第十三章轴对称 导学案Word文档格式.docx

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3．下图中哪两个图形放在一起成轴对称B与F，C与D．

4．轴对称与轴对称图形有什么区别与联系？

答：

区别为轴对称是指两个图形沿对称轴折叠后重合，而轴对称图形是指一个图形的两部分沿对称轴折叠后能完全重合；

联系是都有对称轴、对称点和两部分完全重合的特性．

小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．（10分钟）

探究1　下列图形是轴对称图形吗？

如果是，指出轴对称图形的对称轴．

①等边三角形；

②正方形；

③圆；

④平行四边形．

解：

①等边三角形的对称轴为三条中线所在的直线；

②正方形的对称轴为两条对角线所在的直线和两组对边中点所在的直线；

③圆的对称轴为过圆心的直线．

点拨精讲：

对称轴是一条直线．

探究2　如图，△ABC和△ADE关于直线l对称，若AB＝2cm，∠C＝80°

，则AE＝2_cm，∠D＝80°

．

根据成轴对称的两个图形全等，再根据全等的性质得到对应线段相等，对应角相等．

学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．（5分钟）

1．指出下列哪组图形是轴对称，并指出对称轴．

①任意两个半径相等的圆；

②正方形的一条对角线把一个正方形分成的两个三角形；

③长方形的一条对角线把长方形分成的两个三角形．

①两圆心所在的直线和连接两圆心的线段的垂直平分线；

②正方形两条对角线所在的直线；

③不是轴对称关系．

是不是轴对称看是否能沿某条直线折叠后重合．

2．下列两个图形是轴对称关系的有A，B，C.

3．如图，在网格中，由个数相同的白色方块与黑色方块组成一幅图案，请仿照此图案，在旁边的网格中设计出一个轴对称图案．（不得与原图案相同，黑、白方块的个数要相同）

（3分钟）1.可用折叠法判断是否为轴对称图形．

2．多角度、多方法思考对称轴的条数．

3．对称轴是一条直线，一条垂直于对应点连线的直线．

4．轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指一个具有特殊形状的图形．

（学生总结本堂课的收获与困惑）（2分钟）

（10分钟）

13.1.2　线段的垂直平分线的性质

（1）

1．理解线段垂直平分线的性质和判定，并会运用此性质解决问题．

2．会用尺规作图过直线外一点作已知直线的垂线．

重、难点：

线段垂直平分线的性质和判定定理的理解与运用．

自学课本P61页“探究”，理解线段垂直平分线的性质与判定定理，完成下列填空．（5分钟）

1．如图，l⊥AB，垂足为C，AC＝BC，则△PAC≌△PBC，PA＝PB.

2．如图，PA＝PB，若PC⊥AB，垂足为C，则AC＝BC；

若AC＝BC，则PC⊥AB．

（1）线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．

（2）与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．

（3）线段的垂直平分线是到线段两个端点的距离相等的点的集合．

自学课本P62页“例1”，掌握经过已知直线外一点作这条直线的垂线的方法．（5分钟）

如图，A，B，C三点表示三个村庄，为了解决村民子女就近入学的问题，计划新建一所小学，要使学校到三个村庄距离相等，请你在图中确定学校的位置．

①连接AB，AC，BC；

②分别作AC，BC的垂直平分线交于点P，则点P就是所要确定的学校的位置．

此题主要运用了作线段垂直平分线解决问题的方法．

1．课本P62页练习题1，2.

2．下列条件中，不能判定直线MN是线段AB的垂直平分线的是（C）

A．MA＝MB，NA＝NB

B．MA＝MB，MN⊥AB

C．MA＝NA，MB＝NB

D．MA＝MB，MN平分AB

探究1　如图，AB＝AC＝8cm，AB的垂直平分线交AC于D，若△ADB的周长为18，求DC的长．

∵DM是AB的垂直平分线，∴AD＝BD，设CD的长为x，则AD＝AC－CD＝8－x，∵C△ADB＝AB＋AD＋BD＝8＋（8－x）＋（8－x）＝18，∴x＝3，即CD的长为3cm.

由线段垂直平分线的性质得AD＝BD进而求解．

探究2　如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DC⊥AC于C，求证：

直线AD是CE的垂直平分线．

证明：

∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE＝CD，∴点D在CE的垂直平分线上．在Rt△AED与Rt△ACD中，∵AD＝AD，DE＝DC，∴Rt△AED≌Rt△ACD（HL），∴AE＝AC，∴点A在CE的垂直平分线上，∴直线AD是CE的垂直平分线．

证线段垂直平分线的方法1即定义，证垂直平分线的方法2即线段垂直平分线的判定方法．

1．如图，在△ABC中，EF是AC的垂直平分线，AF＝12，BF＝3，则BC＝15.

