高一数学教案苏教版高一数学平面向量总复习题.docx

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高一数学教案苏教版高一数学平面向量总复习题

平面直扭总复习题

一、选择题

1•两个非零向量的模相等是两个向量相等的什么条件

A.充分不必要B.必要不充分

C.充要D.既不充分也不必要

答案：

B

2.当|a|=|b|z0且a、b不共线时，a+b与a—b的关系是

A.平行B.垂直

C.相交但不垂直D.相等

解析：

•「（a+b）•（a—b）=a2—b2=|a|2—|b|2=0,「•（a+b）±（a—b）.

答案：

B

3.下面有五个命题，其中正确的命题序号为

1单位向量都相等；②长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量；③若a,b

满足|a|>|b|且a与b同向，贝Ua>b;④由于零向量方向不确定，故0不能与任何向量平行；

⑤对于任意向量a,b,必有|a+b|<|a汁|b|

A.①②③B.⑤

C.③⑤D.①⑤

解析：

①单位向量方向不确定，故不一定相等，所以命题①错误；

2方向相反的向量一定是共线向量，故命题②错误；

3两向量不能比较大小，故命题③错误；

40与任意向量平行，故命题④错误；

5命题⑤正确.

答案：

B

4.下列四式中不能.化简为PQ的是（）

A.AB（PABQ）

B.（ABPC）（BA-QC）

C.QC-QPCQ

D.PAAB-BQ

解析：

A选项中，ABBQ二AQ,AQPA二PAAQ二PQ

B选项中，ABBA二AB-AB=0，PC-QC二PCCQ二PQ，PQ+0=PQ

C选项中，QC■CQ=QC-QC=0，—QP+0=PQ+0=PQ.

D选项中，PAAB二PB,PB-BQ=PQ，（vPBBQ=PQ）

答案：

D

5.已知正方形ABCD的边长为1,AB=a,BC=b,AC=c,则a+b+c的模等于（）

答案：

D

6•如图所示，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则下列等式中不正确的是

C.DEDA二ECD.DADE二FD

答案：

D

7.已知a,b为非零向量，a+b|=|a—b成立的充要条件是

A.a//bB.a,b有共同的起点

C.a与b的长度相等D.a丄b

解析：

|a+b|=|a—b|：

＜：

|a+b|2=|a—b|2：

＜:

（a+b）2=（a—b）〈：

a2+2a•b+：

a2—2a•b+b2：

二a•b=0：

=a丄b

答案：

D

8.下面有五个命题，其中正确命题的序号是

22abb222222

①|a|2=a2;②「；3（a•b）2=a2•b2;@（a—b）2=a2—2a•b+b2;⑤若

aa

a•b=0,贝Ua=0或b=0

A.①②③

B.①④

C.②④

D.②⑤

®（a・b）2=（|a||b|cosa）2=|a|2|b|2cos2a,a2•b2=|a|2•|bf,「.（a•b）2^a2•b2

⑤若a•b=0,贝Ua=0或b=0或a丄b且a*0,b*0.

答案：

B

9若点P分有向线段RP2成定比为3:

1，则点Pi分有向线段F2P所成的比为

RP巴

j.j.j.j.i

解析：

•••空=_4，则点Pi分有向线段P2P所成的比为一-.

RP33

答案：

A

到原

10.已知点A（x,5）关于点C（1,y）的对称点是B（-2,—3）,则点P（x,点的距离是

A.4

B.J3

C..15

D.、17

解析:

由中点坐标公式可得

x-25-3

1,y,解得x=4,

22

y=1,

再由两点间距离公式得..〉

〈2+y2=J42+12=J17.

