高等数学习题及解答极限连续与导数Word文档格式.docx
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⎨⎬
⎩1,
<
0
⎭
4：
用极限定义证明：
lim
n→∞
n
1
n
1
（不作要求）
1111
因为
∀ω有
|-
1|
=<
ω
成立,只要
>
取
N＝[]，则当
n>
N
时,就有
nnωω
11n
有定义变知
lim=
成立
nnn→∞
5：
求下列数列的极限
n→∞
3n
12
22
+
n3
n2
（3）
（4）
lim
（1）
2n
3n
又
x→∞
2n
所以
≤
故：
＝0
（2）由于
n（n
1）（2n
1）
）
n3
6
又因为：
lim（1+
）（2n
）
=,所以：
6nn3n→∞
（3）因为：
所以：
n2
3
因为：
，并且
lim（1+
故由夹逼原理得
6：
由于
7：
8：
9：
习题三无穷小与无穷大、极限运算法则及两个重要极限
基本理论层次
同理：
（3），（4）
习题四
无穷小的比较、函数的连续及性质
（1）
（2）
第二章一元微分学及应用
习题一导数及求导法则、反函数及复合函数的导数
.
1.设f（x）=
⎨
试求常数a,
b,
使f（x）在x=1处可导。
⎧⎪ax
1,
⎪⎩-
x2
bx,
首先必须f（x）在x=1处连续,f（1-0）=limf（x）=lim（-x
+bx）=b-1
f（1+0）=limf（x）=lim（ax2
+1）=a+1,由f（1-0）=f（1+0）f
（1）得b-1=a+1,即b=a+2
x）
（1）-x2
bx
（a
1）-（
1）{x
1）}
-
（1）ax2
1）
由f
'
（1）得a
0,
从而b=2。
+-
2.
求函数y=x+x
x
0）
设x
e
ln
所以
⎛1
⎫
⎝x
（（x
）'
ln
（ln
⎛
3.
3x
2
求f
（n）
（x
111
1）（x
2）x
2x
⎝
⎫（n）
-1
-1
⎪
2）2
1）2
⎛1-1⎫⎛
（-1）2
2（-1）2
⎝
1⎝⎭⎝⎭
由数学归纳法可得出：
⎡
（-1）n
⋅
n！
n!
⎤
-⎥
⎛
4.求下面的参数方程所确定的函数的导数。
x=
⎨
3at
⎪⎩1+t2
求
dy
dt
t
=2
==又因为
1+t2
（t
==
6at
3
6a2t
6at
（1
）（1
2a
）-
2at
2t
dy
（6a
6a233
3t
==.
dx2a
21
习题二
导数的运算、高阶导数、隐函数及参数方程确定的
函数的导数、函数的微分
略
习题三中值定理罗必达法则
泰勒公式
2．
3．
4
5.]
6.
7.
习题四导数的应用
1．
综合练习题
一、填空题
x→0x
2、设
（3）
，则
h→0
h）
2h
______________
。
（2
（2）
h
_____________
4、已知
cos
π
_______________________
5、已知
，则当经
＝1、
＝1
时，
dx
_______________
6、
xe
2）
7、如果
ax（a
0）
是
的切线，则
a
=。
__________
8、若
为奇函数，
且，则
（-
00
9、
x（
2）（
n）
（0）
_________________
x→0
10、
ln（1+
3-
y'
11、设
____________________
___________
12、设
tan
13、设
_________________________
14、设函数
由方程
xy
2ln
4
所确定，则曲线
在点（1，1）
处的切线方程是
______________________
cos
⎪⎩0
≠
，其导数在
处连续，则
λ
的取值范围是
16、知曲线
x3
3a
与
轴相切，则
可以通过
表示为
____________
二、选择题。
17、设
可导，
F
x）（1+
sin
在
处可导的（）。
A充分了必要条件，B充分但非必要条件，
C必要条件但非充分条件，D既非充分条件又非必要条件。
⎪⎩
处
A左右导数均存在，B左导数存在，右导数不存在，
C左导数不存在，右导数存在，D左右导数均不存在。
（1）-
（1-
x→02
在点
（5,
（5））
处的切线斜率为（）
A1
，B0，C–10，D–2。
20、设函数
1）a
⎧1
⎪
⎩
则实常数
当
处可导时必满足（
Aa
；
B-1
C0
1；
Da
⎧
1x
21、已知
ϕ
⎨，且
存在，则常数
a,
的值为（）
⎩ax
bx
2,
1;
Ba
-1,b
5;
Ca
4,
-5;
3,b
-3.
