因式分解知识要点.docx

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因式分解知识要点

因式分解知识要点

因式分解在代数式的恒等变形、根式运算、分式通分与约分、一元二次方程以及三角函数的变形求解等方面均有着十分重要的应用，下面对因式分解中的有关知识要点进行归纳说明，供大家学习和参考。

1、因式分解的定义

把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解（也可叫做把这个多项式分解因式）。

本定义可从以下几方面进行理解：

⑴、因式分解是一种恒等变形，如

无论字母a和b取何值，代数式

与

的值总是相等的；

⑵、因式分解的结果必须是整式的积的形式，分解后的因式可以是单项式，也可以是多项式，但必须都是整式；

⑶、由于因式分解是整式乘法运算的逆运算，故因式分解是否正确，通常可以用整式乘法进行检验，看乘得的结果是否等于原多项式；

⑷、多项式的因式分解，必须进行到每个因式都不能再分解为止，但要注意是在何种数集内进行因式分解（如无特殊说明，教材一般只要求在有理数范围内进行分解）。

2、因式分解的方法

⑴、提公因式法：

如果一个多项式的各项都含有公因式，则可利用分配律将此多项式的公因式提出来，从而将原多项式分解成两个因式的积的形式，像这种因式分解的方法，叫做提公因式法。

如:

。

⑵、运用公式法：

利用等式的性质将乘法公式逆用从而实现多项式的因式分解，像这种因式分解的方法就称为公式法。

公式法主要有以下两种：

①平方差公式：

；

②完全平方公式：

。

⑶、分组分解法（教材中未给出但作业中有所涉及）:

将一个多项式中所含的各项分成若干组，然后再利用提公因式法或公式法等方法对多项式进行因式分解，像这种因式分解的方法就称为分组分解法。

运用分组分解法的目的和作用主要有两个——①分组后能直接提公因式；②分组后能直接运用公式（平方差公式或完全平方公式）。

3、因式分解的步骤

因式分解的一般步骤是：

先看各项有没有公因式，若有公因式，则先提取公因式；若无公因式，则看能否运用公式法进行分解；最后，若以上方法均不能分解，则可尝试采用分组分解法。

因式分解也可按以下步骤进行考虑：

先提公因式，若公因式提取后的多项式是二项式，则考虑用平方差公式；若是三项式，则考虑用完全平方公式或分组分解法；若是四项或四项以上的多项式，则应考虑用分组分解法。

因式分解的步骤还可用口决概括为：

“先看有无公因式，再看能否套公式，分组分解试一试，最后结果要合适”。

4、有关因式分解的几项规定

⑴、因式分解的结果中若既有单项式又有多项式，则单项式须放在多项式的前面。

如

；

⑵、提公因式时,必须一次性提尽相同字母的最低次数。

如对

提公因式时，不能写成

；

⑶、分解因式后的乘积中若有相同的因式，则应写成幂的形式。

如对

分解因式时应写作

，而不写作

；

⑷、多项式的最高次项系数是负数时，分解因式前应先提出“－”号。

如

；

以上规定需要同学们在解题过程中认真进行反思、领悟和体会，切忌死记硬背。

《因式分解》知识要点精析

一、因式分解的概念：

1、因式分解：

把一个多项式化成几个整式积的形式，这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解.

2、因式分解的注意事项：

（1）因式分解的结果必须是几个整式积的形式，如：

①x＋2＝x（

），②x2－4＋5x＝（x＋2）（x－2）＋5x，这些都不是因式分解，因为①不是整式，②不是积的形式.

（3）分解结果应在指定范围内不能再分解为止；若无指定范围，一般在有理数范围内分解如：

a4－16＝（a2＋4）（a2－4），到此还没有分解彻底，正确解：

原式＝（a2＋4）（a2－4）＝（a2＋4）（a＋2）（a－2）；

（4）结果中相同的因式要写成幂的形式；

（5）单项式不存在因式分解.

