高考数学一轮复习专题五导数及其应用Word格式文档下载.docx

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【答案】　2x－y＋1＝0

4．（2014·

广东，10，易）曲线y＝e－5x＋2在点（0，3）处的切线方程为________．

【解析】　∵y′＝－5e－5x，∴k＝y′|x＝0＝－5，故所求切线方程为y－3＝－5x，即5x＋y－3＝0.

【答案】　5x＋y－3＝0

5．（2014·

江苏，11，中）在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋（a，b为常数）过点P（2，－5），且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是________．

【解析】　因为曲线y＝ax2＋过点P（2，－5），所以4a＋＝－5.①

又y′＝2ax－，且曲线在点P（2，－5）处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，所以4a－＝－.②

由①②解得所以a＋b＝－3.

【答案】　－3

6．（2013·

北京，18，13分，中）设L为曲线C：

y＝在点（1，0）处的切线．

（1）求L的方程；

（2）证明：

除切点（1，0）之外，曲线C在直线L的下方．

解：

（1）设f（x）＝，则f′（x）＝.

所以切线的斜率k＝f′

（1）＝1，所以L的方程为y＝x－1.

令g（x）＝x－1－f（x），则除切点之外，曲线C在直线L的下方等价于g（x）＞0（∀x＞0，x≠1）．

g（x）满足g

（1）＝0，且g′（x）＝1－f′（x）＝.

当0＜x＜1时，x2－1＜0，lnx＜0，

所以g′（x）＜0，故g（x）单调递减；

当x＞1时，x2－1＞0，lnx＞0，

所以g′（x）＞0，故g（x）单调递增．

所以，g（x）＞g

（1）＝0（∀x＞0，x≠1）．

所以除切点之外，曲线C在直线L的下方．

考向1　导数的运算

1．基本初等函数的导数公式

原函数

导函数

f（x）＝C（C为常数）

f′（x）＝0

f（x）＝xα（α∈Q*）

f′（x）＝αxα－1

f（x）＝sinx

f′（x）＝cosx

f（x）＝cosx

f′（x）＝－sinx

f（x）＝ax

f′（x）＝axlna（a>

0）

f（x）＝ex

f′（x）＝ex

f（x）＝logax

f′（x）＝（a>

0，且a≠1）

f（x）＝lnx

f′（x）＝

2.运算法则

（1）导数的运算法则

①[f（x）±

g（x）]′＝f′（x）±

g′（x）；

②[f（x）·

g（x）]′＝f′（x）g（x）＋f（x）g′（x）；

③′＝（g（x）≠0）．

（2）复合函数的求导法则

y＝f（u（x））的导数为y′x＝y′u·

u′x.

（1）分析清楚复合函数的复合关系，确定出内函数与外函数，适当选定中间变量，由外向内逐层求导，做到不重不漏．

（2）特别要注意的是中间变量的系数，避免出现（cos2x）′＝－sin2x的错误．

（1）（2014·

大纲全国，7）曲线y＝xex－1在点（1，1）处切线的斜率等于（　　）

A．2eB．eC．2D．1

（2）（2015·

浙江温州高三月考，5）已知函数f（x）的导函数f′（x），且满足f（x）＝2xf′

（1）＋lnx，则f′

（1）＝（　　）

A．－eB．－1C．1D．e

（3）（2013·

江西，13）设函数f（x）在（0，＋∞）内可导，且f（ex）＝x＋ex，则f′

（1）＝________．

【解析】　

（1）∵y′＝x′·

ex－1＋x·

（ex－1）′＝（1＋x）ex－1，

∴曲线在点（1，1）处的切线斜率为y′|x＝1＝2.故选C.

（2）∵f（x）＝2xf′

（1）＋lnx，

∴f′（x）＝[2xf′

（1）]′＋（lnx）′＝2f′

（1）＋，

∴f′

（1）＝2f′

（1）＋1，即f′

（1）＝－1.

（3）令t＝ex，故x＝lnt，∴f（t）＝lnt＋t，即f（x）＝lnx＋x，∴f′（x）＝＋1，∴f′

（1）＝2.