22、函数
（-∞,
+∞）
上处处可导，且有
，此外，对任何的实数
x,
恒有
y）
，那么
（）
Ae
;
Bx;
C2
Dx
1。
23、已知函数
具有任何阶导数，且
x）]2
，则当
为大于
的正整数时，
的
阶导数
是（）
An!
x）]n+1
Bn[
C[
x）]2n
Dn!
24、若函数
有
∆x
→
时，该函数在
处的微分
的（
A等价无穷小；
B同阶但不等价的无穷小；
C低阶无穷小；
D高阶无穷小。
25、设曲线
和
在它们交点处两切线的夹角为
=（）
A-1；
B1;
C2；
D3。
⎩te
⎧x
2t
1d
y
26、设由方程组
⎨确定了
的函数，则
dx2
=0
A
D
e2
2e2
2e
一、
填空题的答案
1、2
（a）2、-1
3、
4、35、-1
21
6、6+2ln27、
8、
9、n!
11、112、
sec
13、
15、
216、
4a
6
二、选择题答案：
17、A18、B19、D20、A
21、C22、C23、A24、B
25、D26、B
三、综合题：
27、求曲线
cux
上与直线
垂直的切线方程。
剖析：
求曲线的切线议程关键有垂点，一是求切点，二是求
切线斜线。
设切点为
k
|
则点
.
处的切线斜度为
依题意知所求切线（）坐
垂直，从而
利
切点为
（1、0）
切线（）为
1.
故所求切线方程为
1即：
设
则
→0
tc
9、如果
为偶函数，且
存在证明
因为
为偶函数，所以
从而
（0）
∴
:
28、讨函数
⎪x
sin
处方程连续性与可得
y（0）
，所以函数
处连续
x→0x→0x
又
x→0x
0x→0
故函数
处可导、值
|
x
29、已知
⎩-
x=0
（0）.及f
（0）是否存在
解:
x→0+
x→0-
（0）不存在
⎩
x求f
当x
0时.
x→0+x→0+
s
⎧c
o
31、证明：
双曲线
上往一点处切线与两坐标轴构成的
三角形的面积都等于
为双曲线
上的一点，则该点处切线的斜
率为
=-
令
轴上的截距为
令
s
=|
|=|
.2|=
32、设
求
（e
（sin
xx
11
（sec
2）（-）
sin+
cos（-
xx
2xxx
33、设
（求
2dx
（u）,
u
（u）（）'
（u）
dx3x
2（3x
（arcsin
u）12
（3x
212
arcsin（）
⋅
23x
从而
|=
3arcsin1
dxx=02
34、设
arctan
，讨论
x）在点x
处连续性
本题需先求
的表达式，再讨论
处的
连续性
0时f
arctan
12
（
从而：
由于
lim⎡arctan
x→0x→0
⎣
∴
0处连续
⎤
35、
设f
x）可导,
求下列函数y的导数
（cos
xf
x）（sin
x）'
x）（cos
x）2
x[f
）]
37、设
2tx
x→∞x
提示：
te
答案：
）e
38、求
arcsin2t
导数
=1
（2t
2（1
=12（1
⎧2
⎪-
39、
x）,
f二阶可导,
求y
解
（u）u
5
40、设
=1
（n）
此类函数直接求导，很难找出规律，先对
5
6分解因式,
再将又拆项,
而后求导
2）（
3）
-+
2（
22
=-
3（
3.23.2
4（
（-1）
n+1（
n+1
41、求下列函数的
阶导数的一般表达式
（1）、
sin（2
cos（2
2π
⎡（n
1）π
⎣⎥
（2）、
y（4）
x3
y（5）
x4
（n
2）!
2,3
xn-1
（3）、
x）e
==
44、求曲线
⎧x
cos3
t
dy3sin
dx3cos
上对应于
π
点处的法线方程
K
切
则K
法
=-
当t
8
3（
8
2dx
+cos
yy
dy2
dx2
d
y-
2（2
y）'
2sin
4sin
==-=
dx（2
2（2
2（cos
46、求
l
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