陈景润定理的证明.docx

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陈景润定理的证明

第九章陈景润定理

在引言中我们巳经详细叙述了利用筛法和算术数列中素数分布的均值定理来研究命题｛1,纣，即一个大偶数表为一个素数和-•个索因子个数不趙过b个的数之和这一重要问题的发展历史・1966年陈景润首先宣布他证明了命题｛1,并在1973年发

表了全部证明mi.这一结果通常称为陈賢润定理.最近，他进一步发展了证明命题｛1,2｝的方法，改进了关于一个偶数表为二个素数之和的麦法的个数D（N）（见第七章§4（41））的上界估计,这是一个重要的改进•本章的目的就是要利用第七章和第八章所得到的结果来证明陈寮润的这二个重要定理.

§1.命题{1,2}

首先，我们将证明命頤（1,4｝和｛1,3｝.

设N为一大偶数，集合

虫—h（a：

aoN—p、N、、

（1）

以及集合

'.侪=｛p沖扌Nh

（2）

这就是第七章§1例2所讨论的［所以为了利用Selberg筛法來估计篩函数S3;3,厂，我们可取

且有

“（/）*o,aN）—

这时第七章的条件（8）及条件（33）均成立，且（33）式中的«=1,所以这是线性的情形.这样，我们就可以利用第七章§6的定理9和定理10来佔计筛函数0"）,这时所对应的余项就是我们第八章定理1的推论】所讨论的・

再设b为亠正整数，集合

"例s"刚（N）—｛a：

a€*、VtM<〃｝»O）其中珂o）表示a的全部素因子个数（按重数计人所以是集合"中所有素因干个数不摄过&个的元奏所组成的子集.这样，命題｛1,^｝就是要证明：

对充分大的偶数2必有

m>o・⑷

定理1命题｛1,4｝成立，且有

|3叫A3.24&N）

「仞=丛（―右討几启.

显然，€a,a,N）A1的元素个数

S（V）《logAT,

其中MN）为n的不同索因子的个数•由此容易看出

现利用第七章定理10来估计筛函数S（・&；S,N缶）的下界.

这里可取a=丄，〃=38,再由第七章定理2«■1）及（40）知，2

"（才）©2c{N）——（1+0（—））（8）

logz\vlog名〃•

由此及函数IM（见第七章§5）的连续性即得

logSV

S（a；9,M）22”（l+o〈l））c（N）-e-rf（9）

其中。

（1）是当Nf8时趋于耀，丿>0・由第七章§5（47）及定理8可知

/（«）—0,（«<2）,/（u）>0,“A2.

所以要从（9）得到一个|3（叫的正的下界估计必须取6>3.为了证明命题｛1,6｝,显然正整数b取得愈小愈好，在这里最佳可能是取0-4.故由（7）,（9）及第七章（52）即得

!

•&⑷IA（I+Q（'））*各c（N）厂件・

2logW

这就证明了我们的定理.

大家知逍,为了证明命题｛b4｝并不需要利用第七章定理10和第八章定理1这样强的结果（见引言）.这里之所以用了这样强的定理而仅得到命題｛1,4｝,是由于我们利用了关系式C7）,即是把⑹I直接和一个筛函数相联系起来的缢故・

Kuhn翊首先提出了所谓“加权筛法”,利用这种方法使得一些I、可貶庄同样的筛函数佔计及同样的余项估计下■可以得到更好的结果.对于加权筛法，不少数学家进行过许多形式的研究和改进,这里我们将不作一般的讨论，而仅在下面结合具体问题对有关的加权筛法作一个简单说明.本章的结果都是运用加权筛法得到的，从中也可以看出它的本质和作用•

现在我们来证明命E｛1>3）.下面的引理是最简单的加权筛

引理1设〃为正整数，"为正数我们有

p\W-2

N*

P（J=IIp.

证显然md）为整数，且

o<“1（a）VP.

我们设

几％）才…歿S

lo,Vi{a）>b>

其中vM为«的全部素因子的个数，则有

-为计心〉・

利用（6）式我们容易推得

13叫>S0SWS+0（.GV））

S屮（"3+0（戸）.

