层次分析法的应用.docx
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层次分析法的应用
承诺书
我们仔细阅读了第八届苏北数学建模联赛的竞赛规则。
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与本队以外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们愿意承担由此引起的一切后果。
我们的参赛报名号为：
3742
参赛组别（研究生或本科或专科）：
本科
参赛队员（签名）：
队员1：
柯先庆
队员2：
鲁松
队员3：
李国强
编号专用页
参赛队伍的参赛号码：
（请各个参赛队提前填写好）：
3742
竞赛统一编号（由竞赛组委会送至评委团前编号）：
竞赛评阅编号（由竞赛评委团评阅前进行编号）：
幸福感的评价与量化模型
摘要
本文针对身心健康、物质保障、社会关系、家庭生活以及自我价值实现等因素对人们幸福感的影响，分别运用三种不同的模型建立衡量人们幸福感的量化模型。
模型一采用灰色关联分析方法，主要根据序列曲线几何形状的相似程度来判断其联系是否紧密。
经过分析求解得到五个隐变量影响程度由强至弱依次是物质保障（0.446）、
身心健康（0•232）、社会幸福感（0.17）、自我价值的实现（0.093）、家庭生活（0.059）。
模型二先是用贴近度对数据进行处理，再运用层次分析法对幸福指数各因素进行权重分析，得自我价值体现对民众幸福感的影响最大，其次按影响系数从大到小依次为身心健康、物质保障、社会关系、家庭生活。
模型三运用指数拟合方法对同一地区的教师和学生的幸福指数进行分析。
得到社会
地位、工资与福利待遇、自我价值实现、与学生的关系、工作集体关系、业余活动是影响教师的幸福的主要因素。
而健康满意度，生活满意度，学习环境满意度，自我满意度，教师满意度师是影响学生幸福的主要因素。
最后对各个模型的优缺点和推广进行了讨论分析。
关键字：
幸福感灰色关联分析贴近度层次分析拟合
一、问题重述
1.1问题背景幸福感是一种心理体验，它既是对生活的客观条件和所处状态的一种事实判断，又是对于生活的主观意义和满足程度的一种价值判断。
它表现为在生活满意度基础上产生的一种积极心理体验。
而幸福指数，就是衡量这种感受具体程度的主观指标数值。
美国、英国、荷兰、日本等发达国家都开始了幸福指数的研究，并创设了不同模式的幸福指数。
如果说GDPGNF是衡量国富、民富的标准，那么，百姓幸福指数就可以成为一一个衡量百姓幸福感的标准。
百姓幸福指数与GDP-样重要，一方面，它可以监控经济社会运行态势；另一方面，它可以了解民众的生活满意度。
可以说,作为最重要的非经济因素，它是社会运行状况和民众生活状态的“晴雨表”，也是社会发展和民心向背的“风向标”。
国内学者也对幸福感指数进行了研究，试图建立衡量人们幸福感的量化模型，可参看附件的参考论文。
1.2涉及材料背景吴启富等利用结构方程模型，通过路径分析，测定了影响北京市居民幸福感的五个隐变量及其影响强度，分别为身心健康（0．53）、物质条件（0．509）、家庭生活（0．298）、社会幸福感（0．143）和自我价值的实现（0．014）。
1.3
问题提出根据附表数据，建立网民幸福感的评价指标体系，并利用这些指标建立衡量幸福指数的数学模型；查找相关资料，分别建立某一地区或某一学校教师和学生的幸福指数的数学模型，并找出影响他们幸福感的主要因素；你所建立的评价体系和模型，能否推广到更加普遍的人群，试讨论之；根据所建模型得出的结论，给相关部门写一封短信，阐明你对幸福的理解和建议。
2.1对“幸福感”的定性及定量分析
“幸福感”仅仅是一个宽泛的概念，因此在实际生活中需要将幸福感转化为有参考价值的数据时，往往需要利用数学建模的方法对其进行定性与定量的分析。
