中考方案设计型专题讲解Word文档格式.docx
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分析
（1）要直接求图中阴影部分的面积确实还有点难度，不过若连结对角线后，我们会发现阴影部分的弓形刚好可以绕正方形网格的中心旋转180°
后与空白的弓形重合，此时阴影部分的面积刚好等于四分之一个圆的面积减去直角三角形的面积.
（2）要设计满足条件的图案，显然，答案不惟一.
解
（1）阴影部分的面积＝
π×
22－
×
2×
2＝π－2.
（2）答案不唯一.如图3所示中的三种情形.
图3
说明 本题不光考查了求图形阴影部分的面积，也考查了图案的设计，都是基础考查题.在求图形阴影部分的面积时，一般采用的方法是利用规则图形的面积的和差解决问题；
在使用基本图案进行新图案设计时，常用的方法就是领用图形的平移、翻折、旋转、轴对称及中心对称等方法来设计.设计时要注意紧盯题目中设计要求，否则，图形设计有哪一点不能满足要求就会出现错误.
例2（哈尔滨市）图（a）、图（b）、图（c）是三张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1.请在图（a）、图（b）、图（c）中，分别画出符合要求的图形，所画图形各顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合.
具体要求如下：
（1）画一个底边长为4，面积为8的等腰三角形；
（2）画一个面积为10的等腰直角三角形；
（3）画一个一边长为2
，面积为6的等腰三角形.
分析 本题考查的是图形方案设计题，在方格中画知道一边和面积的特殊三角形，只需再求出此三角形的高就行.其中，图（b）的直角边长本身就是高.
解
（1）依题意，所画的三角形底边上的高为8×
2÷
4＝4，所以如图（a）所示中的等腰三角形即为所求.
（2）依题意，所画的等腰直角三角形的直角边长为
＝2
，所以如图（b）所示中的等腰直角三角形即为所求.
（3）依题意，所画的等腰三角形边长为2
的边上的高为6×
2
＝3
，所以如图（c）所示中的等腰三角形即为所求.
说明 本题考查的三个特殊三角形的设计的关键是求高.三个图形的设计层次强，有简单到复杂；
除求高外，我们对长为带根号的线段的确定也很关键，通常勾股定理在此时会用到帮助确定这些线段的长.
2.利用不等式设计
例3（威海市）响应“家电下乡”的惠农政策，某商场决定从厂家购进甲、乙、丙三种不同型号的电冰箱80台，其中甲种电冰箱的台数是乙种电冰箱台数的2倍，购买三种电冰箱的总金额不超过132000元.已知甲、乙、丙三种电冰箱的出厂价格分别为：
1200元/台、1600元/台、2000元/台.
（1）至少购进乙种电冰箱多少台？
（2）若要求甲种电冰箱的台数不超过丙种电冰箱的台数，则有哪些购买方案？
分析
（1）抓住题目的“不超过132000元”，引进未知数，进而可得到不等式求解.
（2）同样，由“甲种电冰箱的台数不超过丙种电冰箱的台数”得到一个不等量关系式，于是又可以得到一个不等式，结合
（1）可求解.
解
（1）设购买乙种电冰箱x台，则购买甲种电冰箱2x台，丙种电冰箱（80－3x）台，
则根据题意，得1200×
2x+1600x+（80－3x）×
2000≤132000，解得x≥14.
所以至少购进乙种电冰箱14台.
（2）根据题意，得2x≤80－3x，解得x≤16.由
（1），得14≤x≤16，
而x为正整数，所以x＝14，15，16.所以，有三种购买方案：
方案一：
甲种电冰箱为28台，乙种电冰箱为14台，丙种电冰箱为38台；
方案二：
甲种电冰箱为30台，乙种电冰箱为15台，丙种电冰箱为35台；
方案三：
甲种电冰箱为32台，乙种电冰箱为16台，丙种电冰箱为32台.
说明 本题以鲜活的“家电下乡”政府补贴时代热点为背景编拟设计，其实质就是用不等式解决问题.求解时通过寻求问题中的不等式关系，建立一元一次不等式模型，利用实际问题中的家电台数的意义求得方案.生活中这样的问题有许多，请同学们注意观察发现，并用数学的方法去解决.
3.利用方程设计
例4（潍坊市）要对一块长60米、宽40米的矩形荒地ABCD进行绿化和硬化.
A
D
C
B
P
Q
图①
O1
O2
图②
（1）设计方案如图①所示，矩形P、Q为两块绿地，其余为硬化路面，P、Q两块绿地周围的硬化路面宽都相等，并使两块绿地面积的和为矩形ABCD面积的
，求P、Q两块绿地周围的硬化路面的宽.
（2）某同学有如下设想：
设计绿化区域为相外切的两等圆，圆心分别为O1和O2，且O1到AB、BC、AD的距离与O2到CD、BC、AD的距离都相等，其余为硬化地面，如图②所示，这个设想是否成立？
若成立，求出圆的半径；
若不成立，说明理由.
