2421点和圆的位置关系 习题.docx

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2421点和圆的位置关系习题

24.2.1　点和圆的位置关系

知识点1　点与圆的位置关系

1．已知⊙O的半径是3，当OP＝2时，点P在⊙O________；当OP＝3时，点P在⊙O________；当OP＝5时，点P在⊙O________．

2．在同一平面内，⊙O外一点P到⊙O上的点的最大距离为6cm，最小距离为2cm，则⊙O的半径为________cm.

3．如图24－2－1所示，边长为1的正方形ABCD的对角线相交于点O，以点A为圆心，1为半径画圆，则点O，B，C，D中，点________在圆内，点________在圆上，点________在圆外．

图24－2－1

4．已知⊙O的直径为10cm，点P不在⊙O外，则OP的长（　　）

A．小于5cmB．不大于5cm

C．小于10cmD．不大于10cm

5．已知⊙P的半径为5，点P的坐标为（2，1），点Q的坐标为（0，6），则点Q与⊙P的位置关系是（　　）

A．点Q在⊙P外B．点Q在⊙P上

C．点Q在⊙P内D．不能确定

6．在公园的O处附近有E，F，G，H四棵树，位置如图24－2－2所示（图中小正方形的边长均相等）．现计划修建一座以点O为圆心，OA长为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E，F，G，H四棵树中需要被移除的为（　　）

图24－2－2

A．E，F，GB．F，G，H

C．G，H，ED．H，E，F

7．如图24－2－3，已知△ABC，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，以点C为圆心作⊙C，半径为r.

（1）当r在什么取值范围内时，点A，B在⊙C外？

（2）当r在什么取值范围内时，点A在⊙C内，点B在⊙C外？

图24－2－3

知识点2　过已知点作圆

8．过一点可以作________个圆；过两点可以作________个圆，这些圆的圆心在两点连线的____________上；过不在同一直线上的三点可以作________个圆．

9．下列关于确定一个圆的说法中，正确的是（　　）

A．三个点一定能确定一个圆

B．以已知线段为半径能确定一个圆

C．以已知线段为直径能确定一个圆

D．菱形的四个顶点能确定一个圆

10．2017·永州小红不小心把家里的一块圆形玻璃打碎了，需要配制一块同样大小的玻璃镜，工人师傅在一块如图24－2－4所示的玻璃镜残片的边缘描出了点A，B，C，给出三角形ABC，则这块玻璃镜的圆心是（　　）

图24－2－4

A．AB，AC边上的中线的交点

B．AB，AC边上的垂直平分线的交点

C．AB，AC边上的高所在直线的交点

D．∠BAC与∠ABC的平分线的交点

知识点3　三角形的外接圆与外心

11．三角形的外心是三角形____________________的交点，其中直角三角形的外心是________的中点，锐角三角形的外心在三角形的________，钝角三角形的外心在三角形的________．

12．下列图形不一定有外接圆的是（　　）

A．三角形B．正方形

C．平行四边形D．矩形

13．如果点O为△ABC的外心，∠BOC＝70°，那么∠BAC等于（　　）

A．35°B．110°

C．145°D．35°或145°

14．在△ABC中，点O是它的外心，BC＝24cm，点O到BC的距离是5cm，则△ABC的外接圆的半径为________．

知识点4　反证法

15．如图24－2－5，已知E为直线l外一点，求证：

过点E只有一条直线垂直于直线l.用反证法证明这个命题的步骤如下：

①在△EFG中，∠1＋∠2＋∠3>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾；

②假设过点E有两条直线EF，EG分别垂直于直线l于F，G两点；

③则∠2＝90°，∠3＝90°；

④故过点E只有一条直线垂直于直线l.

图24－2－5

证明步骤的正确顺序是（　　）

A．①②③④B．①③②④

C．②③①④D．②③④①

16．用反证法证明：

若∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角，则其中至少有一个角不大于60°.

17．在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，则这个三角形的外接圆直径为（　　）

A．5B．10

C．5或4D．10或8

18．在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为2，当点B在⊙A内时，实数a的取值范围在数轴上表示正确的是（　　）

图24－2－6

19．如图24－2－7，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（2，1），点C的坐标为（2，－3），经画图操作，可知△ABC的外心的坐标应是（　　）

图24－2－7

A．（0，0）B．（1，0）

C．（－2，－1）D．（2，0）

20.如图24－2－8，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A，B，C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是________．

图24－2－8

21．如图24－2－9，在△ABC中，∠BAC＝70°，AB＝AC，O为△ABC的外心，△OCP为等边三角形，OP与AC相交于点D，连接OA.

（1）求∠OAC的度数；

（2）求∠AOP的度数．

图24－2－9

22．已知：

如图24－2－10①，△ABC中，BA＝BC，D是平面内不与点A，B，C重合的一点，∠ABC＝∠DBE，BD＝BE.

（1）求证：

△ABD≌△CBE；

（2）如图②，当点D是△ABC的外接圆圆心时，请判断四边形BECD的形状，并证明你的结论．

图24－2－10

教师详解详析

1．内　上　外

2．2　[解析]∵在同一平面内，⊙O外一点P到⊙O上的点的最大距离为6cm，最小距离为2cm，∴⊙O的直径为6－2＝4（cm），∴⊙O的半径为2cm.

