新课标高考概率与统计研究.docx
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新课标高考概率与统计研究
新课标高考“概率与统计”研究
一 “新课标”与以往教学大纲在概率统计内容的对比分析
统计
内容
课程标准
旧考试大纲
区别
随
机
抽
样
1．能从现实生活或其他学科中提出具有一定价值的统计问题．
2．结合具体的实际问题情境，理解随机抽样的必要性和重要性．
3．在参与解决统计问题的过程中，学会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；通过对实例的分析，了解分层抽样和系统抽样方法．
4．能通过试验、查阅资料、设计调查问卷等方法收集数据．
会用简单随机抽样、系统抽样、分层抽样等常用的抽样方法从总体中抽取样本．
课标加强了对统计的作用与基本思想、抽样与样本的理解和三种收集数据方法的掌握，但对分层抽样和系统抽样却只要求了解．
用
样
本
估
计
总
体
1．通过实例体会分布的意义和作用，在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表、画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，体会他们各自的特点．
2．通过实例理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据标准差．
3．能根据实际问题的需求合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并作出合理的解释．
4．在解决统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征；初步体会样本频率分布和数字特征的随机性．
5．会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想，解决一些简单的实际问题；能通过对数据的分析为合理的决策提供一些依据，认识统计的作用，体会统计思维与确定性思维的差异．
6．形成对数据处理过程进行初步评价的意识．
1．会用样本频率分布去估计总体分布．
2．了解正态分布的意义及主要性质．
课标加强了用四种方式表示样本数据，用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，但
对正态分布不做要求
变
量
间
的
相
互
关
系
1．通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系．
2．经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程．知道最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程．
了解线性回归的方法和简单应用．
课标加强了线性回归方程过程的理解和认识．
概率
内容
课程标准
旧考试大纲
区别
随
机
事
件
的
概
率
1．在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，进一步了解概率的意义以及频率与概率的区别．
2．通过实例，了解两个互斥事件的概率加法公式．
1．了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义．
2．了解等可能事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些可能事件的概率．
3．了解互斥事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式计算一些事件的概率．
1．课标主要通过大量实例，来介绍频率和概率，要求学生对相关知识的了解，对计算等可能事件的概率要求很低．
2．大纲对相关知识在了解的基础上，要求学生会用排列组合的基本公式计算一些可能事件的概率．
古
典
概
率
3．通过实例，理解古典概型及其概率计算公式，会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率．
4．了解相互独立事件的意义，会用相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率．
5．会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．
3．课标中古典概率部分无排列组合知识作基础，主要是利用穷举法寻找基本事件的个数，运算较易．
几
何
概
率
4．了解随机数的意义，能运用模拟方法（包括计算器产生随机数来进行模拟）估计概率，初步体会几何概型的意义（参见例3）．
5．通过阅读材料，了解人类认识随机现象的过程．
6．本节内容大纲不作要求．
4．课标新增的内容有几何概型问题和运用模拟方法（包括计算器产生随机数来进行模拟）估计概率．
5．课标与教学大纲比较更加重视现代科学技术在鳃决实际问题中作用．更多地体现了本章知识的趣味性和科学性．
二、考点分布
1.随机事件及其概率
2.古典概型
3.几何概型
4.离散型随机变量的分布列
5.均值与方差
6.二项分布及其应用
7.抽样方法
8.频率分布直方图与茎叶图
9.样本的数字特征
10.变量间的相关性
11.独立性检验
三、考纲解读
1.掌握随机事件及概率的有关概念，能以生活中的实例为背景，用频率估计随机事件发生的概率．
