第2章 平面力系18.docx

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第2章平面力系18

第2章平面力系18

2.1平面汇交力系的简化与平衡方程18

2.2力对点之矩合力矩定理22

2.3力偶及其性质25

2.4平面力偶系的合成与平衡方程27

2.5平面一般力系的简化与平衡方程28

2.6物体系统的平衡35

*附录Ⅱ：

机械应用实例44

第2章平面力系

本章主要介绍平面力系的简化与平衡问题，平面状态下物系平衡问题的解法。

按照力系中各力的作用线是否在同一平面内，可将力系分为平面力系和空间力系。

若各力作用线都在同一平面内并汇交于一点，则此力系称为平面汇交力系。

按照由特殊到一般的认识规律，我们先研究平面汇交力系的简化与平衡规律。

2.1平面汇交力系的简化与平衡方程

2.1.1概述

设刚体上作用有一个平面汇交力系F1、F2、…、Fn，各力汇交于A点（图2-1a）。

根据力的可传性，可将这些力沿其作用线移到A点，从而得到一个平面共点力系（图2-1b）。

故平面汇交力系可简化为平面共点力系。

a）b）

图2-1

连续应用力的平行四边形法则，可将平面共点力系合成为一个力。

在图2-1b中，先合成力F1与F2（图中未画出力平行四边形），可得力FR1，即FR1＝F1+F2；再将FR1与F3合成为力FR2，即FR2＝FR1+F3；依此类推，最后可得