答案：

D

11将点（a,b）按向量a=（h,k）平移后，得到点的坐标为

A.（a—h,b+k）

B.（a—h,b—k）

C.（a+h,b—k）

D.（a+h,b+k）

rx—a=hx

解析：

设平移后点的坐标为

（x',y'）,则根据平移公式可得丿,•••丿

y"_b=ky"

答案：

D

12•点A（2,0）,B（4,2）,若|AB|=2|AC|,则点C坐标为

A.（—1,1）B.（—1,1）或（5,—1）

C.（—1,1）或（1,3）D.无数多个

解析：

由题意|AB|=.（4-2）222=2一2,

Aci=LABJ=72

2

故点C分布在以点A为圆心，半径为、2的圆上，故点C坐标有无数多个•答案：

D

13.将曲线f（x,y）=0按向量a=（h,k）平移后，得到的曲线的方程为

A.f（x—h,y+k）=0B.f（x—h,y—k）=0

C.f（x+h,y—k）=0D.f（x+h,y+k）=0

fr

x—解析：

设平移后曲线上任意一点坐标为（x',y'），则根据平移公式可得丿

x=/-h

y=y"_k

又f（x,y）=0，二f（x'—h,y'—k）=0

即f（x—h,y—k）为平移后曲线方程.

答案：

B

14.设P点在x轴上，Q点在y轴上，PQ的中点是M（—1,2）,则|PQ|等于（

A.42B.2.5C.5D.2-10

解析：

由题意设P（x,0）,Q（0,y）,由中点坐标公式可得x=-1,上=2

22

解得x=—2,y=4,

•••|PQ|=.（―2）242=、20=2.5.

•|a|=2（mn）2=7,|b|=、（-3m2n）2二7

•a•b=（2m+n）（—3m+2n）=—6m2+2n2+m•n=—6+2+-=—-

22

答案：

C

1

A.有最大值一和最小值0

2

1

B.有最大值一，但无最小值

2

C.既无最大值，也无最小值

D.有最大值1,但无最小值

解析：

•••△ABC为直角三角形，•B=—A

=sinA•cosA=1sin2A

2

2

•sinA•sinB=sinA•sin（—A）

2

■ITd

当A=B=时，有最大值一，但无最小值

42

答案：

B

20.a、3是锐角三角形的三个内角，则

A.cosa>sin3且cos3>sina

B.cosavsin3且cos3

C.cosa>sin3且cos3

D.cosasina

解析：

Ia、3是锐角三角形两内角，

HJITl

..a+3>—,.•—>a>——3>0,

222

ji

•sina>sin（3）

2

即sina>cos3，同理sin3>cosa答案：

B

21.在厶ABC中，sinA

A.充分不必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解析：

由正弦定理可得-^―

b

a

•—

sinA

sinA

sinB'

b

sinB

由sinA

根据三角形小边对小角可得AvB,反之由AvB也可推得sinAvsinB

故sinAvsinB是AvB的充要条件.

答案：

C

22.在厶ABC中，tanA•tanB>1,则△ABC为

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.不能确定

解析：

TtanA•tanB>1>0，又tA、B不可能同时为钝角，二tanA>0,tanB>0,

tanAtanB门

•••tan（A+B）=v0,

1-tanAtanB

•90°vA+Bv180°,•0°vCv90°,

•△ABC为锐角三角形.

答案：

A

23.在厶ABC中，A、B、C相应对边分别为a、b、c,贝UacosB+bcosA等于

A.2cosCB.2sinC

ab

C.D.c

2

解析：

由正弦定理得：

——=2R

sinAsinB

得a=2RsinA,b=2RsinB

•

acosB+bcosA=2RsinAcosB+2RcosAsinB=2Rsin（A+B）=2RsinC=c答案：

D

cosB=±.1-sin2B=±

a2vb2+c2,则A的取值范围是（

vAv90°

vAv90°

答案：

A

25.在不等边△ABC中，a为最大边，如果

A.90°vAv180°B.45

C.60°vAv90°D.0°

解析：

•••a2vb2+c2,「.b2+c2—a2>0,

J.22

bc-a

•cosA=>0,•Av90°,

2bc

又ta边最大，•A角最大

A+B+C=180°,「.3A>180•••A>60°,「.60°vAv90°答案：

C

26.

已知点A分BC的比为2,下列结论错误的是

解析：

数形结合可得C选项错误.

答案：

C

27.在厶ABC中，若B=30°,AB=23,AC=2,则厶ABC的面积为

A.2一3B..3

C.2,3或3D.2.3或4.3

•C=60°或120°,「.A=90°或30°

•-Saabc=—AB•AC•sinA=2.3或-3.