二、因式分解的方法：

（一）提取公因式法：

1、提取公因式：

如果一个多项式的各项含有公因式，那么可把该公因式提取出来进行分解的方法叫做提取公因式法.如：

多项式ma＋mb各项都含有的公因式m，可将m提到括号外面，写成m（a＋b）的形式.

2、公因式的确定：

用提取公因式法分解因式的关键是确定公因式，确定公因式可按照下面的步骤：

（1）公因式的系数应取各项系数绝对值的最大公约数（当系数是整数时）

（2）字母取各项的相同字母，

（3）各字母的指数取最低次幂

3、提取公因式的注意事项

（1）提公因式后的项数应与原多项式的项数一样，

（2）当多项式的某一项恰好是公因式时，这一项应看成它与1的乘积，提公因式后剩下的应是1.1作为项的系数通常可省略，但如果单独成一项时，它在因式分解时不能漏项.这类题常有学生犯下面的错误，如：

4x2－8ax＋2x=2x（2x－4a）

（3）第一项的系数是负数时，应先提负号转化，然后再提公因式

（4）添括号法则：

括号前面是“＋”号，括到括号里的各项都不变号；括号前面是“－”号，括到括号里的各项都要变号

（5）公因式要提尽，如：

＝3ab＋6abx＝9aby＝ab（3＋6x＋9y）（×）原式应分解为：

－3ab（1－2x＋3y）

（6）公因式可以是一个数、一个单项式、一个多项式.如：

2（a－b）－a＋b，利用添括号法则把－a＋b可变形成－（a＋b），若把（a－b）看作m，原多项式就可以提取公因式a－b.

（二）运用公式法：

1、概念

平方差公式：

a2－b2＝（a＋b）（a－b）；

完全平方公式：

a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2；

a2－2ab＋b2＝（a－b）2.（a、b可以表示数、单项式、多项式）

在选用完全平方公式的关键是看多项式中的乘积为2倍的符号.

2、运用公式法的注意事项：

（1）若多项式为两项，这两项都能写成完全平方数（或式）的形式，且符号相反，即可用平方差公式；

（2）若多项式为三项，其中有两项能写成完全平方数（或式）的形式，符号相同，且第三项恰是这两个数（或式）的2倍或2倍的相反数，即可用完全平方公式；

（3）因式分解时，无论有几项，首先考虑提取公因式.再考虑是否符合公式.

第一章《分解因式》导学

　　一、知识梳理

　　二、备考兵法

　　1、提公因式法的关键是正确的找到公因式。

　　公因式一般是由各项系数的最大公约数与相同字母（或因式）的最低次幂的积所组成。

公因式提取后，各项的余下部分要用括号括起来，而括号内仍是一个与羽原多项式项数相同的多项式。

当提取的公因式带有“－”号时，括号内都要改变符号。

　　2、分解因式与整式乘法是互逆的关系。

多项式分解因式是把一个多项式化成几个整式的积的形式，而整式的乘法是把几个整式的积化成一个多项式。

它们都是恒等变形，是互逆的两个过程。

分解因式与整式乘法有着十分密切关系，理解并抓住它们的联系不仅是学好分解因式的关键，也可以深化对整式乘法的理解。

　　3、在熟练掌握公式法之后，有时对多项式进行必要的变形是必不可少的。

在运用基本方法的过程中，有时需要对进行适当的分组、添项、拆项等变形过程。

其分解的一般步骤是：

（1）首先看能否提公因式；

（2）如果多项式符合公式的特征，可直接运用公式；

　　（3）上述两种方法都不能进行，可考虑适当分组，但要注意“分组”的目的是能够达到提取公因式或运用公式。

　　例如（a+2）（a－2）=a2－4是整式乘法；

　　a2－4=（a－2）（a+2）是分解因式。

　　3、体现逆向思维的思想方法。

鉴于分解因式和整式乘法是互逆变形，因此可将分解因式的结果还原成一个多项式的方法进行检验，同时这也是一种逆向思维的思想方法。

这种思想方法的渗透和应用十分广泛。

　　4、分解因式的结果的检验.

