数列的递推公式选学教案Word格式文档下载.docx

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由此展开新课的探究．

思路2.（直接引入）我们知道数列1,2,3,4，…可用通项公式an＝n表示．容易发现，这个数列从第2项起的任一项都可用它的前一项表示出来，即an＝an－1＋1（n≥2），这就是数列的另一种表示方法，也就是今天我们探究的主要内容：

递推公式．由此展开探究．

推进新课

新知探究

提出问题

（1）多媒体演示图1，是工厂生产的钢管堆放示意图，你能写出它的一个通项公式吗？

你能找出它的相邻两层之间的关系吗？

（2）数列{an}的通项公式是an＝2n.从第2项起，它的任一项与它相邻的前一项有什么关系？

章头数列3，1coscoscos…从第2项起，它的任一项与它相邻的前一项有什么关系呢？

（3）怎样理解递推公式？

若已知数列an＝2an－1＋1，你能写出这个数列吗？

为什么？

活动：

教师用多媒体演示工厂生产的钢管堆放示意图．引导学生观察钢管堆放示意图，寻其规律，看看能否建立它的一些数学模型．由学生合作探究，必要时教师给予点拨．

模型一：

自上而下

第1层钢管数为4，即14＝1＋3；

第2层钢管数为5，即25＝2＋3；

第3层钢管数为6，即36＝3＋3；

第4层钢管数为7，即47＝4＋3；

第5层钢管数为8，即58＝5＋3；

第6层钢管数为9，即69＝6＋3；

第7层钢管数为10，即710＝7＋3.

若用an表示钢管数，n表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且an＝n＋3（1≤n≤7）．

模型二：

上下层之间的关系

自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1，

即a1＝4；

a2＝5＝4＋1＝a1＋1；

a3＝6＝5＋1＝a2＋1.

依此类推：

an＝an－1＋1（2≤n≤7）．

在教师的引导点拨下，学生最终能得到以上两种数学模型，教师适时给以点评．首先表扬学生的这种探究问题的精神，不怕困难敢于钻研，而且推得两个很重要的结论．对于推得的an＝n＋3，只要将n的具体值代入，我们就会很快地求出某一层的钢管数．因为这一关系反映了每一层的钢管数与其层数之间的对应规律，这会给我们的统计与计算带来很大方便，这是由特殊到一般的数学思想方法的运用，是非常正确和成功的．对于推得an＝an－1＋1（2≤n≤7且n∈N*）的同学就更值得表扬，因为这是我们没有见过的，这就是创新，这就是聪明智慧的闪现．这个关系式说明：

只要知道a1，则以后的每一项都等于它的前项加1，这样就可以求出第二项，以此类推即可求出其他项．这就是我们今天要探究的一个重点内容，也就是数列的另一种表示法，递推公式法．我们把数列中具有这种递推关系的式子叫做递推公式．递推公式很重要，显然教材上涉及的内容不多，但在每年的高考卷上都有所体现，应引起注意．下一节要学习的等差数列就是最简单的递推数列．

引导学生给递推公式这样下定义：

通过给出数列的第一项（或前若干项），并给出数列的某一项与它的前一项（或前若干项）的关系式来表示数列，这种表示数列的式子叫做这个数列的递推公式．

注意：

递推公式也是给出数列的一种方法．如下列数字排列的一个数列：

3,5,8,13,21,34,55,89，递推公式为a1＝3，a2＝5，an＝an－1＋an－2（3≤n≤8）．掌握递推公式的关键一点是把握其中的递推关系，应特别注意探究和发现递推关系中前项和后项，或前、后几项之间的关系．

有了以上探究活动，学生很容易探究出问题

（2）（3），至此，学生对数列的表示方法有了全面的理解，为数列的后续内容的学习打下了坚实的基础．

讨论结果：

（1）略

（2）a1＝2，an＝2an－1（n＝2,3,4，…）；

数列3，a1＝1，an＝cos（an－1）（n＝2,3,4，…）．

（3）递推公式包括已知的第1项（或前几项）才能写出这个数列的后续各项．前者是递推的基础，后者是递推的延续．因此仅知an＝2an－1＋1无法写出这个数列的各项．

应用示例

例1已知a1＝2，an＋1＝2an，写出前5项，并猜想an.

