知识点005因式分解.docx
《知识点005因式分解.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《知识点005因式分解.docx（55页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
知识点005因式分解
一、选择题
1.（2012安徽，4，4分）下面的多项式中，能因式分解的是（）
A.m2+nB.m2－m+1C.m2－nD.m2－2m+1
考点解剖：
本题考查了因式分解的方法，掌握因式分解的方法是解答本题的关键．
解题思路：
因式分解的方法有两种：
提公因式法和公式法，把选项中能用提公因式法或公式法分解因式的多项式找出来即可．
解答过程：
选项A中的两项没有公因式，更不符合公式法的形式，不能因式分解；选项B有一点象完全平方公式，但一次项系数缺少了2倍，也不能因式分解，选项C没有公因式，用平方差公式第二项由缺少了平方，因此不能因式分解，只有选项D能用完全平方公式进行因式分解．故选D
答案：
D.
规律总结：
1.能用提公因式法分解因式的多项式，各项必须存在公因式，这个公因式可以是单项式，也可以是多项式；2.能用平方差公式分解因式的多项式应满足条件是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反；能用完全平方公式分解因式的多项式应符合a2±2ab+b2=（a±b）2，左边是三项式，两项都能写成平方的形式且符号相同，另一项是这两个数乘积的2倍．
关键词：
因式分解提取公因式法运用公式法
2.（2012内蒙古呼和浩特，4，3分）下列各因式分解正确的是（）
A.
B.
C.
D.
考点解剖：
此题考查的是因式分解的定义，将多项式变成几个整式的积的形式即可.
解题思路：
先要理解因式分解的意义，再利用所学的相关公式逐个判断就能找到答案.特别要注意对各公式的理解与记忆.
解答过程：
解：
A中
，故错误；
B中应该是
，符号上错误；
D中
，提取公因式后不能再利用平方差公式分解，故错误，所以正确答案是C.
规律总结：
本题考查的是因式分解的意义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．特别要注意利用平方差公式和完全平方公式对整式进行因式分解.
关键词：
因式分解 提取公因式 完全平方公式 平方差公式
3.（2012四川凉山州，5，4分）下列多项式能分解因式的是（）
A．
B．
C．
D．
考点解剖：
本题考查了因式分解的意义，熟练掌握因式分解的各种方法是解题的关键.
解题思路：
因式分解的主要方法有：
提公因式法和公式法等．分别用各种方法检验是否能够分解.
解答过程：
解：
A．不能分解；B．﹣x2﹣y2=﹣（x2+y2），不能分解；C．﹣x2+2xy﹣y2=﹣（x2﹣2xy+y2）=﹣（x﹣y）2，故能够分解；D．不能分解．故选C.
规律总结：
因式分解问题应首先考虑是否能提公因式，找公因式应从系数、字母和字母的指数三个方面分别考虑.没有公因式或提公因式后，再根据项数考虑公式法，两项则判定是否可用平方差公式，三项则判定是否可用完全平方公式，三项以上则应考虑使用分组分解法.
关键词：
因式分解公式法
4.（2012浙江温州，5，4分）把多项式
分解因式，结果正确的是（）
A．
B．
C．
D．
考点解剖：
提公因式法分解因式．因式分解的结果一定是整式的乘积的形式，并且按照多项式的乘法法则可以把分解的结果逆运算得到原来的多项式．
解题思路：
各项含有因式a,首先需提取公因式．
解答过程：
原式＝
＝
．故选A．
规律总结：
多项式的因式分解，首先需观察看有无公因式可提，然后再考虑用公式法分解．
关键词：
因式分解，提公因式法．
5.（2012江苏无锡，3，3分）分解因式（x－1）2－2（x－1）+1的结果是（）
A．（x－1）（x－2）B．x2C．（x+1）2D．（x－2）2
考点解剖：
本题考查了因式分解的知识。
利用完全平方公式a2±2ab+b2=（a±b）2分解因式是解题关键。
解题思路：
把（x－1）作为整体，利用a2－2ab+b2=（a－b）2进行因式分解
解答过程：
解：
∵a2－2ab+b2=（a－b）2∴（x－1）2－2（x－1）+1=〔（x－1）-1〕2=（x－2）2故选D
规律总结：
因式分解的一般步骤：
若有公因式，先提公因式；然后再考虑用公式法或其它方法分解；直到每个因式都不能再分解为止.