2．如图，直线AD是线段BC的垂直平分线．求证：

∠ABD＝∠ACD.

∵直线AD是线段BC的垂直平分线，∴AB＝AC，DB＝DC.在△ABD与△ACD中

∴△ABD≌△ACD（SSS），∴∠ABD＝∠ACD.

3．在锐角△ABC内一点P满足PA＝PB＝PC，则点P是△ABC（D）

A．三条角平分线的交点

B．三条中线的交点

C．三条高的交点

D．三边垂直平分线的交点

（3分钟）线段的垂直平分线的性质和判定有时是交叉使用，线段垂直平分线的性质是证明线段相等的常用定理．

13．1.2　线段的垂直平分线的性质

（2）

会画轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴．

自学课本P62－63页“思考及例2”，掌握轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴的作法，完成下列填空．（7分钟）

如图，△ABC和△DEF关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？

作线段垂直平分线是根据线段垂直平分线的判定，而作对称轴是根据轴对称的性质作对称轴．

（1）如果两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．

（2）对于轴对称图形，只要找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴．

学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．（8分钟）

1．课本P64页练习题1，2，3.

2．下列图形是不是轴对称图形？

如果是轴对称图形的，画出对称轴的条数．

（略）

3．角、线段、直线、圆、扇形、正方形、等边三角形、直角三角形、等腰梯形和长方形中是轴对称图形的有哪些？

分别有几条对称轴？

轴对称图形有：

角、线段、直线、圆、扇形、正方形、等边三角形、等腰梯形和长方形；

角、扇形、等腰梯形只有1条对称轴，直线、圆有无数条对称轴，正方形有4条对称轴，等边三角形有3条对称轴，长方形、线段有2条对称轴．

小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．（6分钟）

探究1　正三角形有3条对称轴，正方形有4条对称轴，正五边形有5条对称轴，正六边形有6条对称轴，正七边形有7条对称轴（分别画出图形的对称轴）……正n边形有n条对称轴．

探究2　如图是从镜中看到的一串数字，这串数字应为810076．

学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．（9分钟）

1．课本P64－65页复习巩固题1，2，3，7，8.

2．下列轴对称图形中，只有两条对称轴的图形是（A）

3．如图，把一圆形纸片对折后，然后沿虚线剪开，得到两部分，其中一部分展开后的平面图形是（B）

4．画出下列图形的对称轴．

（3分钟）1.作对称轴的步骤：

先找出任意一对对应点，再作出对应点所连线段的垂直平分线．

2．对称轴是一条直线；

一个图形可能没有对称轴，也可能有很多条，不要多画，也不要漏画．

13.2　画轴对称图形

（1）

了解轴对称变换的意义，能够按要求作出简单平面图形经过一次轴对称变换后的图形．

借助轴对称的意义，画出一个图形关于某一条直线对称的图形．

自学：

自学课本P67－68页“归纳、思考与例1”，会作已知图形关于某条直线对称的图形，能利用轴对称的一些性质设计图案，完成下列填空．（5分钟）

如图，观察下面作线段AB关于直线l对称图形的过程并填空：

几何图形都可以看作由点组成，对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形．

学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．（7分钟）

1．课本P68页练习题1，2.

2．如图，以虚线为对称轴，画出图形的另一半，并说明完成后图形可能代表什么含义．

探究1　如图，已知△ABC，直线MN，求作△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC关于直线MN对称．

如图，①过点A作AD⊥MN于D，延长AD至点A′，使A′D＝AD，得点A关于直线MN的对称点A′；

②同样作出点B，C关于直线MN的对称点B′，C′；

③连接A′B′，B′C′，A′C′，则△A′B′C′就是所求作的三角形．

首先作出点A，B，C关于直线MN的对称点A′，B′，C′，使直线MN为线段AA′，BB′，CC′的垂直平分线，然后连接A′B′，B′C′，A′C′，得△A′B′C′.

探究2　如图在2×

2的正方形格点图中，有一个以格点为顶点的△ABC，请你找出格点图中所有与△ABC成轴对称也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有2个．

学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．（8分钟）

1．如图，把一个正方形纸片按以下方向对折后，沿虚线剪下，再展开，则所得的图形是（D）

2．下列说法正确的是（C）

A．任何一个图形都有对称轴

B．两个全等三角形一定关于某直线对称

C．若△ABC与△ADE成轴对称，则△ABC≌△ADE

D．点A，点B在直线l两旁，且AB与直线l交于点O，若AO＝BO，则点A与点B关于直线l对称

3．如图，如果直线m是多边形ABCDE的对称轴，其中∠A＝130°

，∠B＝110°

，那么∠BCD的度数等于60°

4．如图，是画出的风筝的一半，请将另一半补充完整．

（3分钟）连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分是作轴对称图形的重要依据，作轴对称图形的方法：