2.理解古典概型的意义及概率计算公式，能用列举法列举出所有的基本事件并求某一事件的概率．
3.了解几何概型的意义，会解与几何概型相交汇的线性规划、圆及其他图形的概率．
4.确定离散型随机变量的取值；会求实际问题的分布列，能利用分布列解决有关问题．
5.能计算简单随机问题的均值、方差，能利用它们解决一些实际问题．
6.理解条件概率、相互独立事件的概率、次独立重复试验中事件恰好发生次的概率，能利用上述概率公式计算有关事件的概率．
7.了解随机抽样的意义，会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；会根据分层抽样比计算总体或样本中的个体数．
8.会画频率分布直方图、茎叶图，能从中读取相关信息，会用样本频率分布估计总体分布．
9.了解众数、中位数、平均数、标准差，会用样本的数字特征估计总体的数字特征．
10.会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系；能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程．
11.了解独立性检验（只要求列联表）的基本思想、方法及简单应用，能通过计算判断两个变量的相关程度．
四、理科试题研究
（一）纵向研究：
连续五年试题分布、分值统计
1.全国卷（宁夏、海南）试题分布（2007-2011）
年份
题号
分数
题型
考点
总分
2012
15
5
选择题
正态分布的随机变量在指定区间上的概率
17分
18
12
解答题
概率分布列、数学期望及方差
2011
（4）
5
选择题
古典概型
17分
（19）
12
解答题
频率分布表离散型随机变量分布列、期望
2010
（6）
5
选择题
二项分布
期望值
22分
（13）
5
选择题
模拟方法
随机数
几何概型
（19）
12
解答题
列联表样本估计总体，抽样方法
2009
（3）
5
选择题
散点图、两个变量的相关性
17分
（18）
12
解答题
等可能事件、相互独立事件的概率、频率分布直方图、平均数
2008
（16）
5
填空题
茎叶图
17分
（19）
12
解答题
分布列、数学期望、方差
2007
（11）
5
选择题
标准差
17分
（20）
12
解答题
模拟方法、几何概型、均值、概率
2.广东卷试题分布（2007-2011）
年份
题号
分数
题型
考点
总分
2012
7
5
选择题
古典概率
18
17
13
解答题
条形图与分布列,期望
2011
（6）
5
选择题
互斥事件和相互独立事件的概率
22分
（13）
5
填空题
线性回归分析
（17）
12
解答题
分层抽样、离散型随机变量分布列、期望
2010
（7）
5
选择题
正态分布
17分
（17）
12
解答题
频率分布直方图、离散型随机变量的分布列、概率
2009
（12）
5
填空题
离散型随机变量分布列的期望、方差
17分
（17）
12
解答题
互斥事件的概率相互独立事件的概率概率分布数学期望
2008
（3）
5
选择题
抽样方法
18分
（17）
13
解答题
概率分布，数学期望
2007
（6）
5
选择题
条性统计图与算法框图
22分
（9）
5
填空题
古典概型与相互独立事件的概率
（17）
12
解答题
散点图线性回归方程
注：
2008-2010年广东卷理科每年有一道排列组合应用题，2011年把这道排列组合应用题变为概率与统计的题目.
3.山东卷试题分布（2007-2011）
表3 山东卷试题分布（2007-2011）
年份
题号
分数
题型
考点
总分
2012
4
5
选择题
抽样方法
22
11
5
选择题
古典概率
19
12
解答题
互斥事件和相互独立事件的概率，离散型随机变量分布列、期望
2011
（7）
5
选择题
线性回归方程
17分
（18）
12
解答题
互斥事件和相互独立事件的概率，离散型随机变量分布列、期望
2010
（5）
5
选择题
正态分布
22分
（6）
5
选择题
平均值
方差
（20）
12
解答题
相互独立事件同时发生的概率离散型随机变量的分布列数学期望
2009
（8）
5
选择题
频率分布直方图
22分
（11）
5
选择题
三角函数的值域几何概型
（19）
12
解答题
互斥事件的概率相互独立事件的概率概率分布数学期望
2008
（7）
5
选择题
古典概型
22分
（8）
5
选择题
茎叶图
平均数
（18）
12
解答题
独立重复事件的概率分布（二项分布）数学期望互斥事件的概率
2007
（8）
5
选择题
频率分布直方图
22分
（12）
5
选择题
相互独立事件的概率
（18）
12
解答题
互斥事件的概率、数学期望、条件概率
附：
山东卷试题特点
1.“概率与统计”试题的题量大致为3道题；分值约占全卷总分的14.7%或18%，试题难度为中等偏易或中等.
2.“概率与统计”试题通常是对课本试题进行改编，通过对基础知识的重新组合、变式和拓展，从而加工为立意高、情境新、设问巧、并赋予时代气息、贴近学生实际的问题.这样的试题体现了数学试卷新的设计理念.尊重不同考生群体思维的差异，贴近考生的实际，体现了人文教育的精神和数学的应用意识.
3.概率统计试题主要考察基本概念和基本公式，如古典概型、几何概型、互斥事件的概率、独立事件的概率、条件概率、事件在n次独立重复试验中恰发生k次的概率、离散型随机变量分布列和数学期望、方差、二项分布、频率分布、茎叶图、抽样方法、正态分布等内容.
4.概率统计试题在试卷中的题型变化不大，近年都是两道或三道选择题和一道解答题，由此可以看出，试题逐步稳定，并成为高考卷中的主流应用题.