关键词：
公式法因式分解整体思想
6.（2012山东济宁，4，3分）下列式子变形是因式分解的是（）
A．
B．
C．
D．
考点解剖：
本题考查因式分解的定义以及方法．因式分解的方法有提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法,灵活掌握因式分解的过程是关键．
解题思路：
多项式由和差的形式化到乘积的形式叫因式分解，由乘积形式化到和差的形式是多项式乘法．
解答过程：
的右边最终还是和的形式，所以不是因式分解，故A选项错误；
满足由多项式由和差形式化为乘积形式，且右边（X－2）（X－3）＝X2－3X-2X＋6＝X2－5X＋6，等号的左边和右边相等，所以B选项正确；
是将乘积的形式化成和差的形式，是多项式乘法而不是因式分解，所以C选项错误．
“看起来”满足由多项式由和差形式化为乘积形式，但是
，与等式的左边
不等，所以D选项错误．故选B．
规律总结：
因式分解的三步曲：
一提公因式，二套公式，三分组．因为所给多项式有公因式A，故先提取公因式A．提公因式后括号里有两项，它们能写成平方差的形式，所以再用平方差公式分解;若满足X2＋（A＋B）X＋AB则用十字相乘法因式分解；若满足“首平方，尾平方，二倍乘积在中央”，则用完全平方公式分解因式；若所给的式子多于三项则用分组分解．所给式子四项则用“二二式”或者“三一式”分解因式，五项的用“二三式”分解因式．
关键词：
多项式乘法，因式分解
7.（2012湖北恩施，5，3分）a4b－6a3b＋9a2b分解因式的正确结果是（）
A．a2b（a2－6a＋9）B．a2b（a＋3）（a－3）C．b（a2－3）2D．a2b（a－3）2
考点解剖：
本题考查了分解因式的方法.分解因式的一般步骤是：
先提公因式，再运用公式.
解题思路：
先提公因式a2b，得a2b（a2﹣6a+9），再应用完全平方公式将a2﹣6a+9进行分解.
解答过程：
解：
a4b﹣6a3b+9a2b=a2b（a2﹣6a+9）=a2b（a﹣3）2．
规律总结：
分解因式的一般步骤是：
先提公因式，再运用公式，注意检查每个因式是否能继续分解.
关键词：
分解因式
8.（2012贵州黔南州，2，4分）下列多项式中，能用公式法分解因式的是（）
A．x2－xyB．x2＋xyC．x2－y2D．x2＋y2
考点解剖：
本题考查了用公式法分解因式，熟悉平方差公式是解题的关键.
解题思路：
公式法指的是①平方差公式：
a2﹣b2=（a+b）（a﹣b），②完全平方公式：
；
，观察所给各式是否具有平方差的形式.
解答过程：
解：
x2﹣xy=x（x﹣y），x2+xy=x（x+y），故A、B只能用提公因式法分解因式；x2﹣y2=（x+y）（x﹣y），故C能用公式法分解因式；D不能分解分式.故答案为C.
规律总结：
只有具有平方差的形式的多项式才能应用平方差公式法分解因式.
