第17讲 最大公因数与最小公倍数doc.docx

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第6讲最大公因数与最小公倍数

第一部分知识梳理

1.公因数和最大公因数的意义

几个数共有的因数，叫作这几个数的公因数；其中最大的一个叫作它们的最大公因数。

2.求公因数和最大公因数的方法

（1）列举法：

先分别求出两个数的因数，再找出它们的公因数，然后找出最大的一个

（2）试除法：

先找出较小的那个数的因数，从中找出另一个数的因数，再找出最大的一个。

3.约分的含义及方法

含义：

把一个分数的分子和分母同时除以它们的公因数，分数的值不变，这个过程叫作约分。

分子和分母只有公因数1的分数，叫作最简分数。

方法：

（1）逐次约分法：

用分数的分子和分母的公因数（1除外）逐次去除分子和分母，直到得出一

个最简分数。

（2）一次约分法：

用分数的分子和分母的最大公因数去除分子和分母。

4.公倍数和最小公倍数的意义

几个数公有的倍数，叫作这几个数的公倍数。

其中最小的一个叫作最小公倍数。

5.求最小公倍数的方法：

（1）列举法：

分别写出两个数各自的倍数，再找出它们的公倍数，然后找出最小的一个。

（2）试除法：

先找出较大的那个数的倍数，从找出另一个数的倍数，再找出最小的一个。

6.通分的含义方法

（1）含义：

把几个分母不同的分数化成同分母且分数值保持不变的分数，这个过程叫作通分。

（2）方法：

通分时，用原分母的公倍数作为公分母，通常选用最小公倍数作公分母。

7.比较分数大小的方法

（1）画图比较法

（2）通分比较法（3）同分子比较法

第二部分教材解读

知识点一公因数和最大公因数的意义

知识点二求公因数和最大公因数的方法

问题导入找出16和24的公因数和最大公因数

知识点三约分的含义

知识点四约分的方法

知识点五公倍数和最小公倍数的含义

知识点六求最小公倍数的方法

问题导入求8和10的最小公倍数

知识点七比较分数大小的方法

知识点八通分的含义和方法

第三部分课前热身

一、判断题

1.5和7没有最大的公因数（）

2.分子和分母都是偶数的分数，一定不是最简分数（）

3.分子和分母都是奇数的分数，一定是最简分数（）

4．最简分数的分子一定小于分母（）

5.分子和分母是两个不同的质数时，这个分数一定是最简分数（）

6．分母是8的最简真分数有7个（）

7.3和6的最小公倍数是12（）

8.两个不同自然数的最大公因数一定比最小公倍数小（）

9.两个自然数的乘积一定是这两个自然数的公倍数（）

10.两个数的最小公倍数一定比这两个数大（）

11.两个数的最小公倍数一定是这两数的最大公因数的倍数（）

12.通分时，只能用两个数或几个数分母的最小公倍数作公分母（）

13.通分的依据是分数的基本性质（）

14.两个分数通分后，都比原分数大（）

二、选择题

1.既有公因数2，又有公因数3的一组是（）

A15和6B27和28C12和18D16和30

2.最大公因数是1的一组是（）

A15和5B11和12C38和20D100和2

3.甲数是乙数的倍数，甲乙两数的最大公因数是（）

A1B甲数C乙数D甲乙两数的乘积

4.两个数的最大公因数是1，最小公倍数是35，这两个数分别是（）

A5和7B15和20C35和5

第四部分精讲点拨

考点一、用列举法和图解法解决复杂的找最大公因数的问题

1．一个长方形，长80dm,宽20dm。

现在把长方形分成若干个正方形，要使正方形的边长尽可能的大，并且长方形的长和宽没有剩余，可以分成多少个正方形？

考点二、用列举法解决找三个数的最大公因数的问题

2.有三根木棍分别长12cm、18cm和30cm，现在要把他们截成相等的小段，每根不许有剩余，每小段最长是多少？

一共可以截成多少段？

考点三、用列举法解决复杂的分数问题

3.