①找——在原图形上找特殊点（如线段的端点）；

②作——作各个特殊点关于对称轴的对称点；

③连——依次连接各对称点．

13．2　画轴对称图形

（2）

探索x轴、y轴对称的每对对称点的规律，利用规律作出关于x轴、y轴对称的图形．

用坐标轴表示轴对称．

自学课本P69－70页“思考、例2及归纳”，掌握x轴、y轴对称的每对对称点的规律，完成下列填空．（7分钟）

1．如图，在坐标系中作出B，C两点关于x轴对称的点；

点（x，y）关于x轴的对称点是（x，－y）；

关于x轴对称的点的坐标的特点是：

横坐标相等，纵坐标互为相反数．

2．如图，在坐标系中作出B，C两点关于y轴对称的点．

点（x，y）关于y轴的对称点是（－x，y）；

关于y轴对称的点的坐标的特点是：

纵坐标相等，横坐标互为相反数．

1．课本P70－71页练习题1，2，3.

2．点P（－5，6）关于x轴对称点为Q，则点Q的坐标为（－5，－6）；

点P（－5，6）关于y轴对称点为M，则点M的坐标为（5，6）．

3．点A（2，－3）向上平移6个单位后的点关于x轴对称的点的坐标是（2，－3）．

4．点P（3，4）关于y轴对称的点的坐标是P′（a，b），则a－b＝－7．

5．若点M（a，－5）与点N（－2，b）关于x轴对称，则a＝－2，b＝5；

若这两点关于y轴对称，则a＝2，b＝－5．

探究1　已知点A（－3，2），且点A与点B，点B与点C，点C与点D分别关于x轴、y轴对称．

（1）写出B，C，D的坐标；

（2）问四边形ABCD是什么四边形？

（3）试求四边形ABCD的面积．

（1）点B（－3，－2），点C（3，－2），点D（3，2）；

（2）四边形ABCD是长方形；

（3）S长方形ABCD＝BC·

AB＝4×

6＝24.

探究2　如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别是（－1，5），（－5，3），（－3，－1），作出△ABC关于x轴、y轴的对称图形．

如图，△A1B1C1，△A2B2C2即为所求作的图形．

可先写出各对称点的坐标，再描点画图．

1．由（－1，3）→（－1，－3）经过了关于x轴做轴对称变换；

由（－5，－6）→（－5，－2）经过了关于直线y＝－4做轴对称变换．

2．已知点P（x＋1，2x－1）关于x轴对称的点在第一象限，试化简|x＋2|－|1－x|.

由题意可得

解之得－1＜x＜

，∴x＋2＞0，1－x＞0，∴|x＋2|－|1－x|＝x＋2－（1－x）＝x＋2－1＋x＝2x＋1.

3．如图，点A（4，－1），B（2，－4），C（5，－5）．

（1）作出△ABC关于直线y＝1为对称轴的对称图形△A1B1C1；

（2）写出A，C关于直线x＝－2的对称点A2，C2的坐标，及四边形ACC2A2的面积．

（3分钟）解题时紧紧抓住点关于x轴、y轴和图形关于x轴、y轴对称的规律，弄清规律后就可以轻松解题了．

13．3　等腰三角形

13．3.1　等腰三角形

（1）

1．了解等腰三角形的概念，掌握等腰三角形的性质．

2．运用等腰三角形的概念及性质解决相关问题．

等腰三角形的性质及其应用．

自学课本P75－76页“探究、思考与例1”，掌握等腰三角形的性质并学会运用，完成下列填空．（7分钟）

1．如图，在△ABC中，AB＝AC，标出各部分名称：

2．如图，把一张长方形纸片按图中的虚线对折，剪下阴影部分，再把它展开，得到△ABC，则AB＝AC.

根据轴对称的性质可得以上结论．

（1）等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．

（2）等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．

（3）等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在的直线．

1．课本P77练习题1，2，3.

2．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上．

（1）∵AD⊥BC，∴∠1＝∠2，BD＝CD．

（2）∵AD是中线，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD；

（3）∵AD是角平分线，∴AD⊥BD，BD＝CD．

3．等腰三角形有两条边长为4cm和9cm，则该三角形的周长是22cm.

此题要用到分类思想，但根据三角形三边关系排除一种情况．

4．等腰三角形的一个外角是80°

，则其底角是40°

5．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°

，则其顶角为60°

或120°

此题分为高在三角形的内部和外部两种情况．

探究1　已知△ABC是等腰三角形，且∠A＋∠B＝130°

，求∠A的度数．

①当∠A为顶角时，∵∠A＋∠B＋∠C＝180°

，∠A＋∠B＝130°

，∴∠C＝50°

，∴∠A＝80°

；

②当∠C为顶角时，则∠A＝∠B，∵∠A＋∠B＝130°

∴∠A＝65°

.