（二）横向研究：
2010年高考全国新课标卷理科概率与统计命题统计
表4 2010高考理科统计与概率试题统计表
试卷
题号
题型
分值
考查的主要知识点
主要能力要求
北京卷
11
填空
5
分层抽样；频率分布直方图。
掌握分层抽样方法；理解频率分布直方图的构造，能从分层抽样频率分布直方图计算样本中包含各总分的个体数方法。
17
解答
13
对立事件、独立事件、离散型随机变量的分布列及数学期望。
掌握对立事件、独立事件乘积的概率计算；能从离散型随机变量的分布列计算随机变量在不同情形下的概率。
陕西卷
13
填空
5
几何概型。
能利用积分方法求出曲三角形面积确定概率。
19
解答
12
分层抽样；频率分布直方图；古典概型。
能分层抽样频数与比例估计样本总体数；由统计图计算样本容量与各部分样本数，从而计算某个事件的概率；古典概型的概率。
14
填空
5
Bernoulli概型；离散型随机变量的分布列及数学期望。
Bernoulli从离散型随机变量的分布列的构造及数学期望计算概率方法。
湖南卷
11
填空
5
几何概型。
理解几何概型的原理，掌握其计算方法。
17
解答
12
分层抽样；频率分布直方图；Bernoulli概型；散型随机变量的分布列的构造及数学期望。
能根据分层抽样的统计图计算某个频数；计算某一部分样本容量以及相应的概率。
运用概率知识解决实际问题的能力。
天津卷
11
选择
5
茎叶图。
掌握茎叶图的计算方法，能用茎叶图计算均值。
18
解答
12
二项分布及其概率计算公式、离散型随机变量的分布列、互斥事件和相互独立事件等基础知识。
掌握二项分布及其概率计算公式、离散型随机变量的分布列、互斥事件和相互独立事件概率的计算方法，运用概率知识解决实际问题的能力。
辽宁卷
3
选择
5
对立事件、独立事件。
掌握对立事件、独立事件乘积的概率计算。
18
解答
12
古典概型、分层抽样、频率分布直方图的构造、频率分布中位数。
掌握分层抽样方法，理解频率分布直方图的构造，能从分层抽样频率分布直方图计算样本中包含各部分的个体数方法；运用概率知识、独立性检验解决实际问题的能力（与新课标类似）。
安徽卷
5
选择
5
互斥事件、古典概型、条件概率、全概率公式。
理解完备事件组和条件概率的基本概念，掌握全概率公式。
18
解答
13
独立事件、离散型随机变量的分布列。
掌握离散型随机变量的分布列的构造方法；在复杂情况下进行分析计数、将概率思想在实际生活中的应用的能力。
浙江卷
19
解答
14
离散型随机变量的分布列及数学期望、二项分布。
掌握离散型随机变量的分布列的构造及数学期望的计算、能根据实际情况分析选择正确的概率计算方法。
福建卷
13
填空
4
对立事件、独立事件乘积的概率。
掌握独立事件乘积的概率计算方法；能根据具体情形分析选择方法，将概率思想在实际生活中的应用的能力。
16
解答
13
一元二次不等式的解集、样本空间、离散型随机变量的分布列及数学期望。
理解样本空间、事件所包含的样本的意义；掌握离散型随机变量的分布列的构造及数学期望的计算。
广东卷
7
选择
5
正态分布。
理解正态分布图像的对称性，能根据图像计算概率。
17
解答
12
分层抽样、频率分布直方图、古典概型。
掌握古典概型的概率计算方法；理解分层抽样方法，频率分布直方图的构造，能从分层抽样频率分布直方图计算样本中包含各部分的个体数的方法；运用概率知识解决实际问题的能力。
山东卷
5
选择
5
正态分布。
理解正态分布图像的对称性，能根据图像计算概率。
6
选择
5
样本方差。
能计算样本方差。
20
解答
12
互斥事件的概率、样本空间、离散型随机变量的分布列及数学期望。
理解样本空间、事件所包含的样本的意义；掌握互斥事件的概率的计算方法和离散型随机变量的分布列的构造及数学期望的计算。
江苏卷
3
填空
5
古典概型知识。
会根据实际情况计算古典概型的概率。
4
填空
5
频率分布直方图。
理解频率分布直方图的构造，能从分层抽样频率分布直方图计算样本中包含各部分的个体数方法。
22
附加必作
10
独立事件；离散型随机变量的分布列及数学期望。
掌握独立事件乘积的概率计算方法；掌握离散型随机变量的分布列的构造及数学期望的计算；运用概率知识解决实际能力。
上海卷
6
选择
4
离散型随机变量的分布列及数学期望。
掌握离散型随机变量的分布列的构造及数学期望的计算。
9
填空
4
古典概型；互斥事件及其和的概率。
掌握古典概型、互斥事件及其和的概率计算方法。
新课标卷
宁夏海南吉林
6
选择
5
Bernoulli概型；离散型随机变量的分布列及数学期望。
掌握Bernoulli概型的计算方法、离散型随机变量的分布列构造及数学期望的计算。
19
解答
12
分层抽样、独立性检验。
运用概率知识、独立性检验解决实际问题的能力。
对表4的能力考查分析统计，大多数试题的主要能力要求为：
理解分层抽样的原理，掌握频率分布直方图的构造，能根据频率分布直方图计算样本容量与各部分样本数，从而计算某个事件的概率；掌握古典概型、互斥事件、独立事件、Bernoulli概型等概率的计算；掌握离散型随机变量的分布列的构造及生产生活实践.