　　由于分解因式与整式乘法是互逆的变形过程，因此可以将分解的结果的两个因式乘开，看是否与左边的多项式是否一致。

还可以对字母取相同的数值，分别代入左右两边，看两边的值是否相等，即可知道分解是否正确。

　　三、要点识记

　　1.把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种式子变形叫做把这个多项式＿＿＿＿.

　　2、提取公因式法：

　　3、运用公式法

　　平方差公式

　　a2－b2=＿＿＿＿＿＿；

　　完全平方公式

　　a2±2ab+b2=＿＿＿＿.

　　4.分解因式的一般步骤：

一提二套三分组，二次三项想十字相乘．

　　例1　下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为（　　）

　　（A）

　　（B）

　　（C）

　　（D）

　　解析：

选（C）。

　　点评　解答此类题目要充分理解分解因式的定义和具体要求。

显然（A）属于整式乘法，（B）只是分解了局部，没有完全化成整式的积的形式，而（D）虽然等式右边是一个多项式，左边是整式的积的形式，但由平方差公式可知

是

分解的结果，所以式子在变形过程中丢掉了“

”，不属于恒等变形，因而也不属于分解因式。

　　例2　把8a3b2－12ab3c分解因式．

　　分析：

分两步：

第一步，找出公因式；第二步，提公因式．

　　先引导学生按确定公因式的方法找出多项式的公因式4ab2．

　　解　8a3b2－12ab3c=4ab2·2a2－4ab2·3bc

　　=4ab2（2a2－3bc）．

　　点评　

（1）应特别强调确定公因式的两个条件以免漏取．

（2）开始找公因式法时，最好把公因式单独写出．①以显提醒；③强调提公因式；③强调分解因式．

　　例3　请写出一个三项式（用字母a，b表示），使它能先提取公因式，再运用公式来分解.

　　你编写的三项式是　　　　　　，分解因式的结果是　　　　　　　.

　　解析　依据题设条件，能用公式法分解且含有字母a，b的最简单的三项式，就是关于a，b的完全平方公式a2±2ab+b2，再考虑到要先用提公因式法提公因式，故可写出如下的一些式子：

2a2±4ab+2b2=2（a2±2ab+b2）＝2（a±b）2；

a3±2a2b+ab2=a（a2±2ab+b2）＝a（a±b）2；

a2b±2ab2+b3=b（a2±2ab+b2）＝b（a±b）2；…

　　点评　这几题是开放型探索题，它主要考察我们灵活地进行分解因式的能力和发散思维能力以及综合运用知识的能力．要求我们不仅要学会课本上的例题和习题，而且还要我们懂得借助课本内容的思维方法编拟习题，这是现代创新教育的一种具体表现形式.

　　例4　分解因式：

x2+2xy+y2－2x－2y+1.

　　分析　此题共六项，较难分解.但考虑到前三项正好可以逆用完全平方和公式得到（x+y）2.－2x－2y可以提取－2得到－2（x+y）.再把x+y作为整体正好是完全平方式.

　　解　x2+2xy+y2－2x－2y+1

　　=（x+y）2－2（x+y）+1

　　=（x+y－1）2.

　　点评　运用公式法分解因式是指运用平方差公式和完全平方公式来分解因式的方法.它是分解因式最基本的方法之一.

　　本题中，我们都用到了将某项看作一个整体的方法，这种方法也就是我们通常所说的换元法

　　例5　分解因式：

（x2+4x+3）（x2+4x+5）+1.

　　【思考与分析一】　这个代数式中，x2+4x出现了两次，且除此之外其余均为常数．如果令a=x2+4x，那么原式就转化为a的二次式．

　　解法一：

令a=x2+4x，则 

　　（x2+4x+3）（x2+4x+５）+1＝（a+3）（a+5）+1＝a2+8a+15+1＝a2+8a+16＝（a+4）2＝（x2+4x+4）２＝|（x+２）２|２＝（x+２）4.

　　【思考与分析二】在本题中如果我们令a=x2+4x+3，那么原式就转化为关于a的更简单的二次三项式.