2

答案：

C

A

28.在厶ABC中，若sinB•sinC=cos2?

，则△ABC是

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等边三角形D.等腰直角三角形

1+cosA

解析：

•••sinB・sinC=1COsA

2

又cosA=cos[180°—（B+C）]=—cos（B+C）=—（cosBcosC—sinBsinC）

•2sinBsinC=1—cosBcosC+sinBsinC,

•cosBcosC+sinBsinC=1

•cos（B—C）=1,•B=C,

•△ABC是等腰三角形.

答案：

A

二、解答题

1.设e1,02是两个不共线的向量，已知AB=2e1+ke2,CB=e1+3e2,CD=2&—e2,若A、B、D三点共线，求k的值.

分析：

由于A、B、D三点共线，因此存在实数入，使AB=入BD，而BD=CD—CB

入、k的

=e1—4e2，将AB、BD的①、e2表达式代入上式，再由向量相等的条件得到关于

方程组，便可求得k的值.

解：

BD

=CD—CB=（2ei—e?

）—（e1+3e?

）

要注意两个向量共线和三点共线

评述：

此题解答关键是应用两个向量共线的充要条件，的区别和联系•

2•已知a、b是两个非零向量，当a+1b（t€R）的模取最小值时，

（1）求t的值；

（2）求证b±（a+tb）.

分析：

利用|a+1b|2=（a+1b）2进行转换，可讨论有关|a+tb|的最小值问题，若能算得b-（a+1b）=0,则证明了b±（a+tb）.

（1）解：

设a与b的夹角为0

则|a+tb|2=（a+1b）2

222

=a+2a•tb+1b

=|a|2+2t|a||b|cos0+12|b|2

=|b|2t2+（2|a||b|cos0）t+|a|2

="2（t+启皿2+|2朋

abab

（2）证明：

b•（a+tb）=b•（a—•b）=a•b—•b•b=a•b—a•b=0

|b|2|b|2

b±（a+1b）.

评述：

对|a+tb|变形，可以从两个角度进行思考，一是通过|a+1b|2=（a+1b）2的数

量积运算；二是通设坐标化思想，进行向量的坐标运算，从而达到求解求证目的

—一1

3•如图所示，OADB是以向量OA=a,OB=b为边的平行四边形，又BM=-BC,CN

3

1

=一CD，试用a,b表示OM,ON,MN.

3

解：

BA=OA-OB=a—b

111

•••BMBCBA（a—b）

366

OM=OBBM=b+1（a一b）=—a+—b

666

又由OD=a+b,得

11222

ONODODODa+b

26333

221511

MN=ON-OM=（—a+b）一（—a+b）=—a一b

336626

评述：

由于a,b不共线，因此a,b构成平行四边形OADB所在平面的一组基底，用它们可以表示出这个平面内的任何向量，将所要用a，b表示的向量连同a，b设法放在一个

三角形或平行四边形内，是解决此类问题的常见方法

4•已知0ABC所在平面内一点，且满足|0A|2|BC|2=|OB|2|CA|2=|OC|2

|AB|2.

求证：

O点是△ABC的垂心

证明：

设OA=a,OB=b,OC=c,贝VBC=c—b,CA=a—c,AB=b—a.

•/|OA|2+|BC|2=|OB|2+|CA|2=|OC|2+|AB|2

•••a2+（c—b）2=b2+（a—c）2=c2+（b—a）2

即c•b=a•c=b-a,

故AB•OC=（b—a）•c=b-c—a•c=0

BC•OA=（c—b）•a=c•a—b•a=0

•AB丄OC,BC丄OA,

•••点O是厶ABC的垂心.

5•如图所示，圆O内两弦AB、CD垂直相交于P点，求证：

PAPBPCP^2PO.

证明：

设M、N分别为圆O的两弦AB、CD的中点，连OM、ON，贝UOM丄AB,ON丄CD.