FR＝F1+F2+…+Fn＝∑Fi（2-1）

式中FR即是该力系的合力。

故平面汇交力系的合成结果是一个合力，合力的作用线通过汇交点，其大小和方向由力系中各力的矢量和确定。

因合力与力系等效，故平面汇交力系的平衡条件是该力系的合力为零。

2.1.2力在坐标轴上的投影

过F两端向坐标轴引垂线（图2-2）得垂足a、b、a'、b'。

线段ab和a'b'分别为F在x轴和y轴上投影的大小，投影的正负号规定为：

从a到b（或从a'到b'）的指向与坐标轴正向相同为正，相反为负。

F在x轴和y轴上的投影分别计作Fx、Fy，

若已知F的大小及其与x轴所夹的锐角α，则有图2-2

（2-2）

如将F沿坐标轴方向分解，所得分力Fx、Fy的值与在同轴上的投影Fx、Fy相等。

但须注意，

力在轴上的投影是代数量，而分力是矢量，不可混为一谈。

若已知Fx、Fy值，可求出F的大小和方向，即

（2-3）

2.1.3平面汇交力系合成的解析法

设刚体上作用有一个平面汇交力系F1、F2、…、Fn，据式（2-1）有

FR=F1+F2+…+Fn=∑F

将上式两边分别向x轴和y轴投影，即有

（2-4）

式（2-4）即为合力投影定理：

力系的合力在某轴上的投影，等于力系中各力在同一轴上投影的代数和。

若进一步按式（2-3）运算，即可求得合力的大小及方向，即

（2-5）

例2-1一固定于房顶的吊钩上有三个力F1、F2、F3，其数值与方向如图2-3所示。

用解析法求此三力的合力。

图2-3

解：

建立直角坐标系Axy，并应用式（2-4），求出

FRx=F1x+F2x+F3x

=732N+0–2000N×cos30°

=-1000N

FRy=F1y+F2y+F3y

=0–732N–2000N×sin30°

=-1732N

再按式（2-5）得

2.1.4平面汇交力系的平衡方程及其应用

平衡条件的解析表达式称为平衡方程。

由式（2-4）可知平面汇交力系的平衡条件是

（2-6）

即力系中各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零，上式称为平面汇交力系的平衡方程。

这是两个独立的方程，可求解两个未知量。

例2-2图2-4所示一圆柱体放置于夹角为α的V型槽内，并用压板D夹紧。

已知压板作用于圆柱体上的压力为F。

试求槽面对圆柱体的约束反力。

解：

（1）取圆柱体为研究对象，画出其受力图如图2-4b所示；

（2）选取坐标系xoy；

（3）列平衡方程式求解未知力，由公式（2-6）得：

∑Fx=0，

（1）

∑Fy=0，

（2）

由式

（1）得FNB=FNC

由式

（2）得

（4）讨论由结果可知FNB与FNC均随几何角度α而变化,角度α愈小，则压力FNB或FNC就愈大，因此，α角不宜过小。

a）b）

图2-4

例2-3图2-5所示为一简易起重机。

利用绞车和绕过滑轮的绳索吊起重物，其重力G＝20kN，各杆件与滑轮的重力不计。

滑轮B的大小可忽略不计，试求杆AB与BC所受的力。

解：

（1）取节点B为研究对象，画其受力图，如图2-5b所示。

由于杆AB与BC均为两力构件，对B的约束反力分别为F1与F2，滑轮两边绳索的约束反力相等，即T＝G。

（2）选取坐标系xBy；

（3）列平衡方程式求解未知力；

∑Fx＝0，F2cos30°-F1-T1sin30°＝0

（1）a）b）

∑Fy＝0，F2sin30°-T1cos30°-G＝0

（2）图2-5

由式

（2）得F2＝74.6kN

代入式

（1）得F1＝54.6kN

由于此两力均为正值，说明F1与F2的方向与图示一致，即AB杆受拉力，BC杆受压力。

2.2力对点之矩合力矩定理

2.2.1力对点之矩

人们从实践中知道，力的外效应作用可以产生移动和转动两种效应。

由经验知道，力使物体转动的效果不仅与力的大小和方向有关，还与力的作用点（或作用线）的位置有关。

例如，用扳手拧螺母时（图2-6），螺母的转动效应除与力F的大小和方向有关外，还与点O到力作用线的距离h有关。

距离h越大，转动的效果就越好，且越省力，反之则越差。

显然，当力的作用线通过螺母的转动中心时，则无法使螺母转动。

图2-6图2-7

可以用力对点的矩这样一个物理量来描述力使物体转动的效果。

其定义为：

力F对某点O的矩等于力的大小与点O到力的作用线距离h的乘积。

记作

Mo（F）＝±Fh（2-7）

式中，点O称为矩心，h称为力臂，Fh表示力使物体绕点O转动效果的大小，而正负号则表明：

Mo（F）是一个代数量，可以用它来描述物体的转动方向。

通常规定：

使物体逆时针方向转动的力矩为正，反之为负。

力矩的单位为牛顿·米（N·m）。

根据定义，图2-6中所示的力F1对点O的矩为

Mo（F1）＝-F1h1＝-F1hsinα

由定义知：

力对点的矩与矩心的位置有关，同一个力对不同点的矩是不同的。

因此，对力矩要指明矩心。

从几何上看。

力F对点O的矩在数值上等于三角形OAB面积的两倍。

如图2-7所示。

力对点的矩在两种情况下等于零：

（1）力为零；

（2）力臂为零，即力的作用线过矩心。

前述扳手通过螺母中心的情况即属于第

（2）种情况。

2.2.2合力矩定理

在计算力系的合力对某点的矩时，除根据力矩的定义计算外，还常用到合力矩定理，即：

平面汇交力系的合力对平面上任一点之矩，等于所有各分力对同一点力矩的代数和。

证明：

如图2-8所示，设力F1、F2作用于刚体上的A点，其合力为FR，任取一点O为矩心，过O作OA之垂线为x轴，并过各力矢端B、C、D向x轴引垂线，得垂足b、c、d，按投影法则有