　　解法二：

令a=x2+4x+3，则

　　（x2+4x+3）（x2+4x+５）+1＝a（a＋2）+1＝a2+2a+1＝（a+1）2＝（x2+4x+4）2＝|（x+2）2|2＝（x+2）4.

　　【思考与分析三】在本题中我们还可以令a=x2+4x+4，那么前项就变成一个平方差公式的形式，我们就可以将原式转化为关于a的更简单的单项式形式.

　　解法三：

令a=x2+4x+4，则

　　（x2+4x+3）（x2+4x+５）+1＝（a－1）（a+1）+1＝a2－1+1＝a2＝（x2+4x+4）2＝|（x+2）2|2＝（x+2）4.

　　点评　本题如果我们不按换元的思路来解，几乎无法解决.在形式上，如果不把x2+4x换成a，不但书写很繁琐，而且将原代数式展开之后也难以发现式子是否符合完全平方公式的形式.

　　例6　要使二次三项式x2－5x+p在整数范围内能进行分解因式，那么p的取值可以有（　　）.

　　A.2个　　　B.4个　

　　C.6个　　　D.无数多个

　　解析　根据公式x2＋（m+n）x＋mn＝（x+m）（x+n），设p＝m·n，可知只要m+n＝－5（m，n为整数），二次三项式x2－5x+p在整数范围内都能进行分解因式，选D.

　　点评　这道题是开放型探索题，它主要考察我们灵活地进行分解因式的能力和发散思维能力以及综合运用知识的能力.

　　例7　已知2

3＝0,求代数式

2－

）＋

2（5―

）―9的值.

　　解析　当2

3＝0时,原式＝

3－

2＋5

2―

3―9＝4

2－9＝（2

＋3）（2

－3）＝0.

　　点评　上述求值方法是利用分解因式，整体代入法,它比先求出字母的值,再代入求值方便.

　　例8　在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“分解因式”法产生的密码，方便记忆．

原理是：

如对于多项式

，分解因式的结果是

，若取x=9，y=9时，则各个因式的值是：

=0，

=18，

=162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式

，取

=10，

=10时，用上述方法产生的密码是：

　　　　（写出一个即可）．

　　解析　因为

或等于

或等于

，取

，

时，

，

，所以产生的密码为101030，或103010，或301010。

　　答案　101030，或103010，或301010。

　　点评　：

这是一道在分解因式的基础上设计的与密码有关的创新题，解决这个问题，必须理解密码的转换方法。

要得到密码，只需将

分解因式即可。

　　例9　计算：

2－22－23－……－218－219+220,

　　解析　我们注意到：

－219+220=219（2－1）=219，而219－218=218。

按此规律采用“逆序”的方法，将218再与前面的数字作减法运算，并以此规律采用同样的方法继续运算下去，直至求出最后的结果为止。

其结果为：

6。

　　点评　此类题求解时，应首先观察题目的特点，利用有关法则或公式将所求式巧妙的组合，再运用分解因式求解。

　　例10　如图在一个大圆盘中,镶嵌着四个大小一样的小圆盘,已知大小圆盘的直径都为整数,阴影部分的面积为7πcm2,请你求出大小两个圆盘的半径.

　　解析　设大圆盘的半径为Rcm,一个小圆盘的半径为rcm,根据题意,得

　　πR2－4πr2=7π,

　　即（R+2r）（R－2r）=7,

　　因为R,r均为整数,所以R+2r,R－2r为整数,所以

　　解得R=4,r=1.5.因此,大小圆盘的半径分别是4cm和1.5cm.

　　点评　根据大圆的面积减取四个小圆的面积等于阴影部分的面积,可以得到数学关系式.然后通过分解因式寻找解题思路.

　　三、中考热身

　　1、下列多项式中，能用公式法分解因式的是（　　）

A.x2－xy　　　B.x2＋xy

C.x2－y2　D.x2＋y2

　　2、分解因式:

=____________

　　3、分解因式：

．

　　4、分解因式：

____________

　　5、分解因式：

．

　　6、分解因式

=_____

参考答案

1、C　　2、

　　3、

4、

　　5、（x+2）2　　6、（a+b）（m+n）