•••PAPB=2PM,PCPD=2PN

而AB丄CD，•四边形MPNO为矩形

•PMPN二PO,

•PAPBPCPD=2PO

6.已知△ABC中，A（2,—1）,B（3,2）,C（—3,—1）,BC边上的高为AD，求点D和向量AD的坐标.

解：

设点D坐标（x,y）,由AD是BC边上的高可得AD丄BC，且B、D、C共线,

ADBC=0

CD//DB

；（x—2,y+1）（-6,—3）=0©+3）（2—y）—（3-x）（y+1）=0

卜6（x-2）-3（y+1）=0

Jx+3）（2—y）—（3—x）（y+1）=0

2x+y_3=0

J

x_2y+1=0

x=1

解得丿

•••点D坐标为（1,1）,AD=（-1,2）

7•已知a、b、c分别为△ABC三内角A、B、C所对的边，且2（sinA—sinB）,sinA—sinC,2（sinB-sinC）成等比数列.

求证：

2b=a+c.

证明：

要证2b=a+c,由正弦定理只要证：

sinB—sinA=sinC—sinB即可：

由已知可得：

（sinA—sinC）2—4（sinA—sinB）

（sinB—sinC）=0，且sinA^sinB,构造方程：

（sinA—sinB）x2—（sinA—sinC）x+（sinB—sinC）=0，且x=1是方程的根△=（sinA—sinC）2—4（sinA—sinB）•（sinB—sinC）=0,.方程有两相等实根由韦达定理可知：

sinB_sinC=1

sinA—sinB

•sinB—sinC=sinA—sinB,故结论得证.

8.设i,j是平面直角坐标系内x轴，y轴正方向上的两个单位向量，且AB=4i+2j,AC=3i+4j，证明△ABC是直角三角形，并求它的面积.

解：

BC二AC-AB=（3i+4j）—（4i+2j）=—i+2j

•/AB•BC=（4i+2j）（—i+2j）=—4i2+6i•j+4j2=0,•AB丄BC

•△ABC是直角三角形，

••S=■—AB|•|BC|=—x2.5x5=5

22

9.已知△ABC中三内角满足A+C=2B,

cosAcosC

cosB

求cos口的值.

解：

由A+C=2B,可得B=60°,A+C=120°

A_C设=a，贝VA—C=2a,

2

•IA=60°+a,C=60°—a,

1111

--

cosAcosCcos（60'U）cos（60-：

）

•••2、2cos2a+cosa—=0

2

（2cosa—2）（2、.2cosa+3）=0

•••22cosa+3>0

…cosa

即cos~C

10.在厶ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,求证:

a2-b2sin（A-B）c2一sinC

证明：

Ta2=b2+c2—2bccosA,—=sinB,C=n—（A+B）

csinC

22

a-b2b2sinBcosA

21cosA=1-

ccsinC

sinC-2sinBcosAsin（AB）-2sinBcosAsinCsinC

sinAcosB「sinBcosAsin（A「B）

sinC

sinC

故原等式成立.

11.在△ABC中，BC=a,AC=b,AB=c,且c为最大边，若accosA+bccosBv4S,其中S为^ABC的面积.

求证：

△ABC为锐角三角形.

2.2

v2absinCv2ac

证明：

由余弦定理及三角形面积公式accosA+bccosBv4S

即b2+c2_a2丄ba2+c2_b

即ac•+bc•

2ac

2bc

•••a2（b2+c2-a2）+b2（a2+c2-b2）v4a2b2即（a2+b2）c2va4+2a2•b2+b4=（a2+b2）2

•c2va2+b2,

2*b?

_2

cosC=a—>0,•C为锐角

2ab

又c为最大边，故C为最大角，

•△ABC为锐角三角形.

12.在厶ABC中，sinA=一，判断这个三角形的形状

cosB+cosC

解：

由正弦定理、余弦定理可得：

b+c

a=~222222

ca-bab-c

2ca2ab

2.22222

ca-bab-c—

=b+c

2c2b

•-b（a?

—b?

）+c（a?

—c?

）=bc（b+c）

233

••（b+c）a=（b+c）+bc（b+c），

•a2=b2+c2，

•••△ABC是直角三角形.