高考复习方法策略基本初等函数复习抓基本概念图象性质Word格式文档下载.docx

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1时，当x>

0且x越大时，显然ax越大，向上无界；

当x<

0且x越小时，显然ax＝

越小，且能无限接近于0，故值域为（0，＋∞），同时也反映出在R上是增函数等．

（2）结合对数运算、对数函数与指数函数的联系理解对数函数性质．同底的指数函数与对数函数互为反函数，其图象关于直线y＝x对称，可将二者对比着复习．

（3）指、对、幂函数的增长速度不同．指数函数的增长速度大于幂函数，幂函数大于对数函数．

3．牢固树立分类讨论、数形结合意识，自觉运用化归转化思想．

指、对函数的图象与性质，分底数a>

1和0<

a<

1两种情形，当指、对函数的底数与1的大小不确定时，一定要分类讨论．图形是思维的依托，数形结合也是解决指、对、幂函数的重要思想方法．与指、对、幂函数有关的复合函数，研究它们的值域、最值、单调性等，常常使用换元的方法，将它们转化为基本初等函数．

例1　设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则a、b、c的大小关系为______________．

解后反思

一般利用函数的单调性比较函数值的大小．

（1）对于同底的对数（指数），直接利用相应的对数（指数）函数的单调性进行比较．

（2）对于同真数不同底数的对数，利用换底公式转化为同底的对数，再结合不等式的性质比较大小．也可以利用函数图象比较大小，在同一坐标系中作出y＝log3x，y＝log5x，y＝log7x的图象（利用y＝1定特殊点），如图，便可看出x＝3时对数的大小．对于指数相同底数不同的指数大小比较，同样能利用指数函数图象比较大小．

（3）真数、底数均不相同的对数大小比较，一般选择一个数与之比较，看能否利用不等式的传递性比较大小．也可选择一个对数，与其中一个同底，与另一个同真，转化为上述两种情形，看能否利用不等式的传递性比较大小．指数、底数均不相同的指数也能按照类似方法比较大小．

“穷则变，变则通”，将对数变形，洞察其内在的联系，是迅速解决问题的关键．

例2　函数y＝

的图象大致为________．

函数图象的识辨可从以下方面入手：

（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；

从函数的值域，判断图象的上下位置；

（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；

（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；

（4）从函数的周期性，判断图象的循环往复；

（5）从函数的特征点，排除不合要求的图象．

例3　已知函数f（x）＝loga（1＋x）＋loga（1－x）（a>

0且a≠1）．

（1）求f（x）的定义域；

（2）求f（x）的值域；

（3）求f（x）的单调区间．

1．在求对数型函数的定义域时，不要对解析式变形．如将f（x）变形为f（x）＝loga[（1＋x）（1－x）]＝loga（1－x2），然后令1－x2>

0，也能解出正确结果，但算理是错误的，前后不是等价变形．如g（x）＝loga（x＋1）＋loga（x＋2），变形后g（x）＝loga[（x＋1）（x＋2）]，由（x＋1）（x＋2）>

0解得的结果则是错误的．

2．解析式较为复杂的函数值域、最值、单调性等，常常使用换元的方法，将它们转化为最基本的函数模型，其中复合函数的单调性根据“同增异减”的原则确定．解决这些问题时，不要忽略定义域．

总结感悟

1．比较两个数值的大小，如果具有可比性，直接比较大小；

若不具有可比性，选择合适的中间值，利用不等式的传递性比较大小．

2．识别函数图象，往往运用排除法．从解析式、定义域、最值、奇偶性、单调性、有界性、渐进性、极端情形、特殊值（点）等不同角度入手，找到矛盾，排除干扰图象．

3．解析式较为复杂的函数值域、最值、单调性等问题，常常使用换元法，将它们转化为最基本的函数模型．其中复合函数的单调性根据“同增异减”的原则确定．解决这些问题时，不要忽略定义域．

【误区警示】

在画指、对函数有关的函数图象时，要注意有界性．如函数f（x）＝1－3x，

要注意到它是有界的，直线y＝1是渐近线．

A级

1．对数函数的图象过点M（16，4），则此对数函数的解析式为____________．

2．若10a＝5，10b＝2，则a＋b＝________．

3．函数y＝

（0<

1）的图象的大致形状是________．

4．（2016·

全国Ⅲ改编）已知a＝2

，b＝3

，c＝25

，则a，b，c的大小关系为________．

5．函数y＝8－23－x（x≥0）的值域是________．

6．设a>

1，函数f（x）＝logax在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为

，则a＝________．

B级

7．若loga（a2＋1）<

loga2a<

0，则a的取值范围是________．

8．（2016·

全国Ⅰ改编）函数y＝2x2－e|x|在[－2，2]的图象大致为________（填序号）．

9．函数f（x）＝2x|log0.5x|－1的零点个数为________．

10．已知函数f（x）＝loga（x2＋2x－3），若f

（2）>

0，则此函数的单调递增区间是________．

11．如果函数y＝a2x＋2ax－1（a>

0，a≠1）在区间[－1，1]上的最大值是14，则a的值为________．

12．已知函数f（x）＝2a－

（a∈R）．

（1）若函数f（x）为奇函数，求a的值；

（2）判断函数f（x）在R上的单调性，并证明．

复习指导

【温故知新1】　解　方法一　（lg2）2＋lg2·

lg50＋lg25＝lg2（lg2＋lg50）＋lg25

＝lg2lg（2×

50）＋lg25

＝lg2lg100＋lg25＝2lg2＋lg25

＝lg22＋lg25＝lg（4×

25）＝2.