另一方直，我们同样有

MJ（4）«1,（a,P（N"））ol,（a,2）—1

的条件不（这时VlW=vx（a））9我们有2

（1）若現60S则

入°3—1>1—AA（4）；

2

（2）若V2（a）^b+I,则一定有

所以亦得

》"〉（“）—oA】一丄pC

2

综合以上结果就证明了（10）式,证毕.定理2命趙｛1,3｝成立，且有.

在引理1中取方=3,。

=10,我们有

"叫>S（1一（“））十o（询

（11）

=s（"；3,M〉一1©+0（n呪

2

其中

SS（G八;S，/）・（12）

P1W

由（9）知

S（3;少，M）鼻20（1+o

（1））c（N）£^小（5）（13）

logW

再由笫七章§5（54〉知,其中

5—（5）=2（log4+『乎『心（：

7■础.（⑷

现在我们利用第七隼定理9的（68）式来估计Q中的每一项Sg",N対的上界，注意到该定理的附注2,并取严■2N+logf",

pl

利用（8）式即得

S（3川9,*）V20（1+q

（1））『（N）

x4Uf（5—】o^'）

logWpi'、logAZ/

+y3山;",丄Mwpivgmv,

其中。

（1）,随NT8而趋于零.由于这里MsvNh以上所有余项〃"均两两不同，故由第八章定理1的推论1及•素数定理可得^

Qy<20（1+。

⑴）心）~~尸

+工必03"3|“|

■20（l+°（l）〉O）尙八［；：

盘

"（5-*器W+O（瓷制・（15）当Mgvn*时.

A<5-10±g±<4.

3logN

利用第七章§5（51）,（52）式，经计算可得

5—M尸（5一10址t）du

wlogw\log"，

"哄+2心『応宀・由此及（11〉一（15）式推得

召（1一令pi（0»>4（1+o（l））r（.V）（1082

T；诒予咐咛M+。

（昴）•備

最后我们来计算上式中的积分.显然有

bgzT：

乎<-j-（*-0（1+Y）

X—1

所以

Ilog（$—]）ds

<2J»x（5-O

•5_

=2（——（丄a—3）+hz（5—/）\2

—11log2—6log3—1.

由此及（11）,（16）式即得

（17）

叫>4（l+61og3-JOlog2）（1+o（"）c（M）*^・

这就证明了我们的定理.

Richer-利用他的加权筛法得到了更强的结果：

对充分大的偶数2有

现在，我们对加权筛法来作一简单的说明.比较（7）和（10）式，可以看出，为了用筛法来估计|3叫的下界，⑺式是直接去估计最简单的筛函数

$（3;外=）■s1>'

（<.si

而（10）式则是去估计“加权”的筛函数：

SP（4）»

•2

（•・Pd

即对每一个元素《加上了一个权函数M（原来的可看作权函数pM三1）后，再进行筛选，所以这种筛法称为“加权筛法”.从以上所证明的定理1和定理2可以看出，巧妙锂利用加权伟法使我们可以得到更好的结果.这里，重要的超选择权函数心（定理2中是取pMg1—寺PiMi，权函数pW的形式是多种多样z2/

的，它是白我们所考虑的问题来决定的.更为重要的是，引进权函数后，将使我仁的估计（包括主项和余项二方面）大大复杂•例如从定理2可以看出，这时所要估计的不单是-个筛函数『而是一些筛函数的和（见（12））,因而在主项和余项估计中就都产生了新的问題和困难需要加以克服.爭实上，第七章定理9及第八章定理1

就解决了这里定理2中引进权函数pM-1~-pM后■所2

产生的困难.

现在，我们来证明命题｛1,2｝,下面的引理就是陈景润为了证明命题｛1,2｝而提出的新的加权筛法.

引理2设6为正整数，为正数“>心2、我们有

>工（1一fQi（a）—占G（0））

■€・\22

+0（严力（18）

其中仇（J由引理1给出，

“11

UQ=P0・・・pb>wVpiVAM

PtW"（"N）—1

0,其它.

证和引理1的证明相同■我们有

I"ZI>S“心）於7（。

+O（N_）,

其中仟叫）的定义见引理1,及

23（i-*Pi（°）-*”2（°））

■迟“心）（1一斗处（“）—命（“））

“"\22z

+0虻*）・

在条件记（“）-1,Q,P（N»）-1,及（0,N）-1之下（这时巧（“〉O珂（“〉），我们有

（1）若勺（a）Wb—1,則

八i>（a）—1>1Pi（^）血（0）,

22

（2）若vM>bt则一定有

Q（a）>】・

如果PiG）>2,则有

»1）（么）=0>1——Q（a）——PiWi

22

如果°（4）—11这时一定有

v2（a）=刃（a）—by

所以必有

pM—b

故得.

