黄昆版固体物理学课后答案解析答案.docx
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黄昆版固体物理学课后答案解析答案
黄昆原著韩汝琦改编(陈志远解答,仅供参考)
第一章晶体结构
解:
实验表明,很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。
因此,可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。
这样,一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。
它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n和小球体积V所得到的小球总
体积nV与晶体原胞体积Vc之比,即:
晶体原胞的空间利用率,
_nV
-Vc
(1)对于简立方结构:
(见教材P2图1-1)
433
a=2r,V=—Tir,Vc=a,n-1
3
4343
—Tir—TT
•••―
a38r3
3T-c
=-=0.52
6
(2)对于体心立方:
晶胞的体对角线BG=73a=4r=a=4应x
3
n=2,Vc=a3
2』皿3•xT
2咒-皿3
3
兀a:
0.68
(3)对于面心立方:
晶胞面对角线
BC=J2a=4r,=a=2J2r
n=4,Vc=a3
4咒4;1134x47ir3
33
x「—
(2咼3
兀s:
0.74
(4)对于六角密排:
a=2r晶胞面积:
S=6>cs止bo^^^asin60
2
3U32
a
2
晶胞的体积:
V=sy-"^a2bPa
2V3
=3J2a3=24V2r3
11
n=1212X-+2X-+3=6个
62
6X4兀r3x=3
24V2r3
主"0.74
6
(5)对于金刚石结构,晶胞的体对角线
BG=®g「"紧
n=8,Vc=a3
8xjir38x对3
3
234
3
X=3=
a8r3
1.2、试证:
六方密排堆积结构中
a=(|宀1.633
证明:
在六角密堆积结构中,第一层硬球A、B、0的中心联线形成一个边长a=2r的正三角形,第二层硬
球N位于球ABO所围间隙的正上方并与这三个球相切,于是:
NA=NB=N0=a=2R.
即图中NABO构成一个正四面体。
…
芮2=;『+k)
1.3、证明:
面心立方的倒格子是体心立方;体心立方的倒格子是面心立方。
证明:
(1)面心立方的正格子基矢(固体物理学原胞基矢)
a3专(「+j)
由倒格子基矢的定义:
bl
@2心3)
0,
a
2,
j,
-0=ai(a^a3)=
0,
3
a--
一,a2Xa3=
4
-4a2
/.b]=2兀咒—咒
a
-十j+k)
a十j+k)
同理可得:
b2
b3
=—(i-j+k)a
2兀
即面心立方的倒格子基矢与体心立方的正格基矢相同。
所以,面心立方的倒格子是体心立方。
(2)体心立方的正格子基矢(固体物理学原胞基矢)
-a・・
a2=a(i—j+k)
a3拧(「jk)
2;!
由倒格子基矢的定义:
d=二二@2Xa3)
Q
j,
■0=ai(82X83)=
a
2
a
2
a
2
a
J
2
a
2
a
-
2
3
a--
—,a2Xa3=
2
a
2
a
2
a
2
a
2,
a
2
a
2
a2--
巧(j+k)
2
-a--
/.bi=2兀X—(j+k)=
a(j+k)
同理可得:
2兀--
=—(i+k)
a即体心立方的倒格子基矢与面心立方的正格基矢相同。
2兀--
b3=——(i+j)
a
b2
所以,体心立方的倒格子是面心立方。
1.5、证明倒格子矢量G=hbi+h2b2+免鸟垂直于密勒指数为(h,h2h3)的晶面系。
h2h3
hih3
G=hbi+h2b2+h3b3
_-G
利用aibj=2码j,容易证明-
h1h2h3
GhihA
CB=0
所以,倒格子矢量G=^3+0鸟+人3匕3垂直于密勒指数为(h1h2h3)的晶面系。
1.6、对于简单立方晶格,证明密勒指数为(h,k,l)的晶面系,面间距d满足:
d2=a7(h2+k2+12),
其中a为立方边长;并说明面指数简单的晶面,其面密度较大,容易解理。
解:
简单立方晶格:
ai丄丄,a^~ai,a^—aj,a3—ak
-aXa3
由倒格子基矢的定义:
d=2兀』2-a3-
3]"a2Xa3
-a3>^a1-
b2=2兀-3-1-,bs=2让
aia2Xa3a1'a^^a3
2;!