根据a1＝2及an＋1＝2an，学生很容易求出前5项，分别是2,4,8,16,32.由观察可猜想an＝2n，这种解法在选择题或填空题中是非常有效的，但若改为求an，这种解法则是不完整的．

由anan－1＝2，可得到以下解法：

anan－1×

an－1an－2×

an－2an－3×

…×

a2a1＝ana1＝2n－1，

∴an＝2n.

解：

∵a1＝2，an＋1＝2an，

∴a2＝2×

a1＝4，

a3＝2×

a2＝8，

a4＝2×

a3＝16，

a5＝2×

a4＝32.

∵a2＝2×

2＝22，a3＝2×

22＝23，a4＝16＝24，

∴猜想an＝2n.

变式训练

已知a1＝2，an＋1＝an－4，求an.

由an＋1－an＝－4依次向下写，一直到第一项，然后将它们加起来，

an－an－1＝－4

an－1－an－2＝－4

an－2－an－3＝－4

……

＋a2－a1＝－4an－a1＝－4n－1

∴an＝2－4（n－1）．

例2（教材本节例1）

本例由学生自己完成，并通过本例边注中的提问，让学生进一步体会数列两种表示方法的特色，用递推公式写出数列的前几项后，引导学生观察、归纳并猜想该数列的通项公式，虽有一定难度，但学生应有这个能力．教师可引导学生分析，如果不代入a1的值，由依次计算的结果可能更容易看到an与n的函数关系：

a2＝a11－a1；

a3＝a11－2a1，a4＝a11－3a1，a5＝a11－4a1，…，an＝a11－n－1•a1＝23－2n.

已知数列{an}的递推公式是an＋2＝3an＋1－2an，且a1＝1，a2＝3.

求：

（1）a5；

（2）127是这个数列中的第几项？

（1）∵a1＝1，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an，

∴a3＝3a2－2a1＝7，

a4＝3a3－2a2＝15，

a5＝3a4－2a3＝31.

（2）由递推公式，可得a6＝3a5－2a4＝63，a7＝3a6－2a5＝127，

∴127是此数列的第7项．

例3（教材本节例2）

本例为数列这一大节的最后一个教材例题，具有一定的综合性，难度较大．要求学生有较坚实的数形结合基础和解题能力．这种解题的综合能力，要努力去训练，学生才能掌握．具体讲解时，可把P1，P2，P3的坐标都写出来让学生观察发现an与an＋1间的关系．

在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln（1＋1n），则an等于（）

A．2＋lnnB．2＋（n－1）lnn

C．2＋nlnnD．1＋n＋lnn

答案：

A

解析：

方法一，由a2＝a1＋ln2＝2＋ln2，排除C、D；

由a3＝a2＋ln（1＋12）＝2＋ln3，排除B.故选A.

方法二，由已知，an＋1－an＝lnn＋1n，a1＝2，

∴an－an－1＝lnnn－1，an－1－an－2＝lnn－1n－2，

…

a2－a1＝ln21，

将以上n－1个式子累加得

an－a1＝lnnn－1＋lnn－1n－2＋…＋ln21

＝ln（nn－1•n－1n－2•…•21）＝lnn，

∴an＝2＋lnn.

例4如图甲是第七届国际数学教育大会的会徽，会徽的主体图案是由如图乙所示的一连串直角三角形演化而成，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，记OA1，OA2，OA3，…，OA7，OA8的长度所在的数列为{ln}（n∈N*,1≤n≤8）．

甲

乙

（1）写出数列的前4项；

（2）写出数列{ln}的一个递推关系式；

（3）求{ln}的通项公式；

（4）如果把图中的三角形继续作下去，那么OA9，OA2007的长度分别是多少？

本例虽然题干看起来很繁杂，但难度并不大，可让学生独立探究解决，学生充分理解题意后会很快完成第

（1）问，关于递推公式，教师可点拨学生递推公式的关键是递推关系，也就是前项和后项的关系，这是递推公式的核心所在．教师可借此进一步向学生点拨：

①数列的递推公式是由初始值和相邻几项的递推关系确定的，如果只有递推关系而无初始值，那么这个数列是不能确定的．

②递推公式是给出数列的一种方法，由递推公式可能求出数列的通项公式，也可能求不出通项公式．

（1）l1＝OA1＝1，l2＝OA2＝2，l3＝OA3＝3，l4＝OA4＝2.