八I〉（o）—1—-yPi（a）1-yPj（a）—0.

绦合以上结果即得（18）式,证毕.

定理3命顋〈1.2｝成立，且有

|3⑴I>0.62c（V）•瑁亓.

证在引理2中取6=3,v—10,并利用（16）,（17）式可

>4（1+61og3一I01og2）（l+。

⑴»（N）

其中

乞M）1SSX-（20）

时'aR

P2有

这样，为了证明命题山2},就只要估计2的上界，由于4€3N-a,a

因而有

s

A—Nrem

$77）"Sv唸"跨

这就把原来2是估计元素。

的个数转化为估计素数卩的个数•我们考虑集合

S

引产

（21）

PE

MSVNYp】v（卡）',（pp,N）=1},

—ZV一epyc,ep

l*S加心

N5小

4

9

•F

心Ns、e".

所以集合幺中不超过nM的元素个数小于2・我们还不淮看出Q,不超过集合3中苑董数个数.若仍取

3—{p:

P*2},

则由以上的讨论易知.•

11

2

现在我们用最简单的Solberg上界歸法，即第七章§4定理6'来估计上式右边的综用数S（3：

®“）的上界.这里的集合幺和“就是第七章§1例3所考虑的集合，故可取

x-2Li-

•2c

s（d）QF（d）矢0，（d’N）=1.

所以满足第七章的条件（8）及（33）0・1）・我们取，sD・

N>Iog^W,$-248,就有

S—涉、D*）<8（1+c（l））

i+Ru（23）

log/V

S»《）3也艺E°（N；sd,N）・

廊i・

必/）3叫GOLi兰

（Z^I'•

其中

Rx

gO）E°（N；"d，N）|,

'為0（d）由于&时，/V»

Rl为必03"叫S

（■:

启乞1VM<«

其中

g（a）■工1V】•

ra«

・"

故由第八章定理2的推沦2（并注意定理2的附注63及4）即得&怜⑺）

下面我们再来估计心•由于「€分时，它的索因子不小于“占,以及讥今0WvdQ）（为了避免混淆，把变数d改为我们有

・3g）2“

<2才也1V_1«2卄工丄V丄佥出）自。

E和

«.<»N®

7乜+艺s|

<<□qml«aOS'Eg

（25）

=NZ艺2迟丄《/+”

最后，我们来计算X.由素数定理知

XK（1+。

⑴）艺一—7

di

rx*

-（1+。

⑴）21;

xlogHog—

）N°

[N-C>log（2—3“）亦iog/vh«（i一“）

8时趋于零.利用

log<•/*（*一1）^1+令）.xA

—（1+。

⑴）

其中。

（】）当N

（26）

可得

f，、—3（1—3“）（1—u）1"“n1啖（2_3“）Wy（2_3“厂'乔*“丢亍.

所以

£嘟2_3?

辰v邑『戶叫du

（27）

Ji“（1—w）2儿“（2—3”）

•=*—（2log10一log3—log17）,

4

因而得到

X<—（2IorIO-Iog3—log17）（1+o（l））-^~.（28）

4log2

由（22）,（23）,（24）,（25）及（28）式就得到了Q的上界估计

2V6（21ok10—1临3—log17）（1+t>Zl））r（ZV）-^-,logW由氏风（19）弍就证明了我们的定理.

陈杲润u刃更椅确的计算积分（27）式，得到

最近，他进一步改进了2的结构•证明了则

"叫A0.81心壮需.

不断改进这里下界估计的系数是有意义的，但从圆法对偶数Goldbach猜想的探讨来看（见第十一章（9）,（7）式），目前的结果仍是太小，可能要大于2才会有价值.