3.O　B，D　C　[解析]∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD，OA＝OB＝OC＝OD.

设OA＝OB＝x.

由勾股定理，得OA2＋OB2＝AB2，

即x2＋x2＝12，解得x＝

（负值已舍去），

∴OA＝

＜1，AC＝

＞1.

∴点O在圆内，点B，D在圆上，点C在圆外．

4．B　[解析]∵⊙O的直径为10cm，

∴⊙O的半径为5cm.

∵点P不在⊙O外，∴点P在圆上或圆内，

∴OP≤5cm.

5．A　[解析]∵PQ＝

＝

＞5，∴点Q在⊙P外．

6．A　[解析]∵OA＝

＝

，OE＝2＜OA，∴点E在⊙O内；∵OF＝2＜OA，∴点F在⊙O内；∵OG＝1＜OA，∴点G在⊙O内；∵OH＝

＝2

＞OA，∴点H在⊙O外．

7．解：

（1）当0

（2）当3

8．无数　无数　垂直平分线　一

9．C　[解析]选项A中，在同一直线上的三点不能确定一个圆，故A错误．选项B中，以已知线段为半径能确定两个圆，即分别以线段的两个端点为圆心，故B错误．选项C中，以已知线段为直径能确定一个圆，此时圆心为线段的中点，半径为线段长度的一半，故C正确．选项D中，菱形的四个顶点不一定能确定一个圆，故D错误．故选C.

10．B　[解析]本题实质上是要确定三角形外接圆的圆心，三角形外接圆的圆心是三条边的垂直平分线的交点．故选B.

11．三条边的垂直平分线　斜边　内部　外部

12．C　[解析]任意三角形都有一个外接圆；正方形有一个外接圆，圆心是对角线的交点；矩形有一个外接圆，圆心是对角线的交点；在一般的平行四边形内部找不到一个点到四个顶点的距离相等，所以一般的平行四边形没有外接圆．故选C.

13．D　[解析]①当点O在三角形的内部时，则∠BAC＝

∠BOC＝35°；

②当点O在三角形的外部时，则∠BAC＝

（360°－70°）＝145°.

14．13cm　[解析]当点O在△ABC内部时，如图．

∵点O为△ABC的外心，OD⊥BC，

∴BD＝

BC＝12cm.又∵OD＝5cm，∴由勾股定理，得OB＝

＝

＝13（cm），

∴△ABC的外接圆的半径是13cm.

（注：

点O在△ABC外部的情况类似，求出的△ABC的外接圆的半径也是13cm）

15．C

16．证明：

假设∠A，∠B，∠C都大于60°，则有∠A＋∠B＋∠C>180°，

这与三角形内角和为180°相矛盾，

因此假设不成立，即∠A，∠B，∠C中至少有一个角不大于60°.

17．D　[解析]直角三角形外接圆的直径是斜边，应分两种情况：

当BC是斜边时，这个三角形的外接圆直径为8；当AC是斜边时，AC＝

＝

＝10，则这个三角形的外接圆直径为10.故选D.

18．D　[解析]由于圆心A在数轴上所表示的实数为3，圆的半径为2，∴⊙A与数轴交于1，5所表示的两点，故当a取1，5时，点B在⊙A上；当d＜r，即当1＜a＜5时，点B在⊙A内；当d＞r，即当a＜1或a＞5时，点B在⊙A外．故选D.

19．C　[解析]如图，∵△ABC的外心即为三角形三边垂直平分线的交点，

∴AB边的垂直平分线MN与BC边的垂直平分线EF的交点O′即为△ABC的外心，∴△ABC的外心的坐标是（－2，－1）．故选C.

20．3＜r＜5

[解析]如图，连接BD，在矩形ABCD中，AD＝3，CD＝AB＝4，在Rt△ABD中，BD＝

＝

＝5，∴AD＜CD＜BD.若点A一定在圆内，则r＞3；若点B一定在圆外，则r＜5，故r的取值范围为3＜r＜5.

21．解：

（1）∵O为△ABC的外心，∠BAC＝70°，AB＝AC，

∴∠OAC＝35°（AO垂直平分BC，等腰三角形的三线合一）．

（2）∵O为△ABC的外心，

∴AO＝CO，

∴∠OAC＝∠OCA＝35°，

∴∠AOC＝110°.

∵△OCP为等边三角形，

∴∠POC＝60°，

∴∠AOP＝∠AOC－∠POC＝50°.

22．解：

（1）证明：

∵∠ABC＝∠DBE，

∴∠ABC＋∠CBD＝∠DBE＋∠CBD，即∠ABD＝∠CBE.

又∵BA＝BC，BD＝BE，

∴△ABD≌△CBE（SAS）．

（2）四边形BECD是菱形．

证明：

同

（1）可证△ABD≌△CBE，

∴CE＝AD.

∵点D是△ABC的外接圆圆心，

∴AD＝BD＝CD.

又∵BD＝BE，

∴BD＝BE＝CE＝CD，

∴四边形BECD是菱形．