关键词：
分解因式公式法
9.（2012湖南邵阳4,3分）把
因式分解的最终结果是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点解剖：
本题考查因式分解，提公因式法和公式法是常用的方法，注意要分解到不能再分解为止。
解题思路：
找到公因式，用提公因式法分解因式。
解答过程：
=
。
故答案为：
A。
规律总结：
一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再观察能不能用公式法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
关键词：
分解因式
10.（2012江苏无锡，3，3分）分解因式（x－1）2－2（x－1）+1的结果是（）
A．（x－1）（x－2）B．x2C．（x+1）2D．（x－2）2
考点解剖：
本题考查了因式分解的知识。
利用完全平方公式a2±2ab+b2=（a±b）2分解因式是解题关键。
解题思路：
把（x－1）作为整体，利用a2－2ab+b2=（a－b）2进行因式分解
解答过程：
解：
∵a2－2ab+b2=（a－b）2∴（x－1）2－2（x－1）+1=〔（x－1）-1〕2=（x－2）2故选D
规律总结：
因式分解的一般步骤：
若有公因式，先提公因式；然后再考虑用公式法或其它方法分解；直到每个因式都不能再分解为止.
关键词：
公式法因式分解整体思想
11.（2012青海西宁，4，3分）下列分解因式正确的是
A、3x2-6x=x（x-6）B、-a2+b2=（b+a）（b-a）
C、4x2-y2=（4x-y）（4x+y）D、4x2-2xy+y2=（2x-y）2
考点解剖：
本题考查了因式分解的知识。
熟练运用各种因式分解的方法正确分解因式是解题关键。
解题思路：
A.3x2-6x先考虑提取公因式法；B.-a2+b2无公因式，且项数为2项，故考虑用平方差公式分解因式；C.4x2-y2无公因式，但项数为2项，故考虑用平方差公式分解因式；D.4x2-2xy+y2无公因式，但项数为3项，故考虑利用完全平方公式分解因式，但显然中间项不满足2ab的条件。
解答过程：
解：
A.∵3x2-6x的公因式为3x∴3x2-6x=3x（x-2），故A错误；B.1.∵-a2+b2=-（a2-b2）,a2-b2=（a+b）（a-b）∴-a2+b2=-（a-b）（a+b）=（b+a）（b-a）；2.∵a2-b2=（a+b）（a-b）∴-a2+b2=-（b2-a2）=－（b+a）（b-a）,故B正确；C.∵a2-b2=（a+b）（a-b）∴4x2-y2=（2x）2-（2y）2=（2x-y）（2x+y），故C错误；D.4x2-2xy+y2的中间项不是2×2x×y，故不能因式分解，故D错误
故选B
规律总结：
分解因式关键是选择合适的方法。
分解因式的步骤是一提（提公因式）、二套（套公式）、三验（检验是否分解彻底）．套公式时可根据需分解多项式的项数进行选择：
如果是两项，一般是平方差公式；三项，一般是完全平方公式。
提取公因式的具体方法是：
当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，且多项式的次数取最低的。
平方差公式：
a2-b2=（a+b）（a-b）。
完全平方公式为a2±2ab+b2=（a±b）2。
关键词：
因式分解
12.（2012广西崇左，4，3分）一次课堂练习，小敏同学做了如下4道因式分解题，你认为小敏同学做得不够完整的一题是（）
A.
B.
C.
D.
考点解剖:
本题考察了因式分解的方法.
解题思路：
因式分解做得是否完整，主要看结果能不能再因式分解，而D选项中的因式
（
）还可以进行分解.
解答过程:
解：
D中
还可以分解为
，则D选项：
，故选D
规律总结：
分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。
关键词：
因式分解.
13.（2012台湾，14，3分）下列四个选项中，哪一个为多项式8x2－10x＋2的因式？
A．2x－2B．2x＋2C．4x＋1D．4x＋2
考点解剖：
本题考查了因式分解的知识：
因式分解两步骤：
先提取公因式，后考虑利用公式法或其它方法如十字相乘法．
解题思路：
先提公因式得2（4x2－5x＋1），4x2－5x＋1再用十字相乘法得（4x-1）（x-1）
解答过程：
解：
8x2－10x＋2＝2（4x2－5x＋1）＝2（4x－1）（x－1）＝（4x－1）（2x－2）
故选A．
规律总结：
因式分解的一般步骤：
若有公因式，先提公因式；然后再考虑用公式法或其它方法分解；直到每个因式都不能再分解为止.