本文在评估幸福感时，正是应用了这种方法。
通过三种不同的思路，分别建立模型。
第一种方法是通过改进的灰色关联计算出各个指标与幸福感的关联程度和萨缪森公式建立幸福指数的数学模型。
第二种方法是基于层次分析方法的优点和幸福指数影响因素分析的特点分析各指标对幸福感的影响立幸福指数的数学模型。
第三种方法是从统计学的角度并利用拟合思想建立幸福指数的数学模型。
2.2参考角度
1．计算各个指标对幸福感的影响程度，与定性分析做比较。
2.比较三种方法建立的幸福指数建立的数学模型，选择更好的幸福指数的数学模型，并对建立的模型进行比较讨论是否能推广到一般的人群与对结果分析得出对幸福的理解和建议。
2.3基本假设
1．调查问卷是科学的，包括了影响幸福感的基本指标。
2．调查问卷调查是随机的，且面向群众广。
3．调查问卷每项假设为非常、比较、一般、比较不、很不。
4．等级量化均为5、4、3、2、1。
三、符号说明m:
为影响幸福感显性指标的个数；n:
表示影响幸福感隐性指标的个数；
k:
表示程度等级；
A（k）:
表示人群中幸福感程度的百分比；
h$（k）:
表示i影响指标的各等级程度的百分比；
H$：
幸福量化值；
hs,:
表示第i个影响幸福感的指标；
表示显性指标对幸福感影响的权向量；
c,:
表示第i个指标对幸福感拟合的倍数参数；
a,:
表示第i个指标对幸福感拟合的指数参数；
rj:
表示影响幸福感指标的灰色关联值；
冷：
表示显性变量对效用的调节系数；
■v:
表示隐形性指标对幸福感影响的权向量；
-i:
表示第i个指标的贴近度。
四、模型的建立与求解
4.1模型一一
通过多种方法建立相应的模型来分析各个因素之间的关系。
灰色关联分析方法
[8]（22-57）[9]（31-47）具有独特的优势，它主要根据序列曲线几何形状的相似程度来判
断其联系是否紧密，对样本量的多少和数据分布的规律性没有特殊要求，而且计算量小，
易于实现。
鉴于本文的研究问题，所以采用相对关联度进行分析。
4.1.1模型建立
第一步，确定分析序列。
设幸福感等级的统计频率为参考序列，记为A={Ak=1,2,…，c}，设各个指标为比较序列，记为hSi二{hqk=1,2，…，q}（i=1,2，…,m）。
c
第二步，标准化，即对原始数据进行无量纲化和初值化处理。
Ak=AkAk，
1
q
hs（k）=hs（k）/瓦hs（k），则处理后相应的参考序列与比较序列分别为x°（k）和hs（k）。
1
第三步，计算关联系数。
；jk==
m.inmin|Ak-hSik|+pmaxmax|Ak-x,k|
1k1k为序列A
|A（k卜hs（k）|+pmaxmax|A°（k卜h$（k）|
和hsdk在等级k的关联系数。
式中|A（k）-hSi（k）|=Vj（k）称为在K点A（k）和hs（k）的
绝对差；m.inmin|A0k-hSik|=、min称为最小绝对差；maxmax|Ak-hSik|=、max称
ikik
为最大绝对差；p称为分辨系数。
第四步，计算关联度并对其进行排序。
参考序列与比较序列的关联度为序列在各时刻关
1m
联系数的均值，记作r广丄a；iki=1,2「，m。
1my
第五步，计算指标的灰色关联度，并进行归一化处理得到效用调节系数:
，萨缪森公式
⑸建立幸福指数的数学模型日厂丄（[【hs「）（均是量化值）。
表1指标体系[6]
隐变量
变量名
显变量
身心健康h1
hs1
自己目前的身心健康状况
hs2
工作/生活压力
hs3
业余生活丰富
hs4
自信程度
hs5
生活态度
物质保障h2
hs6
对自己目前经济收入满意
hs7
对自己目前住房条件满意
hs8
对目前社会经济发展状况满意
hs9
公共交通很便捷
hs10