（2）通过观察图形，可知：

OAn＋1，OAn,1组成直角三角形，而OAn＋1＝ln＋1，OAn＝ln.

∴由勾股定理可得l2n＋1＝l2n＋1（n∈N*,1≤n≤8）．

（3）ln＝n.

（4）OA9＝l9＝3，OA2007＝2007＝3223.

点评：

递推关系在教材上的要求并不高，仅是明了递推公式是数列的一种表示方法，并能根据给出的数列递推公式写出其中的几项，对繁难复杂的递推公式，如3项或2项以上的递推公式不作要求．

知能训练

1．若数列{an}前n项的值各异，且an＋8＝an对任意的n∈N*都成立，则下列数列中可取遍{an}的前8项值的数列为（）

A．{a2n＋1}B．{a3n＋1}C．{a4n＋1}D．{a6n＋1}

2．已知an＝an－2＋an－1（n≥3），a1＝1，a2＝2，bn＝anan＋1，则数列{bn}的前4项依次是__________．

1．B解析：

取k＝0,1,2，…，8验证，周期为8.

2．前4项依次是12，23，35，58.

课堂小结

1．先由学生自己总结归纳本节课所学到的数学知识，即数列的简单表示法：

通项公式、列表法、图象法、简单的递推公式法．探求和发展了数列的各项之间的关系及其规律，并用合适的表示法来表示这种规律．

2．教师强调，通过例题进一步明确了数列的图象是一些离散的点，并通过实际例子探究出数列的递推公式．由于教材内容对此要求不高，因此我们在例题或习题的难度上作了严格的控制，但要熟悉常用的基本方法．

作业

课本本节习题2—1A组7、8；

习题2—1B组4，第5题选做．

设计感想

本教案设计遵循生活是源，数学是流的规律，对数学概念的探究都是在日常生活实例的背景下进行的．如递推数列是通过工厂堆放的钢管数呈现的．目的是让学生感受到数学离不开生活，生活离不开数学．

本教案设计思路体现了新课程理念，遵循学生的认知规律，让学生自主学习，经历数学活动，体验数学过程，以活泼、清新、富于理性思维的内容参与教学，拓展空间，激活思维．同时使学生借助递推思想，有效提高学生分析问题、解决问题的能力，培养学生严密的思维习惯，促进个性品质的良好发展．

本教案设计力图展示：

教为主导，学为主体，思维训练为主线的教学理念．数学课堂的最后呈现标准不是学生成为解题能手，成为听话的乖绵羊，而是让学生体会到数学的实用价值，一种文化价值．当你醉心于数学课堂时，数学课堂便呈现给你一种美景：

那就是活生生的数学，那就是内在神奇而奥妙，外在冷傲而绝美，由大自然抽象出来的自然科学的皇后——数学．

备课资料

一、探究求数列通项公式的方法

求通项公式是学习数列的一个难点，由于求通项公式时需用到多种数学思想方法，因此求解过程中往往方法多，灵活性大，技巧性强，为了学生课余时间进一步探究，现举几例，以供参考．

1．观察法

已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项．

【例1】已知数列12，14，－58，1316，－2932，6164，…，写出此数列的一个通项公式．

观察数列前若干项可得通项公式为an＝（－1）n2n－32n.

2．公式法

已知数列的前n项和求通项时，通常用公式an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；

另一种是“合二为一”，即a1和an合为一个表达式．

【例2】已知数列{an}的前n项和Sn满足log2（Sn＋1）＝n＋1，求此数列的通项公式．

由条件可得Sn＝2n＋1－1，

当n＝1时，a1＝3，

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－2n＝2n.

所以an＝3，n＝1，2n，n≥2.