通过对全国及各省（新课标地区）高考理科“统计与概率”试题的统计分析，可得出分层抽样、频率分布直方图、古典概型、互斥事件、独立事件、Bernoulli概型、离散型随机变量的分布列及其数字特征和正态分布等为教学重点，会用样本估计总体，注意联系生产和生活实践，重视独立性检验.
五、对概率统计的教学实施策略及备考建议
1．重视教材的基础作用
教材是学习数学基础知识，形成基本技能的“蓝本”，是高考试题的重要知识载体。
纵观高考试卷中的概率统计试题，大多数试题源于教材，特别是客观题都是从课本上的练习题或习题改编的，既使是解答题，也是由教材例、习题的组合、加工和拓展而成，充分表现出教材的基础作用。
复习阶段必须按《课标》和《考试说明》的要求，以课本的例、习题为素材，深入浅出、举一反三地加以类比、延伸和拓展，在“变式”上下功夫，力求对教材内容融会贯通，只有这样，才能“以不变应万变”，达到事半功倍的效果。
当然，如果再做一些经典的高考试题，对考生的复习也是很有效的。
对于这部分知识，考生还应当重视其与传统内容的有机结合，重视概率统计的应用功能。
它的实际应用性是考生备考时应当着力思考的。
2．重视数学思想方法的渗透
数学思想方法作为数学的精髓，历来是高考数学考查的重中之重。
它蕴涵在数学知识发生、发展和应用的全过程。
概率统计为人们处理现实数据信息，分析、把握随机事件，提供了强有力的工具（计算随机事件发生的概率、求随机变量的数学期望与方差）。
也更加丰富、完善了中学数学思想方法，进一步拓宽了知识的应用空间。
因此，合关系分得清、式子列得出、解答的对是正确解答概率问题的有效手段。
3.重视对近三年新课改数学高考考题的研究
4.重视统计的案例教学过程，培养学生归纳思维的能力
案例教学是统计教学的一种基本模式，学生通过具体案例，让学生系统地经历数据收集与处理的全过程：
提出统计问题，收集信息、整理信息，从中提取信息，并说明问题，在此过程中不断加深对统计的理解。
在统计教学中，通过收集数据、利用图表整理和分析数据、求出数据的数字特征、进行统计推断，这就是通过对数据的处理，归纳出数据特征的过程。
要特别注重统计的过程，即让学生经历“收集数据——整理数据——分析数据——作出推断”的数据处理过程，在此过程中学习一些数据处理的方法，运用所学的知识和方法去解决实际问题，并培养学生归纳思维的能力。
六、知识解析和命题趋势探讨
1.随机事件的概率，互斥事件的概率，古典型概型，几何概型
试题主要考查基本概念和基本公式，集中在等可能性事件的概率、对立事件的概率、相互独立事件的概率、独立重复试验等五个基本概率类型进行了考查。
文科估计仍然以解答题形式出现，而理科以选择题、填空题和解答题的形式考查，继续考查五大概率基本模型、仍然以离散型随机变量分布列和数学期望形式出现。
2.离散型随机变量分布列和数学期望、方差是数学高考的一大热点
这类属于生活背景的实际问题往往比较抽象，学生阅读难以明白题意，思维并不简单，求离散型随机变量的期望关键是写出离散型随机变量的分布列，而写出分布列的关键又是离散型随机变量每取一个值时相应实验的结果可能的情况，能正确用文字语言表达，并能够正确求出其概率。
计算量不大，往往会因取值多（或少）致错，或实验的结果遗漏（重复）而概率求错，或缺乏必要的文字说明，得分率较低。
关于正态分布的考查层次还较低，难度不大。
3.统计试题主要考查抽样方法，频率分布表和频率分布直方图
抽样方法主要考查分层抽样，较为简单。
文科以表格数据的形式考查抽样的方法、样本茎叶图、样本均值与方差、古典概率的题目居多，而理科以文字描述形式考查频率分布直方图、离散型随机分布列和期望的题目居多。
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