方法二　（lg2）2＋lg2·

lg50＋lg25

＝（lg2）2＋lg2·

lg

＋lg25

（lg100－lg2）＋lg25

（2－lg2）＋lg25

＝（lg2）2＋2lg2－（lg2）2＋lg25

＝2lg2＋lg25

【温故知新2】　解　原式＝

＝a

＋

－1＋

b1＋

－2－

＝ab－1.

题型分析

例1　a>

b>

c

解析　设a＝log36＝1＋log32＝1＋

，b＝log510＝1＋log52＝1＋

，c＝log714＝1＋log72＝1＋

，显然a>

c.

例2　①

解析　函数有意义，需使ex－e－x≠0，其定义域为{x|x≠0}，排除④.又因为y＝

＝

＝1＋

，所以当x>

0时函数为减函数．

例3　解　

（1）欲使f（x）有意义，

则

得－1<

x<

1，

即函数f（x）的定义域为（－1，1）；

（2）f（x）＝loga（1＋x）（1－x）＝loga（1－x2），令t＝1－x2∈（0，1]，

则y＝logat，t∈（0，1]．

当a>

1时，y∈（－∞，0]；

0<

1时，y∈[0，＋∞）．

即当a>

1时，f（x）的值域为（－∞，0]，

1时，f（x）的值域为[0，＋∞）．

（3）令t＝1－x2，则函数f（x）由y＝logat，及t＝1－x2复合而成．

t＝1－x2在（－1，0）上是增函数，在（0，1）上是减函数．

故a>

1时，由y＝logat是增函数，知f（x）在（－1，0）上是增函数，在（0，1）上是减函数；

1时，由y＝logat是减函数，知f（x）在（0，1）上是增函数，在（－1，0）上是减函数．

线下作业

1．y＝log2x

解析　由于对数函数的图象过点M（16，4），所以4＝loga16，得a＝2.

所以对数函数的解析式为y＝log2x.

2．1

解析　∵a＝lg5，b＝lg2，

∴a＋b＝lg5＋lg2＝lg10＝1.

3．b<

解析　a＝2

，所以b＜a＜c.

4．④

解析　c＝log46＝log226＝

log26

＝log2

>

注意到2>

1，3＝

，于是log23>

log2

＝log46>

而b＝log32<

1，∴a>

c>

b.

5．[0，8）

解析　∵x≥0，∴－x≤0，∴3－x≤3，

∴0<

23－x≤23＝8，∴0≤8－23－x<

8，

∴函数y＝8－23－x的值域为[0，8）．

6．4

解析　∵a>

∴f（x）＝logax在[a，2a]上递增，

∴loga（2a）－logaa＝

，

即loga2＝

，∴a

＝2，a＝4.

7．（

，1）

解析　由题意得a>

0，

故必有a2＋1>

2a，

又loga（a2＋1）<

所以0<

同时2a>

1，所以a>

.

综上，a∈（

，1）．

8．④

解析　f

（2）＝8－e2>

8－2.82>

0，排除①；

f

（2）＝8－e2<

8－2.72<

1，排除②；

在x>

0时，f（x）＝2x2－ex，f′（x）＝4x－ex，当x∈

时，f′（x）<

×

4－e0＝0，因此f（x）在

上单调递减，排除③，故填④.

9．2

解析　当0<

1时，f（x）＝2xlog0.5x－1，令f（x）＝0，则log0.5x＝

由y＝log0.5x，y＝

的图象知，在（0，1）内有一个交点，即f（x）在（0，1）上有一个零点．

当x>

1时，f（x）＝－2xlog0.5x－1

＝2xlog2x－1，

令f（x）＝0得log2x＝

由y＝log2x，y＝

的图象知在（1，＋∞）上有一个交点，即f（x）在（1，＋∞）上有一个零点．

10．（1，＋∞）

解析　∵f

（2）＝loga5>

0＝loga1，

∴a>

1.

由x2＋2x－3>

得函数f（x）的定义域为（－∞，－3）∪（1，＋∞）．

设u＝x2＋2x－3，则u在（1，＋∞）上为增函数．

又y＝logau（a>

1）在（1，＋∞）上也为增函数，

∴函数f（x）的单调递增区间是（1，＋∞）．

11.

或3

解析　令ax＝t，

则y＝a2x＋2ax－1＝t2＋2t－1

＝（t＋1）2－2.

1时，因为x∈[－1，1]，所以t∈[

，a]，又函数y＝（t＋1）2－2在

上单调递增，

所以ymax＝（a＋1）2－2＝14，解得a＝3（负值舍去）．

当0<

1时，因为x∈[－1，1]，

所以t∈[a，

]，

又函数y＝（t＋1）2－2在[a，

]上单调递增，

则ymax＝（

＋1）2－2＝14，

解得a＝

（负值舍去）．

综上知a＝3或a＝

12．解　

（1）∵函数f（x）为奇函数，

∴f（－x）＋f（x）＝0，

即（2a－

）＋（2a－

）＝0，

则有4a－

－

＝0，

即4a－

∴4a－1＝0，∴a＝

（2）函数f（x）在R上是增函数，

证明如下，

任取x1，x2∈R，且x1<

x2，

则f（x1）－f（x2）

＝（2a－

）－（2a－

）

∵函数y＝3x在R上是增函数，且x1<

x2，∴3x1<

3x2，即3x1－3x2<

0.

又3x>

0，∴3x1＋1>

0，3x2＋1>

∴f（x1）－f（x2）<

即f（x1）<

f（x2），故函数f（x）在R上是增函数．