深圳二模理科数学.docx
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深圳二模理科数学
绝密★启用前
试卷类型：
A
2013年深圳市高三年级第二次调研考试
数学（理科）2013.4
本试卷共6页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、姓名和考生号填写在答题卡指定位置上．用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的答案无效．
5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回．
参考公式：
锥体体积公式V1Sh，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高．
3
如果在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率记为P（B|A），那么
P（AB）P（A）P（B|A）．
一、选择题：
本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1．i为虚数单位，则i1等于
i
A．0B．2i
C．1i
D．1i
2．已知集合A{0,1}，则满足条件AB{2,0,1,3}的集合B共有
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．下列四个函数中，既是定义域上的奇函数又在区间（0，1）内单调递增的是
A．yx
B．yexex
C．yxsinx
D．ylg1x
1x
4．一支田径队有男运动员56人，女运动员42人，若用分层抽样的方法从全体运动员中
抽出一个容量为28的样本，则样本中女运动员的人数为
A．9B．10C．11D．12
x2y2
5．已知双曲线
a2b2
1的渐近线方程为y
3x，则以它的顶点为焦点，焦点为
顶点的椭圆的离心率等于
123
A．B．C．
222
D．1
6．已知xR，则x1是|x1||x1|2|x|的
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分也非必要条件
7．由曲线ysinx，ycosx与直线x0，xπ
2
所围成的平面图形（图1中的阴影部分）的面积是
yycosx
O
图1
ysinx
πx
2
π
A．1B．
4
C．22D．2
3
22
8．在1（1x）（1x）2（1x）3（1x）4（1x）5的展开式中，含x2项的系数是
A．10B．15C．20D．25
二、填空题：
本大题共7小题，考生作答6小题，
每小题5分，满分30分．
（一）必做题：
第9、10、11、12、13题为必做题．
9．某简单组合体的三视图如图2，其中正视图与侧视图相同（尺寸如图，单位：
cm），则该组
合体的体积是cm3（结果保留）．
1
1
正视图侧视图
1
2
俯视图图2
10．若直线ykx与曲线ylnx相切，则k
11．执行图3中程序框图表示的算法，其输出的结果
s为．
（注：
框图中的“＝”，即为“←”或为“：
＝”）
s0,t1,n0
sst2n
t1t
nn1
12．已知向量a（1,2），M是平面区域
x0,y0
xy10
2xy40
n8?
否
是
输出s
结束图3
内的动点，O是坐标原点，则aOM的最小值是．
13．在nn的方格中进行跳棋游戏．规定每跳一步只能向左，或向右，或向上，不能向
下，且一次连续行走的路径中不能重复经过同一小方格．
设f（n）表示从左下角“○”位置开始，连续跳到右上角☆
“☆”位置结束的所有不同路径的条数．如图4，给出了
n3时的一条路径．则
○
f（3）；f（n）．
图4
（二）选做题：
第14、15题为选做题，考生只能从中选做一题．
14．（坐标系与参数方程选做题）
在极坐标系中，圆3cos上的点到直线cos（）1的距离的最大值是．
3
15．（几何证明选讲选做题）T
如图5，P是圆O外一点，PT为切线，T为切点，
割线PAB经过圆心O，PT2
则PTA．
A
3，PB6，PB
O
图5
三、解答题：
本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
已知△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，
且a2b2c2．
（1）求角C的大小；
ab
（2）求
c
的取值范围．
17．（本小题满分12分）
一个箱中原来装有大小相同的5个球，其中3个红球，2个白球．规定：
进行一次操作是指“从箱中随机取出一个球，如果取出的是红球，则把它放回箱中；如果取出的是白球，则该球不放回，并另补一个红球放到箱中．”
（1）求进行第二次操作后，箱中红球个数为4的概率；
（2）求进行第二次操作后，箱中红球个数的分布列和数学期望．
18．（本小题满分14分）
如图6，已知四边形ABCD是矩形，AB2BC2，三角形PAB是正三角形，且平面ABCD平面PCD．
（1）若O是CD的中点，证明：
BOPA；
（2）求二面角BPAD的余弦值．A
DB
OP
C
图6
19．（本小题满分14分）
已知数列{an}，{bn}满足：
a10，b12013，且对任意的正整数n，an，an1，
bn和an1，bn1，bn均成等差数列．
（1）求a2，b2的值；
（2）证明：
{anbn}和{an2bn}均成等比数列；
（3）是否存在唯一的正整数c，使得ancbn恒成立？
证明你的结论．
20．（本小题满分14分）
已知动点M到点F（0,1）的距离与到直线y4的距离之和为5．
（1）求动点M的轨迹E的方程，并画出图形；
（2）若直线l：
yxm与轨迹E有两个不同的公共点A、B，求m的取值范围；
（3）在
（2）的条件下，求弦长|AB|的最大值．
y
8
7
6
5
4
3
2
1F（0,1）
y4
54
32
1O
1
2
12345x
图7
21．（本小题满分14分）
定义（x,y）＝｜exy|y|xlny|，其中xR，yR．
（1）设a0，函数f（x）（x,a），试判断f（x）在定义域内零点的个数；
（2）设0ab，函数F（x）（x,a）（x,b），求F（x）的最小值；
（3）记
（2）中的最小值为T（a,b），若{an}是各项均为正数的单调递增数列，
n
证明：
T（ai,ai1）（an1a1）ln2．
i1
补充：
13.解：
由给出的3×3方格看出，要从左下角“○”位置开始，连续跳到右上角“☆”位置，需要先从第一行跳到第二行，共有3种跳法，跳到第二行的每一个方格内要完成到达右上角“☆”位置，又可以看作从该方格有几种到达第三行的方法，所以该题只需思考向上走就行了，从第一行到第二行有3种跳法，从第二行到第三行也有3种跳法，故
f（3）=32=9．由此可推得n×n的方格中从左下角“○”位置开始，连续跳到右上角“☆”位置的方法种数是n-1个n的乘积．即f（n）=nn-1．
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