Ob＝cd＝F1x，Oc＝F2x，Od＝FRx

按合力投影定理，有：

Od＝Ob+Oc

各力对O点之矩，可用力与矩心所形成的三角形面积的两倍来表示，故有

Mo（F1）＝2△OAB＝OA×Ob

Mo（F2）＝2△OAC＝OA×Oc

Mo（FR）＝2△OAD＝OA×Od

显然

Mo（FR）＝Mo（F1）+Mo（F2）图2-8

若在A点有一平面汇交力系F1、F2、…、Fn作用，则多次重复使用上述方法，可得

Mo（FR）＝∑Mo（F）（2-8）

上述合力矩定理不仅适用于平面汇交力系，对于其它力系，如平面任意力系、空间力系等，也都同样成立。

在计算力矩时，当力臂较难确定的情况下，用合力矩定理计算更加方便。

例2-4图2-9a所示圆柱直齿轮的齿面受一啮合角α＝20°的法向压力Fn＝1kN的作用，齿面分度圆直径d＝60mm。

试计算力对轴心O的力矩。

解1：

按力对点之矩的定义，有

解2：

按合力矩定理

将Fn沿半径的方向分解成一组正交的圆周力Ft＝Fn与cosα与径向力Fr＝Fncosα。

有Mo（FR）＝Mo（F1）＋Mo（F2）

＝Ftr＋0＝Fncosαr

＝28.2N·m

a）b）

图2-9

例2-5一轮在轮轴B处受一切向力F的作用，如图2-10a所示。

已知F、R、r和α。

试求此力对轮与地面接触点A的力矩。

a）b）

图2-10

解：

由于力F对矩心A的力臂未标明且不易求出，故将F在B点分解为正交的Fx、Fy，再应用合力矩定理，有

MA（F）＝MA（Fx）+MA（Fy）

MA（Fx）＝－FxCA

＝－Fx（OA–OC）

＝－Fcosα（R-rcosα）

MA（Fy）＝Fyrsinα

＝Fsinαrsinα

＝Frsin2α

MA（F）＝－Fcosα（R-rcosα）+Frsin2α

＝F（r–Rcosα）

2.3力偶及其性质

2.3.1力偶的概念

在日常生活及生产实践中，常见到物体受一对大小相等、方向相反但不在同一作用线上的平行力作用。

例如图2-11所示的司机转动驾驶盘及钳工对丝锥的操作等。

一对等值、反向、不共线的平行力组成的力系称为力偶，此二力之间的距离称为力偶臂。

由以上实例可知，力偶对物体作用的外效应是使物体单纯地产生转动运动的变化。

图2-11

2.3.2力偶的三要素

在力学上，以F与力偶臂d的乘积作为量度力偶在其作用面内对物体转动效应的物理量，称为力偶矩，并记作M（F，F'）或M。

即

M（F，F'）=M=±Fd（2-9）

力偶矩的大小也可以通过力与力偶臂组成的三角形面积的二倍来表示，如图2-12所示，即

M=±2△OAB

一般规定，逆时针转动的力偶取正值，顺时针取负值。

力偶矩的单位为N·m或N·mm。

力偶对物体的转动效应取决于下列三要素：

（1）力偶矩的大小。

（2）力偶的转向。

（3）力偶作用面的方位。

2.3.3力偶的等效条件图2-12

凡是三要素相同的力偶则彼此等效，即它们可以相互置换，这一点不仅由力偶的概念可以说明，还可通过力偶的性质作进一步证明。

2.3.4力偶的性质

性质1力偶对其作用面内任意点的力矩恒等于此力偶的力偶矩，而与矩心的位置无关。

证明：

设在刚体某平面上A、B两点作用一力偶M=Fd，现求此力偶对任意点O的力矩。

取x表示矩心O到F'之垂直距离，按力矩定义，F与F'对O点的力矩和为

Mo（F）+Mo（F'）＝F（d-x）+Fx＝Fd

即Mo（F）+Mo（F'）＝M（F，F'）

不论O点选在何处，力偶对该点的矩永远等于它的力偶矩，而与力偶对矩心的相对位置无关。

性质2由图2-13可见，力偶在任意坐标轴上的投影之和为零，故力偶无合力，力偶不能与一个力等效，也不能用一个力来平衡。

力偶无合力，故力偶对物体的平移运动不会产生任何影响，力与力偶相互不能代替，不能构成平衡。

因此，力与力偶是力系的两个基本元素。

由于上述性质，所以对力偶可作如下处理：

