二元一次方程的简单应用预习.docx

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二元一次方程的简单应用预习

二元一次方程的简单应用

知识引入

例1养牛场原有30只母牛和15只小牛，一天约需用饲料675kg;一周后又购进12只母牛和5只小牛，这时一天约需用饲料940kg.饲养员李大叔估计平均每只母牛1天约需用饲料18～20kg,每只小牛1天约需用饲料7～8kg.你能否通过计算检验他的估计？

分析：

怎样检验李大叔的估计是否正确？

（1）先假设李大叔的估计正确，再根据问题中给定的数量关系来检验；

（2）根据问题中给定的数量关系求出平均每只母牛和每只小牛1天各约需用饲料量，再来判断李大叔的估计是否正确．

本题的等量关系是什么？

30只母牛一天用的饲料量+15只小牛一天用的饲料量=675

（1）

（30+12）只母牛一天用的饲料量+（15+5）只小牛一天用的饲料量=940

（2）

设平均每只母牛和每只小牛1天各约需用饲料xkg和ykg，根据题意可列怎样的方程组？

解这个方程组得

答：

每只母牛和每只小牛1天各需用饲料为20kg和5kg，饲料员李大叔对母牛的食量估计正确，对小牛食量估计有一定的偏差。

例2据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1：

1：

5，现要在一块长200m，宽100m的长方形土地，分为两块长方形土地，分别种植两种作物，怎样划分这块地，使甲、乙两种作物的总产量的比是3：

4（结果取整数）？

分析：

本题中的基本关系是什么？

本题中的等量关系有哪些？

总产量＝单位面积产量×面积

甲作物的单位面积产量︰乙作物的单位面积产量＝1︰1.5

甲作物的总产量︰乙作物的总产量＝3︰4

怎样划分这块土地呢？

第一种是甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形AEFD和BCFE，如图

（1）；第二种是甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形ABFE和FECD,如图

（2）。

（1）

（2）

对第一种种植方案，设AE=xm，BE=ym，可得怎样的方程组？

解这个方程组，得

具体怎么划分呢？

请你作答。

过长方形土地的长边上离一端约106m处，把这块地分为两个长方形．较大一块地种甲作物，较小一块地种乙作物．

你能求出第二种种植方案的答案吗？

试试看。

例3如图，长春化工厂与A，B两地有公路、铁路相连．这家工厂从A地购买一批每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B地．公路运价为1.5元（吨·千米），铁路运价为1.2元（吨·千米），这两次运输共支出公路运费15000元，铁路运费97200元．这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？

分析：

要求“这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？

”我们必须知道什么？

销售款与产品数量有关，原料费与原料数量有关，而公路运费和铁路运费与产品数量和原料数量都有关．因此，我们必须知道产品的数量和原料的数量。

本题涉及的量较多，我们知道，这种情况下常用列表的方式来处理。

本题涉及哪两类量呢？

一类是公路运费，铁路运费，价值；二类是产品数量，原料数量。

设产品重x吨，原料重y吨，列表如下：

产品x吨

原料y吨

合计

公路运费（元）

1.5×20x

1.5×10y

1.5（20x+10y）

铁路运费（元）

1.2×110x

1.×120y

1.2（110x+120y）

价值（元）

8000x

1000y

由上表可列方程组

解这个方程组，得

销售款:

8000×300=2400000;原料费:

1000×400=400000;

运输费:

15000+97200=112200.

所以这批产品的销售款比原料费与运输的和多1887800元.

例4某停车场的收费标准如下：

中型汽车的停车费为6元/辆，小型汽车的停车费为4元/辆.现在停车场有50辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费230元，问中、小型汽车各有多少辆？

解析：

设中型汽车有x辆，小型汽车有y辆.由题意，得

解得，

故中型汽车有15辆，小型汽车有35辆.

例5某蔬菜公司收购蔬菜进行销售的获利情况如下表所示：

销售方式

直接销售

粗加工后销售

精加工后销售

每吨获利（元）

100

250

450

现在该公司收购了140吨蔬菜，已知该公司每天能精加工蔬菜6吨或粗加工蔬菜16吨（两种加工不能同时进行）．

（1）如果要求在18天内全部销售完这140吨蔬菜，请完成下列表格：

销售方式

全部直接销售

全部粗加工后销售

尽量精加工，剩余部分直接销售

获利（元）

（2）如果先进行精加工，然后进行粗加工，要求在15天内刚好加工完140吨蔬菜，则应如何分配加工时间？

解析：

（1）全部直接销售获利为：

100×140=14000（元）；

全部粗加工后销售获利为：

250×140=35000（元）；

尽量精加工，剩余部分直接销售获利为：

450×（6×18）＋100×（140－6×18）=51800（元）.