从定理】.定理2到定理3,我们清楚地看出了加权筛法的作用.取p（Qq1（即不加权）时，我们仅能得到命題{；,4},取

PM-i-y就得到了命题{1,3},而取

pM〜1一斗—vpM^

就证明了命軀U，2}.所以对同一个问題，选取不同的权函数就可以得到不同的结果.但是权函数取得愈复杂，我们的估计就倉困难.陈燉润所提出的加权踊法的基本困难就在于实现对2的估计.如果我们用估计定理2中Q（见（12»的办法来估汁由（20）所表示的o2>那就要去估计筛函数的和：

迟s（&°;®、pb•

对此'我们只能用第七章定理9去估计其中毎一个筛函数，但由于e€£时，eVAM,可以取大于M的值，所以在估I-总的余取时，就产生了Bombieri-BHHorpaAOD均值定理（即第八章定理1及推论】）所不能克服的困难”.陈景润巧妙地把。

2原来的表示式（20）变为表示式（21）,把原来是估计元素a的个数转化为估计素数p的个数•这样.他就利用最简单的Selberg上界筛法来估计2,并谆先用他的极有创造.性的方法，克眼了估计余项的困难，实现了对2的估计，井证明了命關{1,2}.后来，我们（山刘在命题{1,2}的简化证明中明确指出，估计0的关镶实质上就是第八章的新的均值定理——定理2,这一点也可以从这里所给出的证明中清楚地看到.

显然，利用陈杲润的加权筛法不可能证因为这时要在引理2中取6=2,而这使得在估计主项和余项吋出现至今仍然无法克服的困难.

§2・D（N）上界估计的改进

设2为個数，D（N）为N表为二个素数之和的表法的个数.我们在第七章§4（41）中证明了

心）“（小鸟（|+。

（步））・

一直到不久以前这还是最好的结果,它是由Bombicri和Davcnporr151在1966年得到的.上述结果中的系数8也是随筛法和均值定理的发展而逐步改进的.1949年A.SelbergWU证明了系数可取为16,1964年潘承洞®证明了系数可取为12,而在G2?

丹下,1962年王元5“证明了系数可取为8.对系数8作进一步的改进是一个

】）一些敦学家善相醴指出，只要算八章的均恒估计式对仲=*0・546及0・531成立时，金《8{1,2}狀成立.

+分困难的问题.最近，陈景润何发展了他在证明命题（1,2}丰所提出的加权筛法，证明了：

对充分大的偶数N有

D（N）V7.8342c（N）（29）

他通过巧妙地应用ByxniTa6恒等式及EyxunaO」。

）关于不超过%且不含有小于”的素因子的自然数个数的渐近公式。

（引理4）实现了这一估计.诚然，证明的关键之一仍是第八章$2的一类新的均值定理（这里要用到推论3及推论4的形式）.为了得到上述较好的估计，他运用了反复査代的方法，因而计算是很复杂的•我们这里娶给岀一个较为简单的方法，证明下面的定理.

定理4对充分大的N，我们有

D（N）<7・928C（N〉■（30）

logW

下面分若干引理来证明这一结果.

引理3设连续函数*3）（见笫七章§5（57））满足方程

{

«/（“）■丄，

"（31）

（“"（“））'*型（“—i）»“>2,

则有-

绍（“）匕磊，“32..'（32）

1.763

证由定义容易推得

U

（如—l）Jog（«•一1）■J

不难算得

2.763V呦V2,7人

所以我们有

绍《）<必Q-1+加（“。

一0

——-—<1.763；2W3.岭一I、

现用归纳法，设々A3为正整数，假设

小為2W

成立，则由定义知

引理证毕.

引理4设绍3）是引理3中定义的函数,

X>1,3—>1,

则对«>1-致地有

S1E绍（“）T^~+0必品，og<

成立，其中

卩3■II代

证用归纳法证朋.当1V“M2时•由素数中璋知（33）式成立.假设当整数）时，（33）式成立.我们来证明当点十1W“W点+2时，（对）式亦成立.为此设

/■｛吧1V力£才｝»Gi=｛户｝.

这样就有

240

（34）

B1-S3；•如小

由ByxiDTaC恒等式（第七章§1引理1）知，

S（"；3“xb亠s（/;炉”x^TT）

+Ss（"p；込，p）.

丸+2.由于

k<（^y）/,o8?

o；囂—1<^+1,

x為引<”Yi,

所以利用归纳假设，并注承到p■及

从（34）,（33）,（31）式及素数定理即得

S3®,小-心+1）―~+0（

logx*11（log1y

■（电++1）—

-绍（“）—+0（—〜）・

logx-（log*）"

这就证明了，当£+1匕“W々+2时，（33）式亦成立.证毕.显见，当“A”0A1时，（33）式中O（盘j这i项可不要.下面的引理是ByxmTad恆等式的一个应用.