【答案】　

（1）C　

（2）B　（3）2

【点拨】　解题

（2）时注意弄清f′

（1）为常数而非变量；

解题（3）时先换元求解析式，然后再求导．

导数运算的原则和方法

（1）原则：

先化简解析式，再求导．

（2）方法：

①连乘积形式：

先展开化为多项式的形式，再求导；

②分式形式：

观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；

③对数形式：

先化为和、差的形式，再求导；

④根式形式：

先化为分数指数幂的形式，再求导；

⑤三角形式：

先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；

⑥复合函数：

由外向内，层层求导．

要牢记导数公式和导数的四则运算法则，切忌记混公式法则．

江西九江月考，15）给出定义：

若函数f（x）在D上可导，即f′（x）存在，且导数f′（x）在D上也可导，则称f（x）在D上存在二阶导数，记为f″（x）＝[f′（x）]′，若f″（x）<

0在D上恒成立，则称f（x）在D上为凸函数．以下四个函数在上是凸函数的是________（把你认为正确的序号都填上）．

①f（x）＝sinx＋cosx；

②f（x）＝lnx－2x；

③f（x）＝－x3＋2x－1；

④f（x）＝xex.

【解析】　由①知，f′（x）＝cosx－sinx，

则f″（x）＝－sinx－cosx

＝－sin<

0在区间上恒成立；

由②知，f′（x）＝－2（x>

0），则f″（x）＝－<

由③知，f′（x）＝－3x2＋2，则f″（x）＝－6x<

0在区间上恒成立．故①②③中的函数为凸函数．由④知，f′（x）＝ex＋xex，f″（x）＝2ex＋xex＝ex（x＋2）>

0在区间上恒成立，故④中的函数不是凸函数．

【答案】　①②③

考向2　导数的几何意义及其应用

导数的几何意义

函数f（x）在x＝x0处的导数f′（x0）的几何意义是在曲线y＝f（x）上点P（x0，f（x0））处的切线的斜率（瞬时速度就是位移函数s（t）对时间t的导数）．相应地，切线方程为y－f（x0）＝f′（x0）·

（x－x0）．

“过某点”与“在某点”的区别：

曲线y＝f（x）“在点P（x0，y0）处的切线”与“过点P（x0，y0）的切线”的区别：

前者P（x0，y0）为切点，而后者P（x0，y0）不一定为切点．

（1）（2014·

课标Ⅱ，8）设曲线y＝ax－ln（x＋1）在点（0，0）处的切线方程为y＝2x，则a＝（　　）

A．0B．1C．2D．3

山东威海质检，7）已知函数f（x）＝xlnx，若直线l过点（0，－1），并且与曲线y＝f（x）相切，则直线l的方程为（　　）

A．x＋y－1＝0B．x－y－1＝0

C．x＋y＋1＝0D．x－y＋1＝0

（3）（2014·

江西，13）若曲线y＝e－x上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是________．

（4）（2015·

河南郑州模拟，12）已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是________．

【解析】　

（1）y′＝a－，由题意得y′|x＝0＝2，即a－1＝2，∴a＝3.

（2）∵点（0，－1）不在曲线f（x）＝xlnx上，

∴设切点为（x0，y0）．

又∵f′（x）＝1＋lnx，∴

解得x0＝1，y0＝0.

∴切点为（1，0），∴f′

（1）＝1＋ln1＝1.

∴直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.故选B.

（3）设P（x0，y0），∵y＝e－x，∴y′＝－e－x，

∴点P处的切线斜率为k＝－e－x0＝－2，

∴－x0＝ln2，∴x0＝－ln2，

∴y0＝eln2＝2，∴点P的坐标为（－ln2，2）．

（4）∵y＝，

∴y′＝＝＝.

∵ex>

0，∴ex＋≥2，

∴y′∈[－1，0），∴tanα∈[－1，0）．

又α∈[0，π），∴α∈.

【答案】　

（1）D　

（2）B　（3）（－ln2，2）　（4）

【点拨】　解题

（1）时注意弄清点（0，0）在曲线上；

解题

（2）时注意弄清过曲线“在某点”和“过某点”的曲线的切线的区别；

解题（3）的关键是弄清曲线在点P处的导数与直线斜率之间的关系；

解题（4）时注意正切函数在∪的图象与其正切值之间的对应关系．

与导数几何意义有关问题的常见类型及解题

策略

（1）已知切点求切线方程．解决此类问题的步骤为：

①求出函数y＝f（x）在点x＝x0处的导数，即曲线y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处切线的斜率；

②由点斜式求得切线方程为y－y0＝f′（x0）·

（2）已知斜率求切点：

已知斜率k，求切点（x1，f（x1）），即解方程f′（x1）＝k.

（3）求切线倾斜角的取值范围：

先求导数的取值范围，即确定切线斜率的取值范围，然后利用正切函数的单调性解决．

河北石家庄一模，14）已知点P为曲线C：

y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围是________．

【解析】　设P（x0，y0），P点处切线倾斜角为α，则0≤tanα≤1，

由f（x）＝x2＋2x＋3，得f′（x）＝2x＋2，

令0≤2x0＋2≤1，得－1≤x0≤－.