（1）力偶在它的作用面内，可以任意转移位置。

其作用效应和原力偶相同，即力偶对于刚体上任意点的力偶矩值不因移位而改变。

（2）力偶在不改变力偶矩大小和转向的条件下，可以同时改变力偶中两反向平行力的大小、方向以及力偶臂的大小。

而力偶的作用效应保持不变。

图2-13图2-14

图2-14各图中力偶的作用效应都相同。

力偶的力偶臂、力及其方向既然都可改变，就可简明地以一个带箭头的弧线并标出值来表示力偶，如图2-14d所示。

2.4平面力偶系的合成与平衡方程

作用在物体上同一平面内的若干力偶，总称为平面力偶系。

2.4.1平面力偶系的合成

设在刚体某平面上有力偶M1、M2的作用，如图2-15a所示，现求其合成的结果。

图2-15

在平面上任取一线段AB＝d作为公共力偶臂，并把每个力偶化为一组作用在A、B两点的反向平行力，如图2-15b所示，根据力系等效条件，有

于是在A、B两点各得一组共线力系，其合力为FR与F'R′′，如图2-15c所示，且有

FR＝F'R＝F1-F2

FR与F'R为一对等值、反向、不共线的平行力，它们组成的力偶即为合力偶，所以有

M＝FRd＝（F1-F2）d＝M1＋M2

若在刚体上有若干个力偶作用,采用上述方法叠加,可得合力偶矩为

M＝M1+M2+…+Mn＝∑M（2-9）

上式表明：

平面力偶系合成的结果为一合力偶，合力偶矩为各分力偶矩的代数和。

2.4.2平面力偶系的平衡条件

由合成结果可知，要使力偶系平衡，则合力偶的矩必须等于零，因此平面力偶系平衡的必要和充分条件是：

力偶系中各力偶矩的代数和等于零，即

∑M＝0（2-10）

平面力偶系的独立平衡方程只有一个，故只能求解一个未知数。

例2-6四连杆机构在图2-16所示位置平衡，已知OA=60cm，O1B=40cm，作用在摇杆OA上的力偶矩M1=1N·m，不计杆自重，求力偶矩M2的大小。

图2-16

解：

1）受力分析

先取OA杆分析，如图2-16b所示，在杆上作用有主动力偶矩M1，根据力偶的性质，力偶只与力偶平衡，所以在杆的两端点O、A上必作用有大小相等、方向相反的一对力Fo及FA，而连杆AB为二力杆，所以FA的作用方向被确定。

再取O1B杆分析，如图2-16c所示，此时杆上作用一个待求力偶M2，此力偶与作用在O1、B两端点上的约束反力构成的力偶平衡。

2）列平衡方程

∑M=0，M1－FA×OA=0（a）

3）对受力图2-16c列平衡方程

∑M＝0，FB×O1Bsin30－M2＝0（b）

因FB=FA=1.67N

故由式（b）得

M2＝FA×O1B×0.5＝1.67N×0.4m×0.5＝0.33N·m

2.5平面一般力系的简化与平衡方程

所谓平面一般力系是指位于同一平面内的各力的作用线既不汇交于一点，也不互相平行的情况。

它是工程实际中最常见的一种力系，工程计算中的许多实际问题都可以简化为平面一般力系问题来

进行处理。

例如图2-17所示的摇臂式起重机及曲柄滑块机构等，其受力都在同一平面内。

（a）（b）

图2-17

另外，有些物体实际所受的力虽然明显地不在同一平面内，但由于其结构（包括支承）和所承受的力都对称于某个平面，因此作用于其上的力系仍可简化为平面一般力系。

例如缆车，如图2-18所示，轨道对四个轮子的约束反力构成空间平行力系，但在它们对于缆车纵向对称面对称分布的情况下，可用位于缆车纵向对称面内的反力替代，如图2-18b所示，从而把作用于缆车上的所有的力作为平面一般力系来处理。

图2-18

2.5.1力的平移定理

作用在刚体上A点处的力F，可以平移到刚体内任意点O，但必须同时附加一个力偶，其力偶矩等于原来的力F对新作用点O的矩。

这就是力的平移定理。

如图2-19所示。

证明如下：

根据加减平衡力系公理，在任意点O加上一对与F等值的平衡力F′、F″（图2-19b），则F与F″为一对等值反向不共线的平行力，组成了一个力偶，其力偶矩等于原力F对O点的矩，即