分析 对于图①，若设P，Q两块绿地周围的硬化路面的宽都为x米，易得两块绿地与AB平行的边长为（40－2x）米，与BC平行的边长为（60－3x）米.图②中，因为O1到AB、BC、AD的距离与O2到CD、BC、AD的距离都相等于AB的一半20，则O1O2＝60－40＝20，由两圆相切得圆半径为10，由题意这样的两个圆可以在地块内建出来.
解
（1）设P，Q两块绿地周围的硬化路面的宽都为x米，
则根据题意，得（60－3x）（40－2x）＝60×
40×
，解之，得x1＝10，x2＝30.
经检验，x2＝30不符合题意，舍去.所以，两块绿地周围的硬化路面宽都为10米.
（2）设想成立.设圆的半径为r米，O1到AB的距离为y米，
则根据题意，得
解得
符合实际.
所以，设想成立，此时，圆的半径是10米.
说明 本题除了考查矩形、圆、方程以及综合分析问题能力外，还要利用方程解决图形问题中的方案设计，一般要做好三步：
一是设其中一个未知量为x，二是用代数式试着表示其他量，如线段或角等，三是进一步分析数量关系列出方程解决问题.
4.利用概率设计
例5（鄂州市）如图所示，转盘被等分成八个扇形，并在上面依次标有数字1，2，3，4，5，6，7，8.
（1）自由转动转盘，当它停止转动时，指针指向的数正好能被2整除的概率是多少？
（2）请你用这个转盘设计一个游戏，当自由转动的转盘停止时，指针指向的区域的概率为
.
（注：
指针指在边缘处，要重新转，直至指到非边缘处.）
分析
（1）属于几何概率型，即事件发生的概率等于此事件所有可能结果所组成的图形面积除以所有可能结果所组成的图形面积.
（2）由于转盘被等分成八个扇形，故设计游戏时，只需使关注的事件包含其中的6个扇形（即指针指向区域包含其中的6个数）.
解
（1）因为这8个数中，能被2整除的数有2，4，6，8，所以自由转动转盘，当它停止转动时，指针指向的数正好能被2整除的概率是
＝
（2）答案不惟一.如，当自由转动转盘停止时，指针指向区域的数小于7的概率，即当自由转动的转盘停止时，指针指向的区域的概率为
.或将其中有6个扇形涂黑，自由转动转盘，当转盘停止时，指针指向阴影部分区域的概率为
说明 本题的第
（2）小题是一道以概率知识为基础的方案设计题，答案具有开放性，求解时要在正确理解概率意义的基础上，进行逆向思考，准确而清晰地表达自己的观点，题目有效考查了同学们对基础知识的掌握情况，有利于发展同学们的实践能力与创新精神，体现了新课标的要求.
5.利用方程、不等式、函数综合设计
例6（深圳市）某汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装240辆.由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人；
他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装。
生产开始后，调研部门发现：
1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车；
2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车.
（1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？
（2）如果工厂招聘n（0＜n＜10）名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？
（3）在
（2）的条件下，工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发2000元的工资，给每名新工人每月发1200元的工资，那么工厂应招聘多少名新工人，使新工人的数量多于熟练工，同时工厂每月支出的工资总额W（元）尽可能的少？
分析
（1）有两个等量关系：
2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车，这样可引进两个未知数，得到二元一次方程组即可求解.
（2）若设需熟练工m名，则或根据招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务得到关于m、n×
的一个二元一次方程，此时结合0＜n＜10，可确定m的范围，再利用m为整数求出m的可能值，进而设计出方案.（3）问要使新工人的数量多于熟练工，同时工厂每月支出的工资总额W（元）尽可能的少，先将工厂每月支出的工资总额W与新工人的数量n的函数关系式列出，然后根据函数的性质解决问题.
解
（1）设每名熟练工和新工人每月分别可以安装x，y辆电动汽车，
则根据题意得
答：
每名熟练工和新工人每月分别可以安装4辆、2辆电动汽车.
（2）设需熟练工m名，依题意有：
2n×
12+4m×
12＝240，即n＝10－2m，
因为0＜n＜10，所以0＜10－2m＜10，解得0＜m＜5.
因为m为正整数，所以m＝1，2，3，4，
故有四种方案（n为新工人）：
工厂有上述4个新工人的招聘方案.
（3）依题意有W＝1200n+（5－
n）×
2000＝200n+10000，
要使新工人的数量多于熟练工，满足n＝4、6、8，故当n＝4时，W有最小值为10800元.
工厂应招聘4名新工人，使新工人的数量多于熟练工，同时工厂每月支出的工资总额尽可能的少.
说明 本题既是考查的是方程组、不等式组及一次函数性质的应用，又是考查利用这些知识进行方案设计，求解时要善于是将实际问题转化为数学问题.