2兀
—2兀——
倒格子基矢:
d=—i,匕2=—j,d=—k
aaa
晶面族(hkl)的面间距:
倒格子矢量:
G=hb+kb2+lbs,G=hJi+k二j+l—kaaa
面指数越简单的晶面,其晶面的间距越大,晶面上格点的密度越大,单位表面的能量越小,这样的晶面越容易解理。
1.9、画出立方晶格(111)面、(100)面、(110)面,并指出(111)面与(100)面、(111)面与(110)面的交线的晶向。
解:
(111)
[011]。
O重合,B点位矢:
Rb=—ai+aj,(111)面
1、(111)面与(100)面的交线的AB,AB平移,A与0点重合,B点位矢:
Rb=—aj+ak,
(111)面与(100)面的交线的晶向AB=—aj+ak,晶向指数
(111)
2、(111)面与(110)面的交线的AB,将AB平移,A与原点与(110)面的交线的晶向AB=—ai+aj,晶向指数[110]。
第二章固体结合
2.1、证明两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数a=21n2,
<解>设想一个由正负两种离子相间排列的无限长的离子键,德隆常数中的正负号可以这样取,即遇正离子取正号,遇负离子取负号)于是有
设离子的总数为2N。
取任一负离子作参考离子(这样马
,用r表示相邻离子间的距离,
O‘空“-1—1—1—+1
jrijr2r34
...]
前边的因子2是因为存在着两个相等距离
n的离子,一个在参考离子左面,一个在其右面,故对一边求
和后要乘2,马德隆常数为
111
a=2[1-
23423
Zn(1+x)=x-0+£
23
111
当X=1时,有1-^^^..^^n2
234
—2^2
2.3、若一晶体的相互作用能可以表示为
aPu(r)=-「m+匚rr
试求:
(1)
平衡间距ro;
结合能W(单个原子的);
体弹性模量;
(4)
若取m=2,n=1O,ro=3A,W=4eV,计算a及P的值。
解:
(1)
晶体内能
求平衡间距ro
(、N/aU(r)=—(—
2
P
mF)
rr
平衡条件
dU
dr
=o
r乂
ma
—m十
ro
+此=0,ro=(垃严
ma
n十
ro
(2)单个原子的结合能
^--u(ro),
2
u(ro)
A(1』)(能戸
2nma
(3)体弹性模量
dV
K计Vo
Vo
晶体的体积V=NAr3,A为常数,N为原胞数目
晶体内能U(r)=
7(-
+£)
cU
Nmot
nP
dr3NAr
cU
ma
nP
ev
2ev
2
3NAr
w2
V:
Vo
29Vo2
[-
m
ro
由平衡条件
cU
Nma
V:
Vo
W2
VzVo
9Vo2
9Vo2
体弹性模量
(4)若取
2P
n
ro
m十
ro
m2a
m
ro
n
ro
ma
nP
[-m
ma
ro
nP
m
ro
+上)
mn
9Vo
n
ro
(7o)
mn
9Vo
m
ro
n
ro
nG
ro
nP
ro
3NAro2
=0,得
Nnm
29Vo
ro
ma
ro
4]
ro
nP
ro
m=2,n=10,ro=3A,W=4eV
)n-m
(1』)(
-m
=ro
2[
ro
1o
+2W]
ma
)n-m
P=1公10-95eV•m1。
=9.^10^9eVm2
2.6、bcc和feeNe的结合能,用林纳德一琼斯(Lennard—Jones势计算Ne在bcc和fee结构中的结合能之比值.
”「b12b6]1rc12d/[
r>u(r)=4F7-(「)」,u(r)rN(")[An7-A(;)」
r06=2隹b6
A6
2A12
)/(生)
A2
12.252/9.11cc「
2=0.957
14.452/12.13
2.7、对于H2,从气体的测量得到Lennard—Jones参数为s=50咒10》J,b=2.96A.计算fee结构的H2
的结合能[以KJ/mol单位),每个氢分子可当做球形来处理.结合能的实验值为算值比较.
