自动控制原理实验报告.doc
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一、结构图简化方法（梅森公式）
举例说明用Matlab如何实现
例1：
书本P653，例C-1已知多回路反馈系统的结构图如图所示，求闭环系统的传递函数。
图-1
Matlab的M文件为：
%%%%%%%%%%%%%%%%
G1=tf（[1],[110]）;
G2=tf（[1],[11]）;
G3=tf（[101],[144]）;
numg4=[11];deng4=[16];G4=tf（numg4,deng4）;
H1=zpk（[-1],[-2],1）;
numh2=[2];denh2=[1];H3=1;
nh2=conv（numh2,deng4）;dh2=conv（denh2,numg4）;
H2=tf（nh2,dh2）;
sys1=series（G3,G4）;
sys2=feedback（sys1,H1,+1）;
sys3=series（G2,sys2）;
sys4=feedback（sys3,H2）;
sys5=series（G1,sys4）;
sys=feedback（sys5,H3）
%%%%%%%%%%%%%%%%
在Matlab中M文件运行后的执行结果为：
Zero/pole/gain:
0.083333（s+1）（s+2）（s^2+1）
----------------------------------------------------------------------
（s+10.12）（s+2.44）（s+2.349）（s^2+1.176s+1.023）
二、系统时域分析与设计方法（动态、稳态性能）
1）改变零点与极点位置对系统模态、动态性能、稳态性能的影响。
极点确定系统的运动模态，和稳定性。
零点决定模态在输出中的比例关系。
例2：
设系统闭环传递函数为Φ（s）=，其中，ζ=0.707。
求二阶系统的单位阶跃响应。
执行M文件：
closeall;clearall;
num=[618];den=[12*0.7072];
H=tf（num,den）;
sys=tf（num,den）;
p=roots（den）
t=0:
0.05:
10;
figure
（1）
step（sys,t）;grid
xlabel（'t'）;ylabel（'c（t）'）;title（'单位阶跃响应'）;
则，系统的单位阶跃响应为：
图-2
闭环极点为p=
-0.7070+1.2248i
-0.7070-1.2248i
设具有相同极点但零点不同的传递函数为：
Φ1（s）=
增加的一个零点为s=-1
求其单位阶跃响应
M文件为：
%%%%%%%%%%%%%%%
closeall;clearall;clc
num=[62418];den=[12*0.7072];
H=tf（num,den）;
sys=tf（num,den）;
p=roots（den）
t=0:
0.05:
10;
figure
（1）
step（sys,t）;grid
xlabel（'t'）;ylabel（'c（t）'）;title（'单位系统阶跃响应'）;
%%%%%%%%%%%%%%%
如下图所示为Φ1（s）的单位阶跃响应：
图-3
由此可知：
①、改变闭环传递函数的零点位置会影响系统的动态性能，当加了零点后，超调量变大，上升时间变短。
②、闭环传递函数的零点不形成自由运动的模态，但它们影响各模态在响应中所占的比重，所以，改变闭环传递函数的零点位置也会对响应曲线的形状产生影响。
③、改变系统的零点，对系统的稳态性能没有影响。
设具有相同零点但极点不同的传递函数分别为
Φ2（s）=，其中，ζ=0.5。
求此时Φ2（s）函数的单位阶跃响应：
M文件为：
%%%%%%%%%%%%
closeall;clearall;clc
num=[618];den=[12*0.52];
sys=tf（num,den）;
p=roots（den）
t=0:
0.01:
3;
figure
（1）
step（sys,t）;grid
xlabel（'t'）;ylabel（'c（t）'）;title（'单位系统阶跃响应'）;
%%%%%%%%%%%%
执行M文件的结果为：
Φ2（s）的单位阶跃响应为：
图-4
由此可知：