【答案】　

1．（2015·

江西赣州高三期末，5）已知t为实数，f（x）＝（x2－4）·

（x－t）且f′（－1）＝0，则t等于（　　）

A．0B．－1C.D．2

【答案】　C　依题意得，f′（x）＝2x（x－t）＋（x2－4）＝3x2－2tx－4，∴f′（－1）＝3＋2t－4＝0，即t＝.

2．（2014·

河南平顶山模拟，8）点P是曲线x2－y－lnx＝0上的任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为（　　）

A．1B.C.D.

【答案】　D　将x2－y－lnx＝0变形为y＝x2－lnx（x>

0），则y′＝2x－.令y′＝1，则x＝1或x＝－（舍），可知函数y＝x2－lnx的斜率为1的切线的切点横坐标为x＝1，纵坐标为y＝1.故切线方程为x－y＝0.则点P到直线y＝x－2的最小距离即切线方程x－y＝0与y＝x－2的两平行线间的距离，d＝＝.

方法点拨：

解答本题的关键是将点到直线的最小距离转化为两平行线间的距离．

3．（2015·

云南昆明一中调研，9）若曲线f（x）＝acosx与曲线g（x）＝x2＋bx＋1在交点（0，m）处有公切线，则a＋b＝（　　）

A．－1B．0C．1D．2

【答案】　C　依题意得，f′（x）＝－asinx，g′（x）＝2x＋b，于是有f′（0）＝g′（0），即－asin0＝2×

0＋b，故b＝0，又有m＝f（0）＝g（0），则m＝a＝1，因此a＋b＝1，选C.

4．（2015·

山西大同质检，7）已知a为常数，若曲线y＝ax2＋3x－lnx存在与直线x＋y－1＝0垂直的切线，则实数a的取值范围是（　　）

A.B.

C．[－1，＋∞）D．（－∞，－1]

【答案】　A　由题意知曲线上存在某点的导数为1，所以y′＝2ax＋3－＝1有正根，即2ax2＋2x－1＝0有正根．当a≥0时，显然满足题意；

当a<

0时，需满足Δ≥0，解得－≤a<

0.综上，a≥－.

5．（2015·

山东济宁二模，6）若曲线y＝x2＋alnx（a>

0）上任意一点处的切线斜率为k，若k的最小值为4，则此时该切点的坐标为（　　）

A．（1，1）B．（2，3）

C．（3，1）D．（1，4）

【答案】　A　y＝x2＋alnx的定义域为（0，＋∞），由导数的几何意义知y′＝2x＋≥2＝4，即a＝2，当且仅当x＝1时等号成立，代入曲线方程得y＝1，故所求的切点坐标是（1，1）．

6．（2015·

河南新乡质检，12）过点A（2，1）作曲线f（x）＝x3－3x的切线最多有（　　）

A．3条B．2条C．1条D．0条

【答案】　A　由题意得，f′（x）＝3x2－3，设切点为（x0，x－3x0），那么切线的斜率为k＝3x－3，利用点斜式方程可知切线方程为y－（x－3x0）＝（3x－3）（x－x0），将点A（2，1）代入可得关于x0的一元三次方程2x－6x＋5＝0.令y＝2x－6x＋5，则y′＝6x－12x0.由y′＝0得x0＝0或x0＝2.当x0＝0时，y＝5>

0；

x0＝2时，y＝－3<

0.所以方程2x－6x＋5＝0有3个解．故过点A（2，1）作曲线f（x）＝x3－3x的切线最多有3条，故选A.

曲线y＝f（x）过点（x0，y0）（点不在曲线y＝f（x）上）的切线方程的求解步骤：

（1）设出切点坐标P′（x1，f（x1））；

（2）写出过P′（x1，f（x1））的切线方程为y－f（x1）＝f′（x1）·

（x－x1）；

（3）将点P的坐标（x0，y0）代入切线方程，求出x1；

（4）将x1的值代入方程y－f（x1）＝f′（x1）（x－x1）可得过点P（x0，y0）的切线方程．

7．（2015·

广东惠州质检，11）曲线y＝－5ex＋3在点（0，－2）处的切线方程为________．

【解析】　由y＝－5ex＋3得，y′＝－5ex，所以切线的斜率k＝y′|x＝0＝－5，所以切线方程为y＋2＝－5（x－0），即5x＋y＋2＝0.