关键词：
因式分解提取公因式法十字相乘法
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
二、填空题
1.（2012福建泉州，9,4）因式分解：
=。
考点解剖：
因式分解
解题思路：
两项中有公因式，可直接提取公因式
解答过程：
x
－5x=x（x－5）；
【答案】
规律总结：
在进行因式分解的过程中，一般要“一提，二看，三分组”，即先提取公因式，然后看是否能构成完全平方公式及平方差公式，若不能，则要利用分组进行因式分解.
关键词：
因式分解；
2.（2012广东广州，13，3分）分解因式：
*．
【答案】a（a-8）
考点解剖：
本题考查了分解因式．掌握提取公因式法是解本题的关键．
解题思路：
直接提取公因式即可．
解答过程：
解：
．故
．
规律总结：
分解因式主要有两种方法，分别是提取公因式法和运用公式法，并且优先考虑提取公因式法，因式分解要进行到不能再分解为止．
关键词：
分解因式；提取公因式法
3.（2012广东省，6，4分）分解因式：
2x2－10x=.
【答案】2x（x－5）
考点解剖：
本题考查了分解因式．掌握提取公因式法是解本题的关键．
解题思路：
直接提取公因式2x即可．
解答过程：
解：
．故
．
规律总结：
分解因式主要有两种方法，分别是提取公因式法和运用公式法，并且优先考虑提取公因式法，因式分解要进行到不能再分解为止．
关键词：
提取公因式法
4.（2012广西桂林，13，3分）因式分解：
．
考点解剖：
此题考查的是因式分解的技巧，利用口诀是根本.
解题思路：
因式分解一般是按“一提二套三分组”进行的.直接提取公因式即可得到答案.
解答过程：
解：
，故答案为2x（2x-1）.
答案：
2x（2x-1）
规律总结：
因式分解就是把多项式变形成几个整式积的形式，常用的因式分解的方法有：
提取公因式法、公式法和分组分解法.一般是按“一提二套三分组”的顺序进行的.一提是提取公因式，注意在提取公因式时要提完整；二套是套用平方差公式和完全平方公式，注意公式中的符号；三分组是分组分解法.
关键词：
因式分解 提取公因式
5.（2012贵州安顺，12，4分）分解因式：
a3−a=___________
考点解剖：
本题考查了因式分解的知识.因式分解两步骤：
先提取公因式，后考虑利用公式法.
解题思路：
先提公因式，再用公式.原式=a（a2-1）=a（a+1）（a-1）．
解答过程：
解：
原式=a（a2-1）=a（a+1）（a-1）．故答案为：
a（a+1）（a-1）．
规律总结：
因式分解的一般步骤：
若有公因式，先提公因式；然后再考虑用公式法或其它方法分解；因式分解要分解到每个因式都不能再分解为止.
关键词：
提取公因式法运用公式法因式分解
6.（2012湖北黄冈，10，3分）分解因式x3－9x＝
__．
考点解剖：
本题考查了因式分解的知识.因式分解两步骤：
先提取公因式，后考虑利用公式法.
解题思路：
先提公因式，再用公式法.
解答过程：
解：
原式＝x（x2－9）＝x（x+3）（x－3），故答案为：
x（x+3）（x－3）．
规律总结：
因式分解的一般步骤：
若有公因式，先提公因式；然后再考虑用公式法或其它方法分解；直到每个因式都不能再分解为止.