0.751kJ/mo1,试与计
<解>以H2为基团,组成fee结构的晶体,如略去动能,分子间按
Lennard—Jones势相互作用,
则晶体的总相互作用能为:
U=2N^'屮(|卜£
SRij-^=14.45392;Z
ji
R"12=12.13188,
£=50x10」6erg,b=2.96A,N=6.022x1023/mol.
将R/弋入U得到平衡时的晶体总能量为
U=2x6o022>cl028/mol%50xl0」6
erg巾2.13朋〉14阿箒]
因此,计
一2.55KJ/mol.
算得到的出晶体的结合能为2.55KJ/mol,远大于实验观察值0.75IKJ/mo1.对于H2的晶体,
量子修正是很重要的,我们计算中没有考虑零点能的量子修正,这正是造成理论和实验值之间巨大差别的原因.
第三章固格振动与晶体的热学性质
3.1、已知一维单原子链,其中第j个格波,在第n个格点引起的位移为,Pnj=ajSin(叫t_naqj+j),
为任意个相位因子,并已知在较高温度下每个格波的平均能量为,具体计算每个原子的平方平均位移。
<解>任意一个原子的位移是所有格波引起的位移的叠加,即
叫=艺4nj乏ajsin®jt+naqpj)
(1)
jj
-7Y―n
巴=£嘉Q%
j丿
由于卩可^nj数目非常大为数量级,而且取正或取负几率相等,因此上式得第2项与第一项相比是一小量,可以忽略不计。
所以监=2监
j
由于r是时间t的周期性函数,其长时间平均等于一个周期内的时间平均值为
21To212
气=0ajsin伸jt+naq」+円)水=a」
To2
已知较高温度下的每个格波的能量为KT,卩nj的动能时间平均值为
—1LT0
Tnj-
jajT02122
——LJajsin(©jt+naqj+bj)dt=-PWjLaj2T004
其中L是原子链的长度,P使质量密度,T0为周期。
所以T'=-Pw2La2=1kT(3)
4
因此将此式代入
(2)式有时-
KT
pg2
所以每个原子的平均位移为
==送^nj=送
jj
KTKT1
p="pr]看
3.2、讨论N个原胞的一维双原子链链的结果一一对应。
解:
质量为M的原子位于
(相邻原子间距为
a),其2N个格波解,当M=m时与一维单原子
2n+1,2n+3;质量为m的原子位于2n,2n+2,2n+4。
2n-1,
牛顿运动方程
=AeUgneq]
mUln—P(2卩2n-坞卄-坞nJ
MU;nf=-P(242M-y2n42-42n)
N个原胞,有2N个独立的方程
设方程的解'2n
从
2n+
=Bei[Cii~(2n41)aq]
,代回方程中得到
((2P-m2)A-(2Pcosaq)B=0
I-(2Pcosaq)A+(2P-Mb2)B=0
A、B有非零解,
2P-mt52-2Pcosad
-2Pcosaq2P-Moo2
=0,则
縛2=p(m+M)4mM2sin2aqF}
mM(m+M)2
两种不同的格波的色散关系
1八2R(m+M)"4mM.2匸、
+{1十[1-sinaq]2}
mM(m+M)
1
2R(m+M)~r,4mM.2
二P{1—[1—/inaq]2}
mM(m+M)
一个q对应有两支格波:
一支声学波和一支光学波
aq
cos'2
7呼1哼
两种色散关系如图所示:
2
长波极限情况下qT0,sin(翌)止兰
22
=(2j]I)q与一维单原子晶格格波的色散关系一致
P和10P,两种原子质量相等,
ym
3.3、考虑一双子链的晶格振动,链上最近邻原子间的力常数交错地为且最近邻原子间距为a/2。
试求在q=o,q二兀/a处的©(q),并粗略画出色散关系曲线。