的分子和分母同时减去一个数，新的分数约分得

，减去的数是多少？

考点四、用找公因数法解决复杂分数的约分问题

4.把

约分

考点五、用转化法解决稍复杂的最小公倍数问题

5.一些小朋友分组做游戏，第一次分组每组4个余下2个，第二次分组每组5个也余下2个，你知道最少有多少个小朋友做游戏？

考点六、用画线段图法解决复杂的植树问题

6.要在小路一侧种106棵梧桐树，相邻两棵树之间的距离原来是9m,现在要改成相邻两棵树之间的距离是15m,有多少棵树不需要移动？

考点七、用“1减”或“减1”的方法解决复杂的分数比较问题

7.比较

与

的大小

考点八、用搭桥法解决复杂分数大小比较问题

8.比较分数

和

的大小

第五部分变式练习

1.如图，街道ABCD在B，C处拐弯，在街道的一侧要等距离的安装路灯，要求在A,B,C,D处各装一盏路灯。

这条街道最少要安装多少盏路灯？

2在一个长30m,宽12m,的长方形池塘的四角和四条边上种树，若相邻两颗树之间的距离相等，最少要种多少棵树？

每相邻两棵树之间的距离是多少米？

3把

、

约成最简分数

4.晶晶冲了两杯糖水，第一杯放入10克红糖，60克水。

第二杯放入6克红糖，50克水。

哪杯糖水更甜一些？

5.五

（1）班在上科学实验课，无论把同学分成2人一组，3人一组或5人一组，都正好分完，五

（1）班至少有多少人？

6.一排电线杆，原来每两根之间的距离是30m，现在距离要改为45m，如果起点的一根电线杆不移动，至少要隔多远又有一根电线杆不移动？

如果这排电线杆共30根，那么有几根不需要移动？

7.比较分数

和

，

和

的大小

8.四个分数

，

，

，

，其中最大的数是（），最小的数是（）。

第六部分过关检测

一、填空题：

1．如果自然数A除以自然数B商是17，那么A与B的最大公因数是（），最小公倍数是（）。

2．最小质数与最小合数的最大公因数是（），最小公倍数是（）。

3．能被5、7、16整除的最小自然数是（）。

4．5和12的最小公倍数减去（）就等于它们的最大公因数。

91和13的最小公倍数是它们最大公因数的（）倍。

5．已知两个互质数的最小公倍数是153，这两个互质数是（）和（）。

6.甲数=2×3×5×7，乙数=2×3×11，甲乙两数的最大公因数是（），最小公倍数是（）。

7．3个连续自然数的最小公倍数是60，这三个数是（）、（）和（）。

8．被2、3、5除，结果都余1的最小整数是（），最小三位整数是（）。

9．一筐苹果4个4个拿，6个6个拿，或者8个8个拿都正好拿完，这筐苹果最少有（）个。

10．三个连续偶数的和是42，这三个数的最大公因数是（）。

11．三个不同质数的最小公倍数是105，这三个质数是（）、（）和（）。

12．自然数m和n，n=m+1，m和n的最大公因数是（），最小公倍数是（）。

13．把自然数a与b分解质因数，得到a=2×5×7×m，b=3×5×m，如果a与b的最小公倍数是2730，那么m=（）。

14．三个数的和是312，这三个数分别能被7、8、9整除，而且商相同。

这三个数分别是（）、（）和（）。

15.已知（A，40）=8，[A，40]=80，那么A=（）。

二、判断题

1．几个数的公倍数是无限的，最小的只有一个．（）

2．两个不同的自然数的最大公因数一定比最小公倍数小．（）

3．如果三个自然数两两互质，它们的最大公因数是1，最小公倍数就是三个数的乘积。

（）

4．如果一个质数与一个合数不是互质数，那么这个合数是这两个数的最小公倍数．（）

5．一个数的因数必定小于它的倍数．（）