引理5设集合3,4由

（1）＞

（2）所给出我们有”

s（3；9SH）-S（3；e、H）

-VS$32肿）

211

211

MN

2ii

+。

（宀）.（35）

证由Byxiniad恒等式知

S（a；Q,Nbo"*;炉，2）

＞）符号少（？

）的定义贝•那七SSK5L

•••....・

■

f••

■

11

“•—w

P”N

对上面和式中的毎~项再用一次Eyxurra6恒等式，有

存（仇；—寺S（3＜3#）

厶Z

N*p、＜g9

♦M

.N，WpiV宀,p必N.

由以上二式即得

S（"；外加7（3;侪肿）

一寺SS（&.,;3,2〉+叭（36）

2x1

其中.

M严寺SS（3"・；®，门）

211

N・v什

-斗SS（.&川乡，pj.（37）

211▼“vX川N_

再对（37〉式右边的二个和式中的每一项，适当的运用By.xuiTaO'：

.

恒等式可使之互相抵消一部分,我们有•：

s（a.,；G»pl）—£（3川3（化片»）

+SG（Pi），0s），•

A

兔5《科・

川N、

n・p、＜nJ门0,

$（3佔；必、门）7Pg；

+£

♦皿5

•“N

MW仞v角VN-,g,V）=1.

把以上二式代入（37）式，即得

Ml—寺SS（"p"（R,/）

21A

H0VN・

MN

+VS£（3pm；0（R）"J

2A丄

n"vpt

一£SS（&m；3，Pi）.（38）

211Av仇

S"fl《nT

10*>

由此及（38）,（36）式即推得（35）式,证毕.

不难看出，（35）式可以写成下面的形式

$（3；乡,n'）*S（1~~PtW

«faf'2

1（^F（A?

r>l,

9

一y+yM））+0（"T）,（39）

其中

thW—S

i丄

“y心"心・

（•亡s”*

如局引理1,引理2—样，（39）式可以直接加以证明•所以引理5实际上亦为加权筛法，由此也可看出加这类权締法和Byxunad恒筹式之间的联系.

引理6设集合3,少由（0,

（2）式给出，我们有

s（"；9,M）一寺•艺S（a,,；*,

Hs.VN*

MN

<8（1+。

⑴）畑缶｛1+f昨"严弘

其中。

（1）当N〜8时趋于零.

证由第七章定理10的（91）式，第八章定理1的推论1■第七章（53〉式，以及（8）式可得°・

“3；3“）M8（1+

再由第七章定理9的（69）式（注意附注2）,笫七章（52）式，以及（8）式可得

43炜）］/［心罰

S3也］“|,

Mvn¥W叭n

利用第八章定理1的推论I及素数定理可得

nP5log（2,5~~TTT）^

SS（“川3,2vb>8（1+0（l））c（N）」S・VN，

X,.

\log2.VJi・sI

由（41）,（42）式就推出（40）式,证毕.

引理7设集合由

（1）,

（2）给出,我们有

乞Sj*仇內儿；®S）,P»

N^SSSVN、

（44）

其中。

（1）当N-8时趋于零,

X.2X

1X

N7vp・sVhvH‘

证我们用定理3中估计Q的办法來估计Q•我们有

s

11kN-p"』卢

Nyy、5

（45）

+O（N?

）・Q；+0（龄"

其中

0=艺工

现在考虑集合

s

%VP：

Vod・（H*・N/0沖卢”9-NA'

np2pxN»<內V內VN*,（阳”AT）—1,

1W"W~~2J（nJ~P（p3））11},

N—ep\9eW/,min

显然，（盘》N）=1.再由于

]£|《加尸

所以集合玄中不大于N*的元素个数《N：

由于Q小于集合玄中素数个数因而我们有

+O（2vb,XNj（46）

这里玄，3就是第七章§】例3所讨论的那种类型的集合.这

现左我们用笫七章§4定理6’来估计筛函数S（W;3,心取-

=D=N+log•叫V（8,由下面所利用的均值定理来确定人就有

S（E；3,切）W8（l+o

（1））«N）7^?

+心+&,（48）logV

其中

不难看出

W1>

且当“有小于AT的素因子时，

gM—