此问题模拟如
H2这样的双原子分子晶体。
XCHO0S_O]S
2n-l2n+l2ii+3
2n-4211-2
答:
(1)
浅色标记的原子位于2n-1,2n+1,2n+3;深色标记原子位于2n,2n+2,2n+4。
第2n个原子和第2n+1个原子的运动方程:
mUzn=—(p1+^2)+p2卩2n卅+^1^22mU2n十=—(P1+P2)卩2n卅+附卩2.七+卩2n
体系N个原胞,有2N个独立的方程
方程的解:
..“i[Gt-(2n)-aq]
巴n=Ae2
,令©;=P1/m,i[3_(2n十)1aq]
巴n厂Be2
00;=p2/m,将解代入上述方程得:
#2,2
(叫+⑷2
1
2丄严
侔12e2
)A-(时;+时;一©2)b=0
A、B有非零的解,
2丄22、
伸1+®2),
.1
2'aq
P;e2
系数行列式满足:
+加。
)
.1
2亠严®ie2
222'^aq
2)2-®12e2
.1
2柠q
=0
.1O4aq+吩2)^12e2
.1
2i:
aq
+e2)=0
(时吨
"2)2-窗e評
—i—aq
2匕aq
代;e2)=0
11
22iaq2-Laq
-©2)A-(时fe2+时2e2)B=0
1
2"q
因为片=P、^2=10P,令⑷0=时=2
m
=匹=10酥得到
m
(1伸2-B2)2-(101+20cosaq声;=0
+话e2
两种色散关系:
2
=©0(11±)20cosqa+101)
当q=0时,
当q=-时,
a
F;(11±J8i),
a+=J20k)0w_=)2g)0
:
hiiiwnjil-v
、、―
F
E
—■
TTq
(2)色散关系图:
3.7、设三维晶格的光学振动在
2
q=0附近的长波极限有©(q)=050-Aq
求证:
f(©)=V1
1/2
耳v«0;f(«)=0,«》®0•
22
<解>©>©0时,O—«0=Aq>0f(©)=0,©v0=«0=Aq=
=A(©0
依据可q国(q)=—2Aq,fg)=
(2兀厂匕⑷(q)
ds,并带入上边结果有
心(2;
ds
A1/2
1
3加425伽4/2
0)
1/2
2》3/2g。
)
3.8、有N
个相同原子组成的面积为S的二维晶格,在德拜近似下计算比热,并论述在低温极限比热正
证明:
在
k到k+dk间的独立振动模式对应于平面中半径
n至Un+dn间圆环的面积2花ndn,且
2比与T。
2兀ndn=
3s為魅2do5
J"
亠L3s(kBT)辭KbT
E0_2t2J_J
2兀v6护’D
32
3s(kBT)xdx2dx
=.
2兀vf岸’DeX_1
L253眇
—kdk=—kdk即卩(国戶——则
TT0时,E工T3,Cv=(生)s工T2
3.9、写出量子谐振子系统的自由能,证明在经典极限下,自由能为
F"o+kBT2£
n
/
「1屉
证明:
量子谐振子的自由能为F=U+kBTZ
q
2kBT
q+€n|1-e
尬V
-kBf
经典极限意味着(温度较高)kBT¥甩g
应用
ex=1-x+x2+...
所以
q)2
kBT^bT丿
因此
+匕
kBT丿
SEn]爲
其中
3.10、设晶体中每个振子的零点振动能为
1
-屁0,使用德拜模型求晶体的零点振动能。
2
证明:
根据量子力学零点能是谐振子所固有的,与温度无关,故
T=0K时振动能E0就是各振动模零点能
之和。
Eo=广Eo9bW)dB将EoW)=-舷和g®)=⑷2代入积分有
9
由于屉m=kB%得Eo^-NkB%
8
一股晶体德拜温度为
~1O2K,可见零点振动能是相当大的,其量值可与温升数XX所需热能相比拟.