①改变系统的极点会对系统动态性能产生影响，当ξ从0.707变为0.5时，系统振荡时间变长，调节时间变短，上升时间变短。
②改变系统的极点会改变系统的运动模态。
③改变系统的闭环极点对系统的稳态性能没有影响。
2）举例说明主导极点、偶极子的概念。
（1）主导极点的说明：
例3：
Φ（s）==
=
利用Matlab绘制函数的零、极点和单位阶跃响应。
M文件为：
%%%%%%%%%%%%%%%
closeall;clearall;clc
num=[816.8];den=[111272616];
sys=tf（num,den）;
p=roots（den）
t=0:
0.01:
10;
figure
（1）;
xlabel（'RealAxis'）;ylabel（'ImaginaryAxis'）;title（'Pole-ZeroMap'）;
pzmap（sys）,
xlabel（'t'）;ylabel（'c（t）'）;title（'Φ（s）的单位阶跃响应'）;
figure
（2）
%%%%%%%%%%%%%%%
执行M文件的结果为单位阶跃响应如下图：
它们的零、极点分布图如下图所示（极点用“x”表示，零点用“o”表示。
）
图-5
极点为p=
-8.0000
-2.0000
-0.5000+0.8660i
-0.5000-0.8660i
Φ（s）的单位阶跃响应为：
图-6
将函数Φ（s）改为：
Φ’（s）=
去除了极点p1=-8.0000和p2=-2.0000
利用Matlab绘制函数的单位阶跃响应。
M文件为：
%%%%%%%%%%%%%%%
closeall;clearall;clc
num=[1.05];den=[111];
sys=tf（num,den）;
p=roots（den）
t=0:
0.01:
15;
figure
（1）;
step（sys,t）;grid
xlabel（'t'）;ylabel（'c（t）'）;title（'G（s）的单位阶跃响应'）;
%%%%%%%%%%%%%%%
执行M文件可得Φ’（s）的单位阶跃响应为：
图-7
极点为p=
-0.5000+0.8660i
-0.5000-0.8660i
比较图-6和图-7可知，改变主导极点时系统的动态性能和稳态性能基本不变。
所以，主导极点在系统的时间响应中起主导作用。
（2）偶极子概念：
偶极子对：
是指若在某一极点的附近同时存在一个零点，而在该零、极点的附近又无其它的零点或极点。
就称这个极点和这个零点为一个偶极子对。
由于零、极点在数学上位置分别是的分子分母，工程实际中作用又相反，因此可作近似处理，近似地认为偶极子对中零、极点对系统的作用相互抵消了。
例4：
设系统传递函数为：
G（s）===
利用Matlab绘制函数的零、极点和单位阶跃响应。
M文件为：
%%%%%%%%%%%%%%
closeall;clearall;clc
num=[10.31];den=[11.350.3650.015];
sys=tf（num,den）;
p=roots（den）
t=0:
0.01:
120;
figure
（1）;
pzmap（sys）,
xlabel（'RealAxis'）;ylabel（'ImaginaryAxis'）;title（'Pole-ZeroMap'）;
figure
（2）
step（sys,t）;grid
xlabel（'t'）;ylabel（'G（s）'）;title（'G（s）的单位阶跃响应'）;
%%%%%%%%%%%%%%
执行M文件的结果为下图：
它们的零、极点分布图如下图所示（极点用“x”表示，零点用“o”表示。
）
图-8
单位阶跃响应如下图：
图-9
零点为z=-0.31
极点为p=-1.0000
-0.3000
-0.0500
M文件执行结果可知闭环零点z=-0.31，和闭环极点p1=-0.3互为偶极子。
将函数的偶极子点去除后函数改为G’（s）：
G’（s）===
利用Matlab绘制函数的零、极点和单位阶跃响应和单位脉冲响应。
M文件为：
%%%%%%%%%%%%%%
closeall;clearall;clc;
num=[1];den=[11.050.05];
sys=tf（num,den）;
p=roots（den）
t=0:
0.01:
120;
figure
（1）;
pzmap（sys）,
xlabel（'RealAxis'）;ylabel（'ImaginaryAxis'）;title（'Pole-ZeroMap'）;