三、选择题

1．96是16和12的（）

①公倍数②最小公倍数③公因数

2．几个质数的连乘积是（）

①合数②质数③最大公因数④最小公倍数

3．甲是乙的15倍，甲和乙的最小公倍数是（）

①15②甲③乙④甲×乙

4．12是24和36的（）

①因数②质因数③最大公因数

5．一个数的最大因数（）它的最小倍数．

①＞②＜③＝

6.成为互质数的两个数（）．

①没有公因数②只有公因数1③两个数都是质数④都是质因数

7.下列各数中与18互质的数是（）．

①21②40③25④18

8.下列各组数中，两个数互质的是（）．

①17和51②52和91③24和25　④11和22

9.甲数的质因数里有1个7，乙数的质因数里没有7，它们的最大公因数的质因数里应该（）．

①有一个7　②没有7　③不能确定

10.甲、乙两数的最大公约数是7，甲数的3倍与乙数的5倍的最大公约数（）

①肯定是7②肯定不是7③不能肯定

四、用短除法求下面每组数的最大公因数和最小公倍数。

32和2412和1872和48

78和393、15和2012、60和18

3、4和54、8和16

五、解决下列的问题：

1．有三根铁丝，一根长18米，一根长24米，一根长30米。

现在要把它们截成同样长的小段。

每段最长可以有几米？

一共可以截成多少段？

2．一张长方形纸，长60厘米，宽36厘米，要把它截成同样大小的长方形，并使它们的面积尽可能大，截完后又正好没有剩余，正方形的边长可以是多少厘米？

能截多少个正方形？

3．用96朵红玫瑰花和72朵白玫瑰花做花束。

若每个花束里的红玫瑰花的朵数相同，白玫瑰花的朵数也相同，最多可以做多少个花束？

每个花束里至少要有几朵花？

（1）最多可以做多少个花束

（2）每个花束里有几朵红玫瑰花

（3）每个花束里有几朵白玫瑰花

（4）每个花束里最少有几朵花

4．公共汽车站有三路汽车通往不同的地方。

第一路车每隔5分钟发车一次，第二路车每隔10分钟发车一次，第三路车每隔6分钟发车一次。

三路汽车在同一时间发车以后，最少过多少分钟再同时发车？

5．某厂加工一种零件要经过三道工序。

第一道工序每个工人每小时可完成3个；第二道工序每个工人每小时可完成12个；第三道工序每个工人每小时可完成5个。

要使流水线能正常生产，各道工序每小时至少安排几个工人最合理？

6．有一行数：

1，1，2，3，5，8，13，21，34，55……，从第三个数开始，每个数都是前两个数的和，在前100个数中，偶数有多少个？

7．一个长方形的长和宽都是自然数，面积是36平方米，这样的形状不同的长方形共有多少种？

8．一种长方形的地砖，长24厘米，宽16厘米，用这种砖铺一个正方形，至少需多少块砖？

9．一块长方形铁皮,长96厘米,宽80厘米,要把它剪成同样大小的正方形且没有剩余,这种正方形的边长最大是多少?

被剪成几块?

10．已知某小学六年级学生超过100人，而不足140人。

将他们按每组12人分组，多3人；按每组8人分，也多3人。

这个学校六年级学生多少？

11．有四个小朋友，他们的年龄一个比一个大一岁，四个人的年龄的乘积是360。

他们中年龄最大是多少岁？

12．汽车站内每隔3分钟发一辆公交车，4分钟发一辆中巴车，1小时共发了几辆汽车？

其中有几辆中巴车？

13.一块长方形铁皮，长96厘米，宽80厘米，要把它剪成同样大小的正方形且没有剩余，这种正方形的边长最大是多少？

被剪成了几块？

14．有一个长80厘米，宽60厘米，高115厘米的长方体储冰容器，往里面装入大小相同的立方体冰块，这个容器最少能装多少数量的冰块？