（2）设应安排x天进行精加工，y天进行粗加工.

由题意，得

解得，

故应安排10天进行精加工，5天进行粗加工.

小结

列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步，即：

（1）审：

通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，并用字母表示其中的两个未知数；

（2）找：

找出能够表示题意两个相等关系；

（3）列：

根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组；

（4）解：

解这个方程组，求出两个未知数的值；

（5）答：

在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案.

新知学习

二元一次方程组是最简单的方程组，其应用广泛，尤其是生活、生产实践中的许多问题，大多需要通过设元、列二元一次方程组来加以解决，现将常见的几种题型归纳如下：

一、数字问题

典例1一个两位数，比它十位上的数与个位上的数的和大9；如果交换十位上的数与个位上的数，所得两位数比原两位数大27，求这个两位数．

点评：

由于受一元一次方程先入为主的影响，不少同学习惯于只设一元，然后列一元一次方程求解，虽然这种方法十有八九可以奏效，但对有些问题是无能为力的，象本题，如果直接设这个两位数为x，或只设十位上的数为x，那将很难或根本就想象不出关于x的方程．一般地，与数位上的数字有关的求数问题，一般应设各个数位上的数为“元”，然后列多元方程组解之．

二、利润问题

典例2一件商品如果按定价打九折出售可以盈利20%；如果打八折出售可以盈利10元，问此商品的定价是多少？

点评：

商品销售盈利百分数是相对于进价而言的，不要误为是相对于定价或卖出价．利润的计算一般有两种方法，一是：

利润=卖出价-进价；二是：

利润=进价×利润率（盈利百分数）．特别注意“利润”和“利润率”是不同的两个概念．

三、配套问题

典例3　某厂共有120名生产工人，每个工人每天可生产螺栓25个或螺母20个，如果一个螺栓与两个螺母配成一套，那么每天安排多名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母，才能使每天生产出来的产品配成最多套？

点评：

产品配套是工厂生产中基本原则之一，如何分配生产力，使生产出来的产品恰好配套成为主管生产人员常见的问题，解决配套问题的关键是利用配套本身所存在的相等关系，其中两种最常见的配套问题的等量关系是：

（1）“二合一”问题：

如果ａ件甲产品和ｂ件乙产品配成一套，那么甲产品数的ｂ倍等于乙产品数的ａ倍，即

；

（2）“三合一”问题：

如果甲产品ａ件，乙产品ｂ件，丙产品ｃ件配成一套，那么各种产品数应满足的相等关系式是：

．

四、行程问题

典例4　在某条高速公路上依次排列着A、B、C三个加油站，A到B的距离为120千米，B到C的距离也是120千米．分别在A、C两个加油站实施抢劫的两个犯罪团伙作案后同时以相同的速度驾车沿高速公路逃离现场，正在B站待命的两辆巡逻车接到指挥中心的命令后立即以相同的速度分别往A、C两个加油站驶去，结果往B站驶来的团伙在1小时后就被其中一辆迎面而上的巡逻车堵截住，而另一团伙经过3小时后才被另一辆巡逻车追赶上．问巡逻车和犯罪团伙的车的速度各是多少？

点评：

“相向而遇”和“同向追及”是行程问题中最常见的两种题型，在这两种题型中都存在着一个相等关系，这个关系涉及到两者的速度、原来的距离以及行走的时间，具体表现在：

“相向而遇”时，两者所走的路程之和等于它们原来的距离；

“同向追及”时，快者所走的路程减去慢者所走的路程等于它们原来的距离．

五、货运问题

典例5某船的载重量为300吨，容积为1200立方米，现有甲、乙两种货物要运，其中甲种货物每吨体积为6立方米，乙种货物每吨的体积为2立方米，要充分利用这艘船的载重和容积，甲、乙两重货物应各装多少吨？

点评：

由实际问题列出的方程组一般都可以再化简，因此，解实际问题的方程组时要注意先化简，再考虑消元和解法，这样可以减少计算量，增加准确度．化简时一般是去分母或两边同时除以各项系数的最大公约数或移项、合并同类项等．

六、工程问题

典例6某服装厂接到生产一种工作服的订货任务，要求在规定期限内完成，按照这个服装厂原来的生产能力，每天可生产这种服装150套，按这样的生产进度在客户要求的期限内只能完成订货的

；现在工厂改进了人员组织结构和生产流程，每天可生产这种工作服200套，这样不仅比规定时间少用1天，而且比订货量多生产25套，求订做的工作服是几套？

要求的期限是几天？

点评：

工程问题与行程问题相类似，关键要抓好三个基本量的关系，即“工作量=工作时间×工作效率”以及它们的变式“工作时间=工作量÷工作效率，工作效率=工作量÷工作时间”．其次注意当题目与工作量大小、多少无关时，通常用“1”表示总工作量．