figure
（2）
step（sys,t）;grid
xlabel（'t'）;ylabel（'c（t）'）;title（'G’（s）的单位阶跃响应'）;
figure（3）
impulse（sys,t）;grid
xlabel（'t'）;ylabel（'c（t）'）;title（'G’（s）单位脉冲响应'）;
%%%%%%%%%%%%%%
执行M文件的结果为下图：
它们的零、极点分布图如下图所示（极点用“x”表示，零点用“o”表示。
）
图-10
单位阶跃响应如下图：
图-11
比较图-9和图-11可知，系统的上升时间和调节时间和稳态误差基本不变，偶极子的对系统的动态性能和稳态性能影响基本可以忽略。
3）举例说明提高系统型别的作用，改善二阶系统的性能的方法。
举例5：
0型系统：
G（s）==
具体步骤如下：
（1）首先对系统判稳。
在Matlab中执行M文件如下：
%%%%%%%%%%%%
closeall;clearall;clc
num=[1];den=[11.84.5];
sys=tf（num,den）;
p=roots（den）
t=0:
0.01:
20;
figure
（1）;
step（sys,t）;grid
xlabel（'t'）;ylabel（'c（t）'）;title（'G＇（s）的单位阶跃响应'）;
figure
（2）
u=t;
lsim（sys,u,t,0）;grid
xlabel（'t'）;ylabel（'c（t）'）;title（'G＇（s）的斜坡响应'）;
figure（3）
u=0.5*t.^2;
lsim（sys,u,t,0）;grid
xlabel（'t'）;ylabel（'c（t）'）;title（'G＇（s）的加速度响应'）;
%%%%%%%%%%%%
M文件执行结果为：
p=-0.9000+1.9209i
-0.9000-1.9209i
阶跃函数图像为：
图-12
斜坡响应图像为：
图-13
加速度响应为：
图-14
（2）提高系统型别，函数变为：
G（s）H（s）==
具体步骤如下：
（1）首先对系统判稳。
在Matlab中执行M文件如下：
%%%%%%%%%%%%%%%%
closeall;clearall;
num=[1];den=[11.84.50];
sys1=tf（num,den）;sys=feedback（sys1,1）;
p=roots（sys.den{1}）
t=0:
0.01:
50;
figure
（1）;step（sys,t）;grid
xlabel（'t'）;ylabel（'c（t）'）;title（'G＇（s）的单位阶跃响应'）;
figure
（2）;u=t;lsim（sys,u,t,0）;grid
xlabel（'t'）;ylabel（'c（t）'）;title（'G＇（s）的斜坡响应'）;
figure（3）;u=0.5*t.^2;lsim（sys,u,t,0）;grid
xlabel（'t'）;ylabel（'c（t）'）;title（'G＇（s）的加速度响应'）;
%%%%%%%%%%%%%%%%
M文件执行结果为：
p=-0.7787+1.8750i
-0.7787-1.8750i
-0.2426
阶跃函数图像为：
图-15
斜坡响应图像为：
图-16
加速度响应图像为：
图-17
比较图-12~图-17可知，当系统型别从0型提高到Ⅰ型时，单位阶跃响应额稳态误差变为0，斜坡响应的误差从无穷变为常数，加速度响应变小。
如果继续提高系统型别，单位阶跃响应和斜坡响应的稳态误差都将趋近于0，加速度响应的稳态误差将趋于常数。
三、系统根轨迹分析设计方法（动态、稳态性能）
1）举例说明增加零点对根轨迹的影响
作用：
使根轨迹向复平面左侧弯曲或移动，增加系统的相对稳定性，增大系统阻尼，改变渐近线的倾角，减少渐近线的条数。
例6：
书本P656，例C-2。
设开环传递函数为：
G（s）=
在Matlab中执行M文件如下：
%%%%%%%%%%%%
G=tf（[1],[1420]）;
figure
rlocus（G）;
%%%%%%%%%%%%
执行M文件的结果为：
根轨迹图为：
图-18
增加零点后开环传递函数变成：
G（s）=
在Matlab中执行M文件如下：
%%%%%%%%%%%%
G=tf（[12],[12420]）;