M＝Mo（F）＝Fd

于是作用在A点的力F就与作用于O点的平移力F′和附加力偶M的联合作用等效，如图2-19c所示。

图2-19

力的平移定理表明了力对绕力作用线外的中心转动的物体有两种作用，一是平移力的作用，二是附加力偶对物体产生的旋转作用。

如图2-20所示。

圆周力F作用于转轴的齿轮上，为观察力F的作用效应，将力F平移至轴心O点，则有平移力F′作用于轴上，同时有附加力偶M使齿轮绕轴旋转。

再以削乒乓球为例（图2-21），分析力F对球的作用效应，将力F平移至球心，得平移力F′与附加力偶，平移力F′决定球心的轨迹，而附加力偶则使球产生转动。

图2-20　

图2-21

2.5.2平面一般力系的简化

2.5.2.1平面一般力系向面内任一点简化主矢和主矩

设刚体上作用有一平面一般力系F1、F2、…、Fn，如图2-22a所示，在平面内任意取一点O，称为简化中心。

根据力的平移定理，将各力都向O点平移，得到一个汇交于O点的平面汇交力系F′1、F′2、…、F′n，以及平面图2-22

力偶系M1、M2、…、Mn，如图2-22b所示。

（1）平面汇交力系F′1、F′2、…、F′n，可以合成为一个作用于O点的合矢量F′R，如图2-22c所示。

F′R＝∑F′＝∑F（2-11）

它等于力系中各力的矢量和。

显然，单独的F′R不能和原力系等效，它被称为原力系的主矢。

将式（2-11）写成直角坐标系下的投影形式：

因此主矢F′R的大小及其与x轴正向的夹角分别为：

（2-12）

（2）附加平面力偶系M1、M2、…、Mn可以合成为一个合力偶矩Mo，即

Mo＝M1+M2+…+Mn＝∑Mo（F）（2-13）

显然，单独的Mo也不能与原力系等效，因此它被称为原力系对简化中心O的主矩。

综上所述，得到如下结论：

平面一般力系向平面内任一点简化可以得到一个力和一个力偶，这个力等于力系中各力的矢量和，作用于简化中心，称为原力系的主矢；这个力偶的矩等于原力系中各力对简化中心之矩的代数和，称为原力系的主矩。

原力系与主矢F′R和主矩Mo的联合作用等效。

主矢F′R的大小和方向与简化中心的选择无关。

主矩Mo的大小和转向与简化中心的选择有关。

平面一般力系的简化方法，在工程实际中可用来解决许多力学问题，如固定端约束问题。

固定端约束是使被约束体插入约束内部，被约束体一端与约束成为一体而完全固定，既不能移动也不能转动的一种约束形式。

工程中的固定端约束是很常见的，诸如：

机床上装卡加工工件的卡盘对工件的约束（图2-23a）；大型机器中立柱对横梁的约束（图2-23b）；房屋建筑中墙壁对雨篷的约束（图2-23c）；飞机机身对机翼的约束（图2-23d）。

固定端约束的约束反力是由约束与被约束体紧密接触而产生的一个分布力系，当外力为平面力系时，约束反力所构成的这个分布力系也是平面力系。

由于其中各个力的大小与方向均难以确定，因而可将该力系向A点简化，得到的主矢用一对正交分力表示，而将主矩用一个反力偶矩来表示，这就是固定端约束的约束反力，如图2-24所示。