3．累差迭加法

若数列{an}满足an＋1＝an＋f（n）的递推式，其中f（n）又是等差数列或等比数列，则可用累差迭加法求通项．

【例3】已知数列6,9,14,21,30，…，求此数列的通项．

∵a2－a1＝3，a3－a2＝5，a4－a3＝7，…，an－an－1＝2n－1，

各式相加得an－a1＝3＋5＋7＋…＋（2n－1），

∴an＝n2＋5（n∈N）．

4．连乘法

若数列{an}能写成an＝an－1f（n）（n≥2）的形式，则可由an＝an－1f（n），an－1＝an－2f（n－1），an－2＝an－3f（n－2），…，a2＝a1f

（2）连乘求得通项公式．

【例4】已知数列{an}满足a1＝1，Sn＝n＋1an2（n∈N），求{an}的通项公式．

∵2Sn＝（n＋1）an（n∈N），

2Sn－1＝nan－1（n≥2，n∈N），

两式相减得2an＝（n＋1）an－nan－1，

∴anan－1＝nn－1（n≥2，n∈N）．

于是有a2a1＝21，a3a2＝32，a4a3＝43，…，anan－1＝nn－1（n≥2，n∈N），

以上各式相乘，得an＝na1＝n（n≥2，n∈N）．

又a1＝1，∴an＝n（n∈N）．

5．求解方程法

若数列{an}满足方程f（an）＝0时，可通过解方程的思想方法求得通项公式．

【例5】已知函数f（x）＝2x－2－x，数列{an}满足f（log2an）＝－2n，求数列{an}的通项公式．

由条件f（log2an）＝2log2an－2－log2an＝－2n，即an－1an＝－2n.

∴a2n＋2nan－1＝0.

又an＞0，∴an＝n2＋1－n.

6．迭代法

若数列{an}满足an＝f（an－1），则可通过迭代的方法求得通项公式．

二、备用习题

1．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝3，an＝an－1＋1an－2（n≥3），则a5等于（）

A.5512B.133C．4D．5

2．已知数列{an}的首项a1＝1，且an＝－12an－1（n≥2，且n∈N*），则a4等于…（）

A．－1B.12C.1724D．－18

3．设{an}是首项为1的正项数列，且（n＋1）a2n＋1－na2n＋an＋1•an＝0（n∈N*），则它的通项公式an＝__________.

4．设数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，则通项an＝__________.

5．已知an＝n－98n－99（n∈N*），则在数列{an}中的前30项中，最大项和最小项分别是__________．

6．一只猴子爬一个8级的梯子，每次可爬一级或上跃二级，最多能上跃起三级，从地面上到最上一级，你知道这只猴子一共可以有多少种不同的爬跃方式吗？

参考答案：

1．A解析：

a3＝a2＋1a1＝4，a4＝a3＋1a2＝133，a5＝a4＋1a3＝5512.

2．D解析：

a2＝－12a1＝－12，a3＝－12a2＝14，a4＝－12a3＝－18.

3.1n解析：

由已知可求得a2＝12，a3＝13，a4＝14，由此可猜想an＝1n.

4.nn＋12＋1解析：

由题意得，当n≥2时，an＝a1＋（a2－a1）＋（a3－a2）＋…＋（an－an－1）＝2＋n－12＋n2＝nn＋12＋1.当n＝1时，也符合上式．因此，an＝nn＋12＋1.

5．a10，a9解析：

an＝n－98n－99＝1＋99－98n－99，

当1≤n≤9时，99－98n－99＜0，an为递减函数；

当n≥10时，99－98n－99＞0，an为递减函数．

∴最大项为a10，最小项为a9.

6．解：

这题是一道应用题，本题难在爬梯子有多种形式，到底是爬一级还是上跃二级等情况要分类考虑周到．

爬一级梯子的方法只有一种．

爬一个二级梯子的方法有两种，即一级一级爬是一种，还有一次爬二级，所以共有两种．

若设爬一个n级梯子的不同爬法有an种，

则an＝an－1＋an－2＋an－3（n≥4），

则得到a1＝1，a2＝2，a3＝4及an＝an－1＋an－2＋an－3（n≥4），就可以求得a8＝81.