对所在地公共安全满意
hs11
所在城市的生活节奏
hs12
所在城市的环境
社会关系h3
hs13
邻里关系
hs14
同事关系
hs15
朋友（或同学）关系
家庭生活h4
hs16
自己与家庭成员之间的关系
自我价值实现h5
hs17
在事业上的发展前途
hs18
在工作/学业上有成就感
4.1.2模型求解
据以上理论，选自己幸福程度作为参考数列，选幸福指数各指标程度的频数作为比较数列。
经计算各个程度较数列的绝对差值和；i（k）值,在此基础上根据上式运用MATLAB^
学软件计算ri,结果如下表2
表2关联度计算结果
指标
hs1
hs2
hs3
hs44
hs5
hs6
hs7
hs8
hs9
关联度
0.5274
0.5753
0.5553
0.6842
0.6460
0.6804
0.8304
0.8745
0.8106
指标
hs10
hs11
hs12
hs13
hs14
hs15
hs16
hs17
hs18
关联度
0.8652
0.8144
0.8463
0.7294
0.7308
0.7320
0.7553
0.6270
0.5770
经过归一化处理后，得到五个隐变量对幸福指数影响程度的标准系数估计值，按照影响程度由强至弱依次是物质保障（0.446）、身心健康（0.232）、社会幸福感（0.17）、自我价值的实现（0.093）、家庭生活（0.059）。
为了进一步了解影响幸福指数的具体因素，下面从隐变量入手，分析每个显变量对隐变量和幸福指数[7]的影响情况。
1.身心健康。
在影响身心健康的众多因素中，排在第一位的是对自己的自信程度
（0.6482），下面依次是生活态度（0.6460），工作和生活压力（0.5753），业余生活丰富（0.5553），自己目前的身心健康状况（0.5274）。
排在前三位的都是属于心理健康，可见在身体和心理健康的对比上，民众普遍认为心理健康对幸福指数影响更为显著。
2.物质保障。
对目前社会经济发展状况满意（0.8745）在物质保障中是影响最大的，其次分别是对所在地公共安全满意（0.8652），所在城市的环境（0.84634），对自己目前住房条件满意（0.8304），所在城市的生活节奏（0.8144），公共交通很便捷（0.8106），对自己目前经济收入满意（0.6804）。
从关联系数可以看出，社会经济发展状况对一个人的幸福感影响最大。
主要原因在于，在竞争激烈的当今社会，居民的社会保障体系还
不太完善，加上对生活质量要求高，所以城市的经济发展状况是制约物质和精神生活的关键因素。
3.社会关系。
朋友或同学关系友好（0.7320），对社会幸福感来说是最重要的，其他几个因素按影响系数由大到小依次是同事关系（0.7308），邻里关系（0.7294）。
影响因素都是指良好的人际关系，这与现实也是相符合的。
良好的人际关系能缓解工作生活方面的压力，增强自信心，自然也就提高社会幸福感，最终影响幸福指数的大小。
4.自我价值的实现。
个人价值实现中最具影响力的是在事业上的发展前途（0.6270），
以及在工作或学业上有成就感（0.5770）。
居民对事业发展有较高的预期，说明对未来是积极乐观的，保持一种愉悦的心情，自然会提高幸福指数。
5.家庭生活。
自己与家庭成员之间的关系（0.7553）。
幸福的家庭生活就是有一个稳定的家，理解支持自己的家人，与家人之间的关系和睦必然会促进幸福感的提高。
4.2模型二
层次分析法[1]（224-244）是一种定性与定量相结合、系统化、层次化的分析法。
基于本文的数据都是主观感受的数据和幸福感地特点，所以利用层次分析法对幸福感进行分析，并结合贴近度对数据进行处理。
4.2.1模型建立
贴近度表示两个模糊集接近程度的数量指标,有限域U一非常比较，一般比较不,很不？
设为U^x!