3.11、一维复式格子
m=5咒1.67勺0池,
=1.^101N/m(即1.51x104dyn/cm),求
(1),光m
学波⑷max'^min,声学波①rAax。
(2)相应声子能量是多少电子伏。
(3)在300k时的平均声子数。
(4)与©max相对应的电磁波波长在什么波段。
<解>
(1),(xxA=
"/1O4dyn/cm=3.oo讪『,
4X5X1.67X1024
时o
max
_J20(M+m5_
Mm
J2"104S5+25"67“024dyn/cm=6.70"013si
4^5咒1.67勺024咒5勺.67天1024
©A=
max
".5"o4dyn/cm=5.99Do13s-1
5咒1.67咒1024
屉rAax
(2)屉max
161312
=6.58x10—x5.99x10s"=1.97x10—eV
=6.58x10-6x6.70x1013s-=4.41x10%V
=6.58咒10-6x3.00>d013s-1=3.95X10-eV
J
(3)nmax
1i
=0.873朮厂e£:
7kB^=0.221
O
"min
XO/[T—=0.276
e备in/kBT1
丝=28.伽
第四章能带理论
兀
4.1、根据k=±—状态简并微扰结果,
a
求出与£_及片相应的波函数屮_及屮+?
并说明它们的特性.说
明它们都代表驻波,并比较两个电子云分布
2*说明能隙的来源(假设Vn=Vn)。
<解>令k=+k'=—简并微扰波函数为W=^0(x)+酬0(x)
aa
EO(k)-e]a+V;B=0
JVnA+[E0(k')-E]B
带入上式,其中E+=E0(k)+|Vn|
V(x)<0,Vn<0,从上式得到B=-A,于是
屮+"[屮0&)皿(X)卜定中―e豊}帶
.n;!
sin——x
a
取E=EE_=E0(k)-Vn||Vn|A=-VnB,得到A=B
屮―[屮0(x)M(x)卜廿导—e叽2A
cos——x
VLa
=空,恰好满足布拉格发射条件,这时电子波发生全反射,n
由教材可知,甲岸屮_均为驻波.
在驻波状态下,电子的平均速度v(k)为零.产生驻波因为电
子波矢k=二二时,电子波的波长A=
ak
并与反射波形成驻波由于两驻波的电子分布不同,所以对应不同代入能量。
的0级波函数。
4.2、写出一维近自由电子近似,第n个能带(n=1,2,3)中,简约波数
<解>屮;(x)怙r
1ikxi:
兀eea
mx
1i沢X
1e2a
i2兀mx
ea
1/兀⑴屮――—ea-■
4)X
第一能带:
仆;=0叶0,怙)
■7L
1i^x
'e2a
第二能带:
卫*
=e2a).••屮k(x)
-2兀
b=b贝Ub’Tb,m—a
i込
即m=-1,(ea
a
第三能带:
2応
CTc,m——a
4.3、电子在周期场中的势能.
knja],当na-n才
厂12厂2
-m⑷Lb-(
V(x)=
当(n-1)a+bEx兰na-b
其中d=4b,G)是常数.试画出此势能曲线,求其平均值及此晶体的第一个和第二个禁带度<解>(I)题设势能曲线如下图所示.
A-.A.A.A
⑵势能的平均值:
由图可见,
V(x)是个以a为周期的周期函数,所以
V(x)二1[V(x)亠[V(x)dx--
a_b
V(x)dx
题设a=4b,故积分上限应为a—b=3b,
但由于在b,3b]区间内V(x)=O,故只需在[―b,b]区间
内积分.
这时,n=0,于是
_1
V屮(x)d
2
m灼r\u22、.
x=\(b-x)dx=
2a)
吟b2X
2aL
b13
b
_b~—X
-b
3
(3),势能在[-2b,2b]区间是个偶函数,可以展开成傅立叶级数
V(x)=V0+Z;
m=oC
22b
VmCOs^x,Vm=2bJ0V(x)COs
2b
1b.....
xdx=—1V(x)cosxdx
b'02b
第一个禁带宽度
Eg=2V,,以m=1代入上式,Egi
Hb2-x2)cos—dx
'02b
III[、,2U严H
利用积分公式Jucosmudu=—[(musinmu+2cosmu)J
■m
^sinmu得m
Egi
16mc^2
b2第二个禁带宽度Eg2=2V2I,以m=2代入上式,代入上式
Eg2
mO)2
b
bon兀x
e一x2)COsbdx再次利用积分公式有“
2
2g.--^bjI
4.4、解:
我们求解面心立方,同学们做体心立方。
S态电子的能量可表示成:
(1)如只计及最近邻的相互作用,按照紧束缚近似的结果,晶体中