面上找到点E使EB⊥AB,延长BE到D,使ED=BE,过D作BD的垂线与AE的延长线交于C,量DC的长即得AB的长.

理由:

在△ABE和△CDE中,

所以△ABE≌△CDE（ASA）,所以AB=DC（全等三角形对应边相等）.

师:

前面四位同学展示的方案都是可行的,所用方法有延长全等法、平行全等法、垂直全等法.并且在解决问题的过程中的思考和表达非常有条理.

[设计意图]　没有按照书上的“给出解决方案,说明理由”,而是让学生“自主解决问题,说明理由”,把课堂还给学生,把问题交给学生,鼓励学生通过积极探索、讨论找出解决方案,通过合作从不同的角度得出不同的测量方法.让学生懂得情境中使用的方法虽然是一种估测,不是准确值,但却是解决问题的好方法.通过活动学生将会感受到成功的喜悦,培养了学生解决问题的意识和能力.

[知识拓展]　利用三角形全等测距离的一般步骤:

（1）先明确实际问题可以由哪些知识来解决.

（2）根据实际问题抽象出图形.

（3）结合图形和题意分析已知条件,由已知想未知.

（4）找到已知与未知的关系,寻求恰当的解决途径,并表述清楚.

1.测量不能直接到达的两点间的距离.

2.测量观察点所处位置之外的两点间的距离.

1.如图所示,山脚下有A,B两点,要测出这两点间的距离.在地上取一个可以直接到达A,B两点的点O,连接AO并延长到C,使AO=CO,连接BO并延长到D,使BO=DO,连接CD.可以证△ABO≌△CDO,得CD=AB,因此,测得CD的长就是AB的长.判定△ABO≌△CDO的理由是（　　）

A.SSSB.ASA

C.AASD.SAS

解析:

由AO=CO,BO=DO,∠AOB=∠COD,可知△ABO≌△CDO（SAS）.故选D.

2.如图所示,要测量河两岸相对的两点A,B的距离,先在AB的垂线BF上取两点C,D,使CD=BC,再作出BF的垂线DE,可以证明△EDC≌△ABC,得ED=AB,因此,测得ED的长就是AB的长.判定△EDC≌△ABC的理由是（　　）

A.SSSB.ASA

C.SSAD.SAS

解析:

由∠ACB=∠ECD,CD=BC,∠ABC=∠CDE,可知△EDC≌△ABC（ASA）.故选B.

3.如图所示,工人师傅要检查人字梁的∠B和∠C是否相等,但他手边没有量角器,只有一个刻度尺.他是这样操作的:

①分别在BA和CA上取BE=CG;

②在BC上取BD=CF;

③量出DE的长a米,FG的长b米.

如果a=b,则说明∠B和∠C是相等的,他的这种做法合理吗?

为什么?

解:

这种做法合理.

理由:

在△BDE和△CFG中,

所以△BDE≌△CFG（SSS）,

所以∠B=∠C.

4.要在池塘两侧A,B两处架桥,需测量A,B两点的距离.如图所示,找一个看得见A,B的点P,连接AP并延长到D,使PA=PD,连接BP并延长到C,使PC=PB,测得CD=35m,就确定了AB也是35m,说明其中的道理.

解:

因为∠APB与∠DPC是对顶角,所以∠APB=∠DPC,又因为PA=PD,PB=PC,所以△APB≌△DPC（SAS）,所以AB=CD=35m（全等三角形对应边相等）.

5　利用三角形全等测距离

探究活动1　探究引例

探究活动2　测池塘两端的距离

一、教材作业

【必做题】

教材第109页习题4.10数学理解第1题.

【选做题】

教材第109页习题4.10数学理解第2题.

二、课后作业

【基础巩固】

1.如图所示,A,B两点分别位于一个池塘的两端,小明想用绳子测量A,B间的距离,但绳子不够长,你能帮他想个主意测量吗?

（1）画出测量图案;

（2）写出测量步骤;

（3）计算A,B间的距离（写出求解或推理过程）.

【能力提升】

2.如图所示,山脚下有A,B两点,要测出A,B两点间的距离.

（1）在地上取一个可以直接到达A,B点的点O,连接AO并延长到C,使AO=CO,你能完成下面的图形吗?

（2）说明你是如何求A,B间的距离的.

【拓展探究】

3.如图所示,小王想测量小口瓶下半部的内径,他把两根长度相等的钢条AA',BB'的中点连在一起,A,B两点可活动,使M,N卡在瓶口的内壁上,A',B'卡在小口瓶下半部的瓶壁上,然后量出AB的长度,就可量出小口瓶下半部的内径,请说明理由.

【答案与解析】

1.解:

（1）测量图如图所示.　

（2）测量方法:

在池塘边上找一点C,连接AC并延长至D,使AC=DC,同样连接BC并延长至E,使BC=EC,则DE=AB,量出DE的长度就是A,B间的距离.　（3）理由:

因为AC=DC,BC=EC,且∠ACB=∠DCE,所以△ACB≌△DCE,所以AB=DE.

2.解:

（1）连接BO并延长至M,使MO=OB,连接MC.　