解题时应认真审题，分析已知条件，分清是顶角还是底角．

探究2　如图，AB＝AC，BD⊥AC于点D.

求证：

∠BAD＝2∠DBC.

过点A作AE⊥BC于点E，∵AB＝AC，∴∠BAD＝2∠2，∵BD⊥AC于点D，∴∠BDC＝90°

，∴∠2＋∠C＝∠C＋∠DBC＝90°

，∴∠DBC＝∠2，∴∠BAD＝2∠DBC.

利用等腰三角形三线合一的性质求证．

1．等腰三角形的腰长比底边多2cm，并且它的周长为16cm，则它的底边长为4_cm．

2．如图，在△ABC中，D为BC的中点，AB＝AC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，求证：

DE＝DF.

∵AB＝AC，D为BC的中点，∴AD平分∠BAC，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.

（3分钟）在等腰三角形中，常常需要作底边上的高，运用等腰三角形“三线合一”的性质，对于解决所有的问题能起到事半功倍的效果．

13．3.1　等腰三角形

（2）

1．探索等腰三角形的判定方法．

2．掌握等腰三角形性质与判定的综合应用．

等腰三角形判定的应用．

等腰三角形性质与判定的综合应用．

自学课本P77－78页“思考与例2”，掌握等腰三角形判定方法，并能综合运用等腰三角形的有关知识解决问题，完成下列填空．（8分钟）

如图，在△ABC中，∠B＝∠C，求证：

AB＝AC.

方法一：

过点A作AB的垂直平分线AD，垂足为D.

方法二：

作△ABC的角平分线AD.

数学老师说：

方法二是正确的，方法一的作法需要订正．

（1）请你简要说明方法一辅助线作法错在哪里；

（2）根据方法二的辅助线作法，完成证明过程．

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．

1．课本P79页练习题1，2，3，4.

2．在△ABC中，∠A＝80°

，∠B＝50°

，那么△ABC的形状是等腰三角形．

3．如图①，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝3cm，则CD＝3_cm．

4．如图②，AB＝AC，FD⊥BC于D，DE⊥AB于E，若∠AFD＝145°

，则∠EDF＝55°

探究1　如图，OB＝OC，∠ABO＝∠ACO，求证：

连接BC，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵∠ABO＝∠ACO，∴∠ABO＋∠OBC＝∠ACO＋∠OCB，∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC.

通过连接BC，使AB，AC在同一个三角形中，通过证明它们所对的角相等，而证得这两条线段相等．

探究2　如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°

，O为AB的中点，现将一个三角板EGF的直角顶点G放在点O处，把三角板EGF绕点O旋转，EG交边AC于点K，FG交边BC于点H.

（1）请判断△OHK的形状；

（2）求证：

BH＋AK＝AC.

（1）连接OC，∵在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°

，O为AB的中点，∴∠A＝∠B＝∠ACO＝∠BCO＝45°

，∠AOC＝∠BOC＝90°

，∴AO＝CO＝BO，又∠KOH＝90°

，∴∠KOH－∠COH＝∠BOC－∠COH，即∠COK＝∠BOH，在△COK和△BOH中

∵△COK≌△BOH（ASA），∴OK＝OH，∵∠KOH＝90°

，∴△OHK是等腰直角三角形．

（2）证明：

∵△COK≌△BOH，∴CK＝BH，∵CK＋AK＝AC，∴BH＋AK＝AC.

1．如图，∠A＝∠B，CE∥DA，CE交AB于点E.

△CEB是等腰三角形．

∵CE∥DA，∴∠CEB＝∠A，∵∠A＝∠B，∴∠CEB＝∠B，∴CE＝CB，即△CEB是等腰三角形．

2．如图，△ABC中，BA＝BC，点D是AB延长线上一点，DF⊥AC于F且交BC于E.求证：

△DBE是等腰三角形．

∵DF⊥AC，∴∠A＋∠D＝90°

，∠FEC＋∠C＝90°

，∵BA＝BC，∴∠A＝∠C，∴∠D＝∠FEC，∵∠FEC＝∠BED，∴∠D＝∠BED，∴BE＝BD，即△DBE是等腰三角形．

（3分钟）对于判断三角形是否是等腰三角形这一类问题，常常是抓一个三角形有两个角相等，转化到对应的边相等．要善于根据已知条件进行联想，对于复杂的几何图形，可以采用已知条件和结论“两头凑”的方法．

13．3.2　等边三角形

（1）

1．理解并掌握等边三角形的定义．

2．探索等边三角形的性质和判定方法．

等边三角形的性质与判定．

等边三角形的性质与判定的综合应用．

自学课本P79－80页“思考与例4”，理解等边三角形与等腰三角形的关系，掌握等边三角形的性质与判定方法，完成下列填空．（7分钟）

（1）三条边