x2,x3,x4,x^,令幸福感为A,各个幸福指标为hs。
5
/■：
lA（xk）hsi（xk）1
（1）.选取改进的贴近度[2]（102-111）公式“A,hSi二特（^1,2,...>
送lA（Xk）MhSi（Xk）】
k=1
计算各个指标与幸福感的贴近度。
表3关联度计算结果
指标
hs1
hs2
hs3
hs4
hs5
hs6
hs7
hs8
hs9
贴近度
0.0699
0.8434
0.7636
0.5355
0.70725
0.2895
0.8485
0.8459
0.8891
指标
hs10
hs11
hs12
hs13
hs14
hs15
hs16
hs17
hs18
贴近度
0.70725
0.677
0.5457
0.529
0.5956
0.8982
0.7683
0.6854
0.8739
找出贴近度的最大值M与最小值m,M二1njax8^m）,m=m）.选取正整数
p=9，利用公式匚巴计算出贴进度分成p组的组距，并利用择近原则得到正互反评
P
判矩阵
'勺11…a1m'
A=丨匕:
利用根法求出正互反矩阵的最大特征根和特征向量，即
a■…a
fm1^mm/
‘a…
a1m
'列向量归一化
bn…
b1m、
［按行求和
归一化
:
1
A=
:
r
:
T
B=
:
+*
:
T
:
T
知…
ammJ
g…
bmm」
IC11J
1D11」
扎
1
（/A
八）
m
从而得到各个指标对幸福感的权重，及得到权向量，。
4.2.2模型求解
根据以上各指标的贴近度，我们对各个因素
（hs6,hs8,hs10,hs9,hs7,hs5,hs14,hs13,hs11,hs12,hs18,hs4,hs17,hs15,hs16,hs2,hs3,hs1）建立如下判断矩阵：
1111113414141丄111丄］
9
6
6
1
3
4
6
3
1
4
1
2
1
3
8
5
6
3
1
4
1
5
5
52652663532
5
1
4
1
2
1
4
7
8
4
8
1
2
8
5
1
2
1
3
1
3
「4
2
1
4
1
1
5
1
4
1
4
5
2
5
1
5
7
1
1
5
1
2
1
4
1
2
1
6
2
5
1
2
5
8
9
6
9
1
9
6
1
4
2
4
5
5
1
4
1
2
1
4
7
8
5
8
1
2
8
5
1
2
3
3
1
3
4
2
1
1
1
1
1
3
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2
5
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2
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4
5
4
5
5
2
4
2
1
1
1
1
1
1
1
2
1
2
1
3
1
1
1
1
1
1
3
7
4
8
7
3
3
7
3
8
5
7
5
3
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
4
8
5
9
8
5
2
4
9
5
9
6
8
6
5
1
1
4
1
2
1
6
1
5
1
2
3
4
1
4
1
5
4
1
1
6
1
3
1
5
1
3
1
2
1
4
6
1
8
1
5
1
5
1
9
1
1
8
2
1
5
5
1
2
7
1
9
1
4
5
1
8
1
8
1
1
9
1
4
5
1
9
1
1
6
3
1
8
2
1
6
4
1
4
5
-
A
2
由MATLAB7.8.0进行编程整理，得:
w=（hSh2hS3,hs4,hS5hS,hyhS8hS9,hSOhS1hSl2hS3hS4hS5hS6hS7hS8卜
1023,9.1,50193.3,2.3,9.5,8.7,13.7,3.4,2.4,0.9,0.9,1.4,14,5,6.4,2.6,1.也
max=18・975
对判断矩阵进行一致性检验:
Ci_/-max-m
m—1
C.I.=0.0556
C.R.:
:
0.0556：
：
0.1
所以满足一致性要求。
（其中C.I.表示一致性指标，R.I.表示平均随机一致性指标，C.RV0.1表示矩阵一致性是可以接受的）根据显变量的权向量.经过均化衡处理得到隐变量的权向量为
_2T
W/=10（6.33,5.98,1,41,1.35,10.4）
计算指标的权重，并进行归一化处理得到效用调节系数:
i，均值期望公式建立幸福指数的数学模型Hs=hsw（均是量化值）
4.2.3结果分析