基础演练

【例1】某班委会为奖励在学校艺术节上表现突出的同学，购买相册和胶卷．如果买5本相册和4个胶卷需要139元，如果买4本相册和5个胶卷需要140元．问相册和胶卷的单价各是多少元？

【例2】车间里有90名工人，每人每天能生产螺母24个或螺栓15个，若一个螺栓配两个螺母，

那么应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母才能使螺栓和螺母正好配套？

【例3】如图，8块相同的长方形地砖拼成一个长方形，每块长方形地砖的长和宽分别是多少？

现在请你设未知数列方程组来解决这个问题．

【例4】甲仓库和乙仓库分别存放着某种机器20台和6台．现在准备调运给A厂10台，B厂16台，已知从甲库调运一台机器到A厂的运费为400元，到B厂的运费为800元；从乙库调运一台机器到A厂的运费为300元，到B厂的运费为500元，如果总运费用了16000元．求：

从甲库调给A厂，乙库调给B厂各为多少台机器？

【例5】古运河是扬州的母亲河．为打造古运河风光带，现有一段长为180米的河道整治任务由A、B两工程队先后接力完成．A工程队每天整治12米，B工程队每天整治8米，共用时20天．

（1）根据题意，甲、乙两名同学分别列出尚不完整的方程组如下：

甲：

；乙：

根据甲、乙两名问学所列的方程组，请你分别指出未知数x、y表示的意义，然后在方框中补全甲、乙两名同学所列的方程组：

甲：

x表示　　，y表示　　；

乙：

x表示　　，y表示　　．

（2）求A、B两工程队分别整治河道多少米．（写出完整的解答过程）

【例6】在长为10m，宽为8m的矩形空地中，沿平行于矩形各边的方向分割出三个全等的小矩形花圃，其示意图如图所示．求小矩形花圃的长和宽．

【例7】某班将举行“庆祝建党90周年知识竞赛“活动，班长安排小明购买奖品，下面两图是小明买回奖品时与班长的对话情境：

请根据上面的信息．解决问題：

（1）试计算两种笔记本各买了多少本？

（2）请你解释：

小明为什么不可能找回68元？

【例8】在“家电下乡”活动期间，凡购买指定家用电器的农村居民均可得到该商品售价13%的财政补贴．村民小李购买了一台A型洗衣机，小王购买了一台B型洗衣机，两人一共得到财政补贴351元，又知B型洗衣机售价比A型洗衣机售价多500元．求：

（1）A型洗衣机和B型洗衣机的售价各是多少元？

（2）小李和小王购买洗衣机除财政补贴外实际各付款多少元？

【例9】星期天，七年级1、2两班部分同学相约去某公园玩碰碰车或划船．已知玩碰碰车的同学每人租用一辆车，划船的同学每4人合租一条船，两班各花了115元．活动人数如下表：

班级

玩碰碰车的同学

划船的同学

1

11人

16人

2

8人

20人

试求碰碰车每辆车租金多少元；游船每条船租金多少元？

【例10】某工厂用如图甲所示的长方形和正方形纸板做成如图乙所示的A，B两种长方体形状的无盖纸盒．现有正方形纸板140张，长方形纸板360张，刚好全部用完，问能做成多少个A型盒子？

多少个B型盒子？

（1）根据题意，甲和乙两同学分别列出的方程组如下：

甲：

；乙：

，

根据两位同学所列的方程组，请你分别指出未知数x，y表示的意义：

甲：

x表示　　，y表示　　；

乙：

x表示　　，y表示　　；

（2）求出做成的A型盒子和B型盒子分别有多少个（写出完整的解答过程）？

课后作业

【习题1】根据下图给出的信息，求每件T恤衫和每瓶矿泉水的价格．

【习题2】恋恋买了如图所示的两种奥运邮票共20枚，用去16元8角．假设左边一种邮票有x枚，右边一种有y枚，请你列出关于x，y的二元一次方程组，并写出能求解这个方程组的方法．