【答案】　5x＋y＋2＝0

8．（2014·

湖北武汉三模，14）已知曲线f（x）＝xn＋1（n∈N*）与直线x＝1交于点P，设曲线y＝f（x）在点P处的切线与x轴交点的横坐标为xn，则log2015x1＋log2015x2＋…＋log2015x2014的值为________．

【解析】　f′（x）＝（n＋1）xn，k＝f′

（1）＝n＋1，点P（1，1）处的切线方程为y－1＝（n＋1）（x－1），令y＝0，得x＝1－＝，即xn＝，

∴x1·

x2·

…·

x2014＝×

×

…×

＝，

则log2015x1＋log2015x2＋…＋log2015x2014＝log2015（x1·

x2014）＝log2015＝－1.

【答案】　－1

9．（2015·

河北唐山一中月考，20，12分）已知函数f（x）＝ax3＋3x2－6ax－11，g（x）＝3x2＋6x＋12和直线m：

y＝kx＋9，且f′（－1）＝0.

（1）求a的值；

（2）是否存在k，使直线m既是曲线y＝f（x）的切线，又是曲线y＝g（x）的切线？

如果存在，求出k的值；

如果不存在，请说明理由．

（1）由已知得f′（x）＝3ax2＋6x－6a，

∵f′（－1）＝0，∴3a－6－6a＝0，∴a＝－2.

（2）存在．由已知得，直线m恒过定点（0，9），若直线m是曲线y＝g（x）的切线，则设切点为（x0，3x＋6x0＋12）．

∵g′（x0）＝6x0＋6，

∴切线方程为y－（3x＋6x0＋12）＝（6x0＋6）（x－x0），

将（0，9）代入切线方程，解得x0＝±

1.

当x0＝－1时，切线方程为y＝9；

当x0＝1时，切线方程为y＝12x＋9.

由

（1）知f（x）＝－2x3＋3x2＋12x－11，

①由f′（x）＝0得－6x2＋6x＋12＝0，解得x＝－1或x＝2.

在x＝－1处，y＝f（x）的切线方程为y＝－18；

在x＝2处，y＝f（x）的切线方程为y＝9，

∴y＝f（x）与y＝g（x）的公切线是y＝9.

②由f′（x）＝12得－6x2＋6x＋12＝12，

解得x＝0或x＝1.

在x＝0处，y＝f（x）的切线方程为y＝12x－11；

在x＝1处，y＝f（x）的切线方程为y＝12x－10，

∴y＝f（x）与y＝g（x）的公切线不是y＝12x＋9.

综上所述，y＝f（x）与y＝g（x）的公切线是y＝9，此时k＝0.

课标Ⅱ，12，难）设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（－1）＝0，当x＞0时，xf′（x）－f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（　　）

A．（－∞，－1）∪（0，1）B．（－1，0）∪（1，＋∞）

C．（－∞，－1）∪（－1，0）D．（0，1）∪（1，＋∞）

【答案】　A　设h（x）＝.∵f（x）是奇函数，

∴f（－x）＝－f（x），

∴h（－x）＝＝＝h（x）．

∴h（x）是偶函数．

∵xf′（x）－f（x）＜0，

∴h′（x）＝′＝＜0.

∴h（x）在（0，＋∞）上为减函数，在（－∞，0）上为增函数，且h（±

1）＝0，如图所示，

可知满足f（x）＞0的x的取值范围是（－∞，－1）∪（0，1）．

思路点拨：

构造函数h（x）＝，并判断其奇偶性和单调性，最后数形结合求解不等式．

2．（2015·

课标Ⅰ，12，难）设函数f（x）＝ex（2x－1）－ax＋a，其中a<

1，若存在唯一的整数x0使得f（x0）<

0，则a的取值范围是（　　）

C.D.

【答案】　D　设g（x）＝ex（2x－1），y＝ax－a，由题意知存在唯一的整数x0，使得g（x0）在直线y＝ax－a的下方．因为g′（x）＝ex（2x＋1），所以当x＜－时，g′（x）＜0；

当x＞－时，g′（x）＞0.所以当x＝－时，[g（x）]min＝－2e－；

当x＝0时，g（0）＝－1；

当x＝1时，g

（1）＝e＞0.又直线y＝ax－a恒过点（1，0）且斜率为a，故－a＞g（0）＝－1，且g（－1）＝－3e－1≥－a－a，

解得≤a＜1，故选D.

山东，21，14分，难）设函数f（x）＝ln（x＋1）＋a（x2－x），其中a∈R.