通过对影响民众幸福感的各因素的权重的分析，根据幸福感指标体系，我们得之，自我价值体现对民众幸福感的影响最大，其次按影响系数从大到小依次为身心健康、物质保障、社会关系、家庭生活。
4.3模型三
根据查找资料和数据分析得到教师的幸福指数与自我实现价值，工资与福利待
遇，工作压力，和学生的关系，社会地位，工作集体关系，业余活动，身体健康等因素有关。
而学生的幸福指数与健康满意度，生活满意度，家庭满意度，友谊满意度，学习环境满意度，自我满意度，教师满意度，专业满意度，成绩满意度，经济满意度，社会实践满意度等因素有关。
我们可以利用指数拟合找到影响他们的主要因素。
合是指已知某函数的若干离散函数值{f1,f2,,,fn}，通过调整该函数中若
干待定系数f（入1,入2,,,入n），使得该函数与已知点集的差别（最小二乘意义）
最小。
利用拟合分别建立某一地区教师和学生的幸福指数的数学模型，并找出影响他们
幸福感的主要因素。
4.3.1模型建立
设y是总体幸福感分别在（非常满意，满意，一般，不满意，很不满意）比例，xi
为各个指标分别在（非常满意，满意，一般，不满意，很不满意）比例，在MATLAB［3］（142-144）［4］中拟合负指数模型得到参数值Ci,ai（H1,2^,m）
m_—.—ajx
进行相乘处理：
y一|丨ce
i=1,2...m
m
InCi-ajXj
开n次根号可得：
y=e1
4.3.2教师模型求解
表4某地区关于教师幸福感调查[10]
项目
很满意
7满意、
一般
不满意
很不满意
感觉幸福（y）
2.47%
46.06%31.04%7.63%2.80%
自我价值实现（x1）
6.61%
47.93%
32.23%
6.61%
6.61%
工资与福利待遇（x2）
2.48%
21.49%
33.06%
23.14%
19.83%
工作压力（怡）
4.13%
20.66%
47.11%
20.66%
7.44%
与学生的关系（X4）
12.40%
47.93%
31.40%
7.44%
0.83%
社会地位（xs）
9.09%
46.28%
37.19%
4.13%
3.31%
工作集体关系（冷）
9.92%
51.24%
37.19%
1.65%
0.00%
业余活动（x7）
4.96%
28.10%
40.50%
19.83%
6.61%
身体健康（xs）
5.79%
14.05%
41.32%
32.23%
6.61%
（1）运用MATLA拟合每个指标的模型参数（见表5）
表5
指标
x1
x2
x4
x5
x
x7
x8
值Ci
7.285
8.281
12.55
7.392
6.088
7.417
8.8959
15.6
值ai
-0.0392
-0.03986
-0.2111
-0.03904
-0.04378
-0.03615
-0.03561
-0.01176
87cucu0.0392x1**“uc0.01176x8
（2）进行相乘处理，得到y二7.2585e…*15.6e
（3）开8次根号可得：
___0.004975X!
+0.0049825X2+0.00263875x3+0.00488x4+0.0054725x5+0.00451875X（；+0.00445125x7-+0.00147x8
y=8.78e
4）将ai进行归一化处理记为：
b
指标
x1
x2
%
x^
x5
x
x7
x8
bi
0.085871
0.087317
0.462432
0.08552
0.095904
0.079189
0.078007
0.025761
（5）将幸福与各指标进行量化，记｛非常，比较，一般，比较不，很不｝为｛5,4,3,2,1｝，
8
Zbixi
得到幸福指数的计算公式：
Hs二8.781
（6）经过分析，将bi0.05的指标作为对幸福感影响的主要因素。
所以社会地位、工资与福利待遇、自我价值实现、与学生的关系、工作集体关系、业余活动是影响教师的幸福的主要因素。
4.3.3学生模型求解
项目
很满意
7满意、
一般
不满意
很不满意
总体满意度（y）
8.40%
37.80%
32.30%
15.40%
6.20%
健康满意度（X1）
12.4%
31.5%
35.3%
15.9%
4.9%
生活满意度（X2）
13.7%
33.4%
29.1%
16.2%
7.5%
家庭满意度（x3）
51.3%
33.7%
13.3%
1.7%
0.0%
友谊满意度（X4）
20.0%
58.0%
20.0%
2.0%
0.0%
学习环境满意度（X5）
13.5%
27.5%
39.4%
14.3%
5.4%
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