figure;rlocus（G）;
%%%%%%%%%%%%
执行M文件所得根轨迹图为：
图-19
比较图-18和图-19可知，在系统中增加开环零点时，可以使根轨迹向s左半平面弯曲。
2）举例说明开环不稳定系统可能稳定
例7：
设开环传递函数为：
G（s）=
在Matlab中画出K从0变化到无穷时的根轨迹图。
可知，G（s）的等效开环传递函数为：
G*（s）=
在Matlab中执行M文件如下：
%%%%%%%%%%%%
closeall;clearall;
G=tf（[13],[13-20]）;
figure
（1）
rlocus（G）;
%%%%%%%%%%%%
执行M文件所得根轨迹图为：
图-20
由图-20可知开环不稳定系统是可能稳定的，其稳定性和开环增益K有关。
四、频域特性分析方法
（1）、福相频域特性曲线
（2）、对数频域特性曲线（Bode图）
（3）、对数福相曲线（尼科尔斯曲线）
运用频域的几何图形，可以通过奈氏判据和对数频率稳定判据对系统的稳定性进行判别。
系统的的稳定裕度分为相角裕度γ和幅值裕度h。
对于闭环稳定系统，如果系统开环相频特性再滞后γ度，则系统将处于临界稳定状态。
同样，对于开环稳定系统，如果开环幅频特性再增大h倍，则系统将处于临界稳定状态。
例8：
已知单位负反馈系统的开环传递函数为：
G（s）=
在Matlab中执行M文件如下：
%%%%%%%%%%%%
closeall;clearall;clc;
G=tf（[1280640],[124.21604.81320.2416]）;
figure
（1）;margin（G）;
figure
（2）;nyquist（G）;
axisequal
%%%%%%%%%%%%
执行M文件的结果为：
伯德图为：
图-21
奈奎斯特图为：
图-22
由图-21和图-22，根据奈氏判据和系统的相角裕度可以判断：
幅值裕度h=29.5dB>1，系统的相角裕度γ=72.9°>0，截止频率Wc=0.904rad/s，穿越频率Wx=39rad/s。
奈氏曲线不包围（-1，j0）点，又因为系统无右半平面的开环极点，所以根据奈氏判据，系统稳定。
五、系统频率特性设计方法
例9：
课本P234，例5-19。
当考虑弹簧簧片的弹性影响时，磁头位置控制系统如图-23所示。
磁头与簧片的典型参数：
ζ=0.3，ωn=18.85×103rad/s。
要求确定开环增益K=100时，磁盘驱动读取系统的幅值裕度h（dB）、相角裕度γ及闭环系统的带宽频率ωn，并估算系统单位阶跃响应σ%和ts。
图-23
解：
取K1=2000，则开环增益K=100。
求取系统的对数特性、闭环函数的对数特性、系统的单位阶跃响应。
在Matlab中执行M文件为：
%%%%%%%%%%%%%
closeall;clearall;clc;
num=2000*0.05*[1,1];
den=[conv（conv（[0.001,1],[1/20,1]）,conv（[1,0],[（1/18850）^2,2*0.3/18850,1]））];
G0=tf（num,den）;G=feedback（G0,1）;
t=0:
0.0001:
0.02;
figure
（1）;bode（G0）;grid
figure
（2）;bode（G）;grid
figure（3）;step（G,t）;grid
%%%%%%%%%%%%%
执行M文件所得开环对数频率曲线为：
图-24
闭环频率特性曲线为：
图-25
单位阶跃响应曲线为：
图-26
由图-24可知：
h=22.8dB，γ=37.3º，截止频率为1200rad/s。
由图-25可知：
带宽为2000rad/s。
当K1=2000时，自然频率及其附近的系统谐振频率，会位于闭环带宽之外，使簧片弹性对系统动态性能几乎没有影响
由图-26可知：
超调量σ=31%，调节时间ts=9.2ms（Δ=0.2）。
参考文献：
[1]东方，张俊勇.MATLAB在控制系统稳态误差分析中的应用[J].陕西西安：
陕西国防工业职业技术学院院报，2007
[2]胡寿松.自动控制原理（第五版）[M].北京：
科学出版社,2007
[3]周开利，邓春晖.MATLAB基础及应用教程[M].北京：
北京大学出版社，2007
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