（2）因为AO=CO,BO=MO,∠AOB=∠COM,所以△AOB≌△COM（SAS）,所以MC=AB.

3.解:

因为△A'OB'≌△AOB,所以AB=A'B'.

1.本节课的教学重点是能利用三角形全等的条件解释生活中的实际问题.教学中先让学生充分发表意见,并给予激励性的评价,培养学生主动运用所学知识寻求发现问题和解决问题的能力.同时适当地把教育激励策略运用于教学活动中,是一种较好的育人艺术.

2.在本节课里,首先创设了一个“现实情境”,使学生的练习具有“真实”地解决问题的意味,然后用角色模拟的方法进行自由而舒畅的交流活动.通过这样的交流,可以激发学生的好奇心和求知欲,刺激他们思维的多向性与逻辑性,同时也培养了学生倾听别人思路、拓展自己思维、修正自己不足的良好习惯,使他们在积极的互动中掌握知识,发展分析问题、解决问题的能力.注重教学中师生间的对话、教师对学生的引导,以及及时的反馈与评价.

大部分学生能利用三角形的全等解决实际问题,但对解决问题的过程中进行有条理的思考和表达较薄弱.

注意时间的把握,应给学生充分的思考时间,题的难易程度不同,使用时间应不同,交流中及时发现问题并解决,力争课堂更具效果.

习题4.10（教材第109页）

知识技能

1.解:

如图所示,选一个可以直接到达A,B两点的O点,连接AO,BO并延长,使OC=OA,OD=OB,测出CD的长,就是A,B间的距离.理由如下:

因为OA=OC,∠AOB=∠COD,OB=OD,所以△AOB≌△COD,所以AB=CD.

数学理解

2.解:

设AB,CD相交于点O,则OA=OB,∠AOC=∠BOD,OC=OD,所以△OAC≌△OBD,所以AC=BD.

3.解:

道理是构造两个全等的三角形,根据全等三角形的对应边相等就可得到所要测的距离.在估测不能直接到达的两点间的距离时可以用到这种方法.

复习题（教材第110页）

知识技能

1.解:

因为三角形的内角和等于180°,所以一个三角形中不可能有两个直角,一个三角形的三个内角不能都大于70°,也不能都小于50°.

2.解:

设这两个锐角都为x°,则90°+2x°=180°,解得x=45,所以这两个锐角都是45°.

3.解:

（1）因为△ADB≌△EDB,所以∠ABD=∠EBD,即BD是∠ABE的平分线.　

（2）因为△BDE≌△CDE,所以∠BED=∠CED=90°,又B,E,C在一条直线上,所以DE⊥BC.　（3）因为△BDE≌△CDE,所以BE=EC,又B,E,C在一条直线上,所以点E平分线段BC.

4.解:

△BED≌△CFD.理由如下:

在△BED和△CFD中,∠BED=CFD,DE=DF,∠BDE=∠CDF,所以△BED≌△CFD（ASA）.

6.解:

BC=EF.理由如下:

因为BE=CF,所以BE+EC=CF+EC,即BC=EF.△ABC≌△DFE.理由如下:

因为AB=DF,AC=DE,BC=FE,所以△ABC≌△DFE.

7.解:

全等.理由如下:

因为∠BAE=∠DAC,所以∠BAC=∠DAE.在△ABC和△ADE中,

所以△ABC≌△ADE.

数学理解

8.解:

不一定全等.例如:

如图所示,两个三角形的面积相等,但不全等.

9.∠CBD=∠BCA（答案不唯一）

10.提示:

共有

（1）3cm,5cm,7cm,

（2）3cm,7cm,9cm,（3）3cm,5cm,9cm,（4）5cm,7cm,9cm四种可能,但（3）不能组成三角形.

11.解:

在△OPE和△OPD中,因为

所以△OPE≌△OPD,所以∠POE=∠POD,即OP平分∠AOB.

12.解:

因为△ABC≌△EFD,所以∠B=∠F,∠ACB=∠EDF.所以AB∥FE,AC∥DE.

13.提示:

根据“SSS”,得△O'C'D'≌△OCD,故∠D'O'C'=∠DOC（全等三角形的对应角相等）.

问题解决

14.解:

+

=

.因为能够重合的图形是全等图形,且全等图形的面积相等.

15.提示:

方法有很多种,可任选两种.如图所示.

17.解:

延长BC交AD于E,则∠AEB=180°-∠A-∠B=180°-90°-20°=70°,所以∠DEC=180°-70°=110°,因为∠DCB=142°,所以∠ECD=180°-142°=38°,所以∠D=180°-∠DEC-∠DCE=180°-110°-38°=32°≠30°,所以零件不合格.

18.解:

一样.因为AC∥A'C',所以∠C=∠C'.在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,因为

所以△ABC≌△A'B'C'（AAS）.所以BC=B'C'.

　如图所示,小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M,N的距离,如果△PQO≌△NMO,则只需测出其长度的线段是（　　）

A.POB.PQC.MOD.MQ

〔解析〕　全等三角形的对应边相等,因为△PQO≌△NMO,所以MN=PQ,只需测得PQ的长.故选B.

[解题策略]　本题考查了三角形的全等应用,解题的关键是如何将实际问题与数学知识联系在一起.