6.利用图形性质设计
例7（孝感市）三个牧童A、B、C在一块正方形的牧场上看守一群牛，为保证公平合理，他们商量将牧场划分为三块分别看守，划分的原则是：
①每个人看守的牧场面积相等；
②在每个区域内，各选定一个看守点，并保证在有情况时他们所需走的最大距离（看守点到本区域内最远处的距离）相等.按照这一原则，他们先设计了一种如图1的划分方案：
把正方形牧场分成三块相等的矩形，大家分头守在这三个矩形的中心（对角线交点），看守自己的一块牧场.过了一段时间，牧童B和牧童C又分别提出了新的划分方案.牧童B的划分方案如图2：
三块矩形的面积相等，牧童的位置在三个小矩形的中心.牧童C的划分方案如图3：
把正方形的牧场分成三块矩形，牧童的位置在三个小矩形的中心，并保证在有情况时三个人所需走的最大距离相等.
H
F
E
G
M
N
请回答：
（1）牧童B的划分方案中，牧童＿＿＿（填A、B或C）在有情况时所需走的最大距离较远；
（2）牧童C的划分方案是否符合他们商量的划分原则？
为什么？
（提示：
在计算时可取正方形边长为2）
分析
（1）要想知道在牧童B的划分方案中，哪个牧童在有情况时所需走的最大距离较远，可设设正方形的边长为3，则面积为9，那么按照牧童B新的划分方案，每个人看守的面积为3，由此，通过计算加以比较即得.
（2）为了能顺利地解决这个问题，同样可以在提示下进行适当地计算比较.
解
（1）设正方形的边长为3，则面积为9，那么按照牧童B新的划分方案，每个人看守的面积为3，由图2可知，A、B看守的分别是一个长为2，宽为
的矩形，则在有情况时所需走的最大距离相同，即为
；
C看守的是一个长为3，宽为1的矩形，则在有情况时所需走的最大距离为
.因为
＜
，所以在牧童B的划分方案中，牧童C在有情况时所需走的最大距离较远.
（2）牧童C的划分方案不符合他们商量的划分原则.理由如下：
如图，在正方形DEFG中，四边形HENM、MNFP、DHPG都是矩形，且HN＝NP＝HG，可知EN＝NF，S矩形HENM＝S矩形MNFP.取正方形边长为2，设HD＝x，则HE＝2－x.
在Rt△HEN和Rt△DHG中，由HN＝HG得：
EH2+EN2＝DH2+DG2，
即（2－x）2+12＝x2+22.解得x＝
.所以HE＝2－
所以S矩形HENM＝S矩形MNFP＝1×
，S矩形DHPG＝2×
，
所以S矩形HENM≠S矩形DHPG.所以牧童C的划分方案不符合他们商量的划分原则.
说明 本题取材于我们生活中的实际问题，以正方形为设计背景，用矩形的知识来解决方案的合理性.由于正方形是一个特殊的四边形，方方正正，所以在具体求解时通常可设边长为一个常数，或用一个字母去表示，以降低求解的难度，同时也可以保证解答的顺利进行.
7.利用解直角三角形设计
例8（济宁市）坐落在山东省汶上县宝相寺内的太子灵踪塔始建于北宋（公元1112年），为砖彻八角形十三层楼阁式建筑.数学活动小组开展课外实践活动，在一个阳光明媚的上午，他们去测量太子灵踪塔的高度，携带的测量工具有：
测角仪、皮尺、小镜子.
（1）小华利用测角仪和皮尺测量塔高.如图1为小华测量塔高的示意图.她先在塔前的平地上选择一点A，用测角仪测出看塔顶（M）的仰角α＝35°
，在
点和塔之间选择一点B，测出看塔顶（M）的仰角β＝45°
，然后用皮尺量出A、B两点的距离为18.6m，自身的高度为1.6m.请你利用上述数据帮助小华计算出塔的高度（tan35°
≈0.7，结果保留整数）.
图2
α
β
图1
（2）如果你是活动小组的一员，正准备测量塔高，而此时塔影NP的长为am（如图2），你能否利用这一数据设计一个测量方案？
如果能，请回答下列问题：
①在你设计的测量方案中，选用的测量工具是：
＿＿＿；
②要计算出塔的高，你还需要测量哪些数据？
＿＿＿.
分析
（1）引进适当的未知数，即可利用解直角三角形的知识，构造出方程求得塔的高度.
（2）显然利用解直角三角形的知识可以设计一个测量方案，并根据需要
解
（1）设CD的延长线交MN于E点，MN长为xm，则ME＝（x－1.6）m.
因为β＝45°
，所以DE＝ME＝x－1.6，所以CE＝x－1.6+18.6＝x+17.
因为
＝tanα＝tan35°
，所以
＝0.7，解得x＝45.
所以太子灵踪塔（MN）的高度为45m.
（2）能，但方法不唯一.如，①在设计的测量方案中，选用的测量工具是：
测角仪、皮尺.
②要计算出塔的高，还需要测量的数据有：
站在P点看塔顶的仰角和自身的高度.
说明 利用解直角三角形的知识设计方法时，只要能灵活运用直角三角形的相关知识即可，但一般情况下方法不惟一.
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