（1）讨论函数f（x）极值点的个数，并说明理由；

（2）若∀x>

0，f（x）≥0成立，求a的取值范围．

（1）由题意知，函数f（x）的定义域为（－1，＋∞），f′（x）＝＋a（2x－1）＝，

令g（x）＝2ax2＋ax－a＋1，x∈（－1，＋∞）．

（i）当a＝0时，g（x）＝1，此时f′（x）＞0，函数f（x）在（－1，＋∞）单调递增，无极值点；

（ii）当a＞0时，Δ＝a2－8a（1－a）＝a（9a－8）．

①当0＜a≤时，Δ≤0，g（x）≥0，

f′（x）≥0，函数f（x）在（－1，＋∞）单调递增，无极值点；

②当a＞时，Δ＞0，

设方程2ax2＋ax－a＋1＝0的两根为x1，x2（x1＜x2），

因为x1＋x2＝－，

所以x1＜－，x2＞－，

由g（－1）＝1＞0，可得－1＜x1＜－.

所以当x∈（－1，x1）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；

当x∈（x1，x2）时，g（x）＜0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；

当x∈（x2，＋∞）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．

所以函数有两个极值点．

（iii）当a＜0时，Δ＞0，

由g（－1）＝1＞0，可得x1＜－1，

当x∈（－1，x2）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；

当x∈（x2，＋∞）时，g（x）＜0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减．

所以函数有一个极值点．

综上所述，

当a＜0时，函数f（x）有一个极值点；

当0≤a≤时，函数f（x）无极值点；

当a＞时，函数f（x）有两个极值点．

（2）由

（1）知，

（ⅰ）当0≤a≤时，函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增．因为f（0）＝0，

所以x∈（0，＋∞）时，f（x）＞0，符合题意；

（ⅱ）当＜a≤1时，由g（0）≥0，得x2≤0，

所以函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增，又f（0）＝0，所以x∈（0，＋∞）时，f（x）＞0，符合题意；

（ⅲ）当a＞1时，由g（0）＜0，可得x2＞0.

所以x∈（0，x2）时，函数f（x）单调递减；

因为f（0）＝0，

所以x∈（0，x2）时，f（x）＜0，不合题意；

（ⅳ）当a＜0时，设h（x）＝x－ln（x＋1）．

因为x∈（0，＋∞）时，h′（x）＝1－＝＞0，

所以h（x）在（0，＋∞）上单调递增．

因此当x∈（0，＋∞）时，h（x）＞h（0）＝0，

即ln（x＋1）＜x.

可得f（x）＜x＋a（x2－x）＝ax2＋（1－a）x.

当x＞1－时，ax2＋（1－a）x＜0.

此时f（x）＜0，不合题意．

综上所述，a的取值范围是[0，1]．

课标Ⅱ，21，12分，难）设函数f（x）＝emx＋x2－mx.

（1）证明：

f（x）在（－∞，0）单调递减，在（0，＋∞）单调递增；

（2）若对于任意x1，x2∈[－1，1]，都有|f（x1）－f（x2）|≤e－1，求m的取值范围．

f′（x）＝m（emx－1）＋2x.

若m≥0，则当x∈（－∞，0）时，emx－1≤0，f′（x）<

当x∈（0，＋∞）时，emx－1≥0，f′（x）>

0.

若m<

0，则当x∈（－∞，0）时，emx－1>

0，f′（x）<

当x∈（0，＋∞）时，emx－1<

0，f′（x）>

所以，f（x）在（－∞，0）单调递减，在（0，＋∞）单调递增．

（2）由

（1）知，对任意的m，f（x）在[－1，0]单调递减，在[0，1]单调递增，故f（x）在x＝0处取得最小值．所以对于任意x1，x2∈[－1，1]，|f（x1）－f（x2）|≤e－1的充要条件是

即①

设函数g（t）＝et－t－e＋1，

则g′（t）＝et－1.

当t<

0时，g′（t）<

当t>

0时，g′（t）>

故g（t）在（－∞，0）单调递减，在（0，＋∞）单调递增．

又g

（1）＝0，g（－1）＝e－1＋2－e<

故当t∈[－1，1]时，g（t）≤0.

当m∈[－1，1]时，g（m）≤0，g（－m）≤0，即①式成立；

当m>

1时，由g（t）的单调性得，g（m）>

0，即em－m>

e－1；

当m<

－1时，g（－m）>

0，即e－m＋m>

e－1.

综上，m的取值范围是[－1，1]．

课标Ⅰ，