票价

成人

40元/张

学生

按成人票价的5折优惠

【习题3】在“五•一”黄金周期间，小明、小亮等同学随家人一同到某旅游景点游玩．下表是该旅游景点的票价情况：

小明他们13个人，共需420元，问小明他们一共去了几个成人？

几个学生？

【习题4】福娃迎迎

准备买一只小猫和一只小狗玩具，商店老板没有告诉迎迎玩具的价格，而是给了她下面的信息，请你帮迎迎算一算每只小猫和小狗的价格吧！

（请用方程组解题，并写出解题过程）

一共要70元；

一共要50元．

【习题5】请根据图中提供的信息，回答下列问题：

一个暖瓶与一个水杯分别是多少元？

【习题6】在“情系灾区”捐款活动中，某同学对甲乙两班捐款情况进行统计，得出如下信息：

信息一：

甲班与乙班共有88人；

信息二：

甲班平均每人捐款20元，乙班平均每人捐款15元；

信息三：

甲乙两班共捐款1550元．

求：

甲乙两班各有多少人？

【习题7】小强家开了一个便民小商店，每天晚上父母都要结帐，下图是父母第一天晚上的对话，

两人结帐后，发现所记帐目正确无误．

（1）请你根据图中的对话计算出每包方便面和每块冰块的价钱，

（2）第二天晚上小强听到父母二人发生了争论：

妈妈说今天卖的方便面和冰块的价钱和昨天卖的价钱一样，你卖了28包方便面、51块冰块，为什么才卖80元？

而爸爸却说自己没有记错帐目．

已经是七年级的小强利用学过的数学知识帮父母巧妙地解决了问题，请你站在小强的角度，说明他是怎样正确解决了父母争论的问题．

【习题8】某校七年级一班在召开期末总结表彰会前，班主任安排班长小鹏去商店购买奖品，下面是小鹏与售货员的对话：

小鹏：

阿姨，您好！

售货员：

同学，你想买点什么？

小鹏：

我这里有100元，请您安排买8支钢笔和17本笔记本．

售货员：

好，每支钢笔比每本笔记本贵2.5元，再找你5元．

小鹏：

谢谢阿姨，再见！

根据上面的对话，你知道笔记本和钢笔的单价分别是多少吗？

【习题9】为奖励在演讲比赛中获奖的同学，班主任派学习委员小明为获奖同学买奖品，要求每人一件．小明到文具店看了商品后，决定奖品在钢笔和笔记本中选择．如果买4个笔记本和2支钢笔，则需86元；如果买3个笔记本和1支钢笔，则需57元．

（1）求购买每个笔记本和钢笔分别为多少元？

（2）如果小明买了10个笔记本和6支钢笔，那么需要花多少元钱．

【习题10】列方程或方程组解应用题：

“五一”节日期间，某超市进行积分兑换活动，具体兑换方法见右表．爸爸拿出自己的积分卡，对小华说：

“这里积有8200分，你去给咱家兑换礼品吧”．小华兑换了两种礼品，共10件，还剩下了200分，请问她兑换了哪两种礼品，各多少件？

积分兑换礼品表

兑换礼品

积分

电茶壶一个

7000分

保温杯一个

2000分

牙膏一支

500分

【习题11】某天，一蔬菜经营户用60元钱从蔬菜批发市场批了西红柿和豆角共40㎏到菜市场去卖，西红柿和豆角这天的批发价与零售价如下表所示：

问：

他当天卖完这些西红柿和豆角能赚多少钱？

品名

西红柿

豆角

批发价（单位：

元/kg）

1.2

1.6

零售价（单位：

元/kg）

1.8

2.5

【习题12】在“五•一”黄金周期间，小明、小亮等同学随父母一同去某地旅游，在某景点购买门票时，小明与小亮的对话：

问：

（1）小明他们一共去了几个成人几个学生？

（2）请你帮小明算一算，用哪种方式买票更省钱并说明理由．

【习题13】小明在拼图时，8个一样大小的长方形如图1那样，恰好可以拼成一个大的长方形．小红看见了，说“我来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成如图2那样的正方形．咳，怎么中间还留下了一个洞，恰好是边长为3cm的小正方形！

请问：

他们使用的小长方形的长和宽分别是多少cm？

【习题14】在“五一”假期期间，小明、小亮等同学随家人一同到楠溪江生态农庄游玩．下面是购买门票时，小明与他爸爸的对话：

爸爸：

大人门票35元，学生门票对折优惠，我们共有12人，共需350元．

小明：

爸爸，等一下，让我算一算．换一种方式买票是否可以更省钱．

问题：

（1）小明他们一共去了几个成人几个学生？

（2）请你帮小明算一算，用哪种方式买票更省钱．并说明理由．

【习题15】某企业在“蜀南竹海”收购毛竹，直接销售，每吨可获利100元，进行粗加工，每天可加工8吨，每吨可获利800元；如果对毛竹进行精加工，每天可加工1吨，每吨可获利4000元．由于受条件限制，每天只能采用一种方式加工，要求将在一月内（30天）将这批毛竹93吨全部销售．为此企业厂长召集职工开会，让职工讨论如何加工销售更合算．

甲说：

将毛竹全部进行粗加工后销售；

乙说：

30天都进行精加工，未加工的毛竹直接销售；

丙说：

30天中可用几天粗加工，再用几天精加工后销售；

请问厂长应采用哪位说的方案做，获利最大？