关键词：
提取公因式法公式法因式分解
7.（2012湖南常德，3，3分）分解因式：
m2-n2＝．
考点解剖：
本题考查了利用平方差公式进行因式分解，解题的关键能够灵活运用平方差公式．
解题思路：
本题符合平方差公式的结构特点，因此直接用平方差公式分解因式即可．
解答过程：
m2-n2＝（m＋n）（m－n）．
规律总结：
因式分解的一般步骤是：
一先考虑提公因式法，二在考虑用公式法（公式法主要是平方差公式和完全平方公式），对于有些多项式还需要化简后，再分解因式．
关键词：
整式因式分解平方差公式
8.（2012湖南怀化，9，3分）分解因式x2－xy＋xz－yz=．
考点解剖：
本题考查了因式分解的知识．因式分解时，要先观察原多项式的各项是否含有公因式，再观察多项式的项数，根据项数的多少和项的特点选择公式法或分组分解法分解因式．
解题思路：
先分组分解，再提取公因式．
解答过程：
解：
原式=（x2－xy）＋（xz－yz）=x（x－y）＋z（x－y）=（x－y）（x＋z），故答案为：
（x－y）（x＋z）．
规律总结：
因式分解时，要严格按照“一提二看”的步骤进行，首先看多项式是否含有公因式，若有先提取公因式；没有公因式时，再根据项数选择合理的因式分解方法，同时因式分解时，要注意整体思想的运用，另外注意分解要彻底．
关键词：
因式分解分组分解提取公因式法
9.（2012湖南益阳，10，4分）写出一个在实数范围内能用平方差公式分解因式的多项式：
．
考点解剖：
本题考查因式分解、平方差公式的知识.平方差公式：
a2-b2=（a+b）（a-b）．
解题思路：
本题要求写一个能平方差公式分解因式的多项式，此类的多项式有无数个，只要形如a2-b2即可，如x2-1．
解答过程：
解：
能用平方差公式分解因式的多项式形如a2-b2，因此本题答案不唯一，如x2-1．故答案为：
答案不唯一，如x2-1．
规律总结：
本题需要写一个能用平方差公式进行分解的多项式，因此只须按照平方差公式的模型进行仿写即可，难度不大，是一道简单的问题.
关键词：
公式法因式分解
10.（2012湖南株洲，9，3分）因式分解：
=.
考点解剖：
考查多项式的因式分解．注意：
提公因式时一定要提净；套公式后，括号必须进行整理，整理后如能继续因式分解的必须还要分解，直到不能分解为止．
解题思路：
观察可知，两项都有公因式a可以提出，提公因式即可
解答过程：
=a（a–2），故填a（a–2）
规律总结：
因式分解常用的方法是一提（提公因式），二套（套公式），这也是简单因式分解的步骤．
关键词：
因式分解整式提公因式
11.（2012江苏淮安，12，3分）分解因式：
a2+2a+1=．
考点解剖：
本题考查了多项式的因式分解.掌握运用公式法分解因式是解题的关键.
解题思路：
观察所给的多项式，没有公因式，但是三项式，恰好满足完全平方和公式，这样运用公式法即可分解.
解答过程：
解：
因为a2+2a+1=a2+2×a×1+12=（a+1）2．故填（a+1）2．
规律总结：
因式分解常用的方法有“提公因式法”和“公式法”.如果所给的多项式是两项的差，且无公因式可提取时，一般应考虑用公式a2－b2=（a+b）（a－b）来分解；如果所给的多项式是两项的差，有公因式，那么应先提取公因式再考虑利用两数和与两数差的公式进行分解；如果所给的多项式是三项，无公因式可提时，那么一般应考虑直接用公式a2±2ab+b2=（a±b）2来分解；如果所给的多项式是四项或四项以上，且各项没有公因式，那么可考虑通过分组来分解．分组的目的就是分组后能用“提公因式法”或“公式法”分解，形成整体公因式．
关键词：
运用公式法分解因式．
12.（2011江苏宿迁，12，3分）分解因式：
ax2－ay2＝▲．
考点解剖：
本题综合考查因式分解的常用方法，即提公因式法与运用公式法，本题较为简单．
解题思路：
先提取公因式a后，再利用平方差公式进行分解即可．
解答过程：
解：
∵ax2－ay2＝a（x2－y2）＝a（x＋y）（x－y），∴填a（x＋y）（x－y）．
规律总结：
因式分解是一种重要的代数式恒等变形，也是中考必考的内容之一，通常考查因式分解的意义及方法与应用．将一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．因式分解的一般步骤：
一提（若多项式有公公因式，应先将公因式提出来）、二公（运用平方差公式或完全平方公式进行分解）、三查（检查分解是否彻底，分解是否正确等）．
关键词：
因式分解提取公因式法运用公式法
13.（2012山东临沂，15，3分）分解因式：
a－6ab＋9ab2＝.