图2-23

图2-24

2.5.2.2平面一般力系的合成结果

由前述可知，平面一般力系向一点O简化后，一般来说得到主矢F′R和主矩Mo，但这并不是简化的最终结果，进一步分析可能出现以下四种情况：

（1）F′R＝0，Mo≠0；

说明该力系无主矢，而最终简化为一个力偶，其力偶矩就等于力系的主矩，此时主矩与简化中心无关。

（2）F′R≠0，Mo＝0；

说明原力系的简化结果是一个力，而且这个力的作用线恰好通过简化中心，此时F′R就是原力系的合力FR。

（3）F′R≠0，Mo≠0；

这种情况还可以进一步简化，根据力的平移定理逆过程，可以把F′R和Mo合成一个合力FR。

合成过程如图2-25所示，合力FR的作用线到简化中心O的距离为

（2-14）

图2-25

（4）F′R＝0，Mo＝0；

这表明：

该力系对刚体总的作用效果为零，即物体处于平衡状态。

2.5.3平面一般力系的平衡方程及其应用

2.5.3.1平面一般力系的平衡方程

（1）基本形式

由上述讨论知，若平面一般力系的主矢和对任一点的主矩都为零，则物体处于平衡；反之，若力系是平衡力系，则其主矢、主矩必同时为零。

因此，平面一般力系平衡的充要条件是

（2-15）

故得平面一般力系的平衡方程为

（2-16）

式（2-16）满足平面一般力系平衡的充分和必要条件，所以平面一般力系有三个独立的平衡方程，可求解最多三个未知量。

用解析表达式表示平衡条件的方式不是唯一的。

平衡方程式的形式还有二矩式和三矩式两种形式。

（2）二矩式

（2-17）

附加条件：

AB连线不得与x轴相垂直。

（3）三矩式

（2-18）

附加条件：

A、B、C三点不在同一直线上。

式（2-17）和（2-18）是物体取得平衡的必要条件，但不是充分条件，读者可自行推证。

2.5.3.2平面一般力系平衡方程的解题步骤

（1）确定研究对象，画出受力图。

应取有已知力和未知力作用的物体，画出其分离体的受力图。

（2）列平衡方程并求解。

适当选取坐标轴和矩心。

若受力图上有两个未知力互相平行,可选垂直于此二力的坐标轴,列出投影方程。

如不存在两未知力平行，则选任意两未知力的交点为矩心列出力矩方程，先行求解。

一般水平和垂直的坐标轴可画可不画，但倾斜的坐标轴必须画。

例2-7绞车通过钢丝牵引小车沿斜面轨道匀速上升，如图2-26a所示。

已知小车重P＝10kN，绳与斜面平行，α＝30°，a＝0.75m，b＝0.3m，不计摩擦。

求钢丝绳的拉力及轨道对车轮的约束反力。

图2-26

解：

（1）取小车为研究对象，画受力图（图2-26b）。

小车上作用有重力P，钢丝绳的拉力FT，轨道在A、B处的约束反力FNA和FNB。

（2）取图示坐标系，列平衡方程

∑Fx＝0，－FT+Psinα=0

∑Fy＝0，FNA+FNB－Pcosα＝0

∑MO（F）=0，FNB（2a）－Pbsinα－Pacosα＝0

解得FT=5kN，FNB=5.33kN，FNA=3.33kN

例2-8悬臂梁如图2-27所示，梁上作用有均布载荷q，在B端作用有集中力F＝ql和力偶为M＝ql2，梁长度为2l，已知q和ql（力的单位为N，长度单位为m）。

求固定端的约束反力。

解：

（1）取AB梁为研究对象，画受力图（图2-27b），均布载荷q可简化为作用于梁中点的一个集中力FQ＝q×2l。

图2-27

（2）列平衡方程

∑Fx＝0，FAx=0

∑MA（F）=0，M－MA＋F（2l）－FQl＝0，

故MA=M＋2Fl－FQl＝ql2＋2ql2－2ql2＝ql2

∑Fy＝0，FAy+F－FQ＝0

故FAy＝FQ－F＝2ql－ql＝ql

2.6物体系统的平衡

物系平衡时，组成系统的每一个物体也都保持平衡。

若物系由n个物体组成,对每个受平面一般力系作用的物体至多只能列出3个独立的平衡方程，对整个物系至多只能列出3n个独立的平衡方程。

若问题中未知量的数目不超过独立的平衡方程的总数，即用平衡方程可以解出全部未知量，这类问题称为静定问题。

反之，若问题中未知量的数目超过了独立的平衡方程的总数，则单靠平衡方程不能解出全部未知量，这类问题称为超静定问题或静不定问题。

在工程实际中为了提高刚度和稳固性，常对物体增加一些支承或约束，因而使问题由静定变为超静定。

例如图2-30a、b为静定结构，图2-31a、b为静不定结构。

在用平衡方程来解决工程实际问题时，应首先判别该问题是否静定。

本章只研究静定问题。

图2-30

图2-31

求解