考点解剖：
本题考查了因式分解的知识．根据题目特点，选择用合适的分解方法是解答本题的关键．.
解题思路：
先提取公因式a，再运用完全平方公式法分解.
解答过程：
解：
=
=
．故答案为：
a（3b－1）2．
规律总结：
因式分解的一般步骤是：
若有公因式，先提公因式；然后再考虑用公式法或其它方法分解；直到每个因式都不能再分解为止.
关键词：
提取公因式法运用公式法．
14.（2012山东泰安，21，3分）分解因式：
=．
考点解剖：
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用；掌握提公因式法与公式法分解因式是解题的关键．
解题思路：
先提取公因式x，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
解答过程：
解：
=
．
规律总结：
本题考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，分解因式的方法是“一提二套三查”．
关键词：
因式分解提公因式法公式法
15.（2012成都，11，4分）分解因式：
=________．
考点解剖：
本题考查了因式分解的知识
解题思路：
因为
的公因式是x,所以可以提取公因式x即可.
解答过程：
解：
．故答案为：
．
规律总结：
因式分解的一般步骤：
若有公因式，先提公因式；然后再考虑用公式法或其它方法分解；直到每个因式都不能再分解为止.
关键词：
因式分解、提取公因式法
16.（2012四川广安，11，3分）分解因式3a2－12＝_____________________．
考点解剖：
考查了因式分解，分解因式的方法有提取公因式法和公式法．
解题思路：
先提取公因式3，然后用平方差公式分解．
解答过程：
解：
，故填3（a＋3）（a－3）．
规律总结：
因式分解是把多项式分解为一些整式的乘积的形式；其步骤是一提：
先考虑是否有公因式，如果有公因式先提公因式．不要忽略系数的公因数．二套：
在考虑能否运用公式法分解因式．注意事项：
一是要分解彻底，二是要注意分解范围．
关键词：
提取公因式法、运用公式法
17.（2012四川内江，13，5分）分解因式
.
考点解剖：
本题主要考查分解因式的方法，提公因式法和公式法的应用是此题的重点.
解题思路：
分解因式时，通常看它是否有公因式，然后看它是否符合公式.
解答过程：
解：
规律总结：
分解因式的方法通常是“一提二套三分组”，即：
首先看是否有公因式，如果有公因式的要先提公因式；提完公因式后需要套公式，也就是平方差公式和完全平方公式；如果既无公因式也无公式，考虑分组，分组的原则是分组后可以提公因式或者是利用公式.另外需特别注意，分解因式一定要彻底，即分解后不再含有公因式或是公式.
关键词：
分解因式
18.（2012四川南充12,4分）分解因式x2－4x－12=．
考点解剖：
本题考察的是整式的因事分解.
解题思路：
通过观察适宜用十字相乘法解决.将－12分解为－6与2的积即可.
解答过程：
x2－4x－12=（x＋2）（x－6）．
规律总结：
因式分解问题考虑的先后顺序：
有公因式一定要先提公因式，其次考虑公式法，再次考虑十字相乘法，最后，考虑分组分解．
关键词：
因式分解．
19.（2012浙江嘉兴，12，5分）因式分解：
=_______________．
考点解剖：
考查因式分解，因式分解的基本方法是提公因式法与公式法.
解题思路：
利用平方差公式分解即可.
解答过程：
解：
原式=
.
规律总结：
因式分解的步骤：
若有公式应先提公因式法，然后再利用公式法或分组分解法求解.
关键词：
平方差公式.
20.（2012浙江丽水，12，4分）分解因式：
___________________
考点
升级会员 