奥数第六讲：分数百分数应用题.doc

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第六讲：

分数百分数应用题

教学目标

1.分析题目确定单位“1”

2.准确找到量所对应的率，利用量÷对应率＝单位“1”解题

3.抓住不变量，统一单位“1”BJ03-Y0355

知识点拨：

一、知识点概述

分数应用题是研究数量之间份数关系的典型应用题，一方面它是在整数应用题上的延续和深化，另一方面，它有其自身的特点和解题规律．在解这类问题时，分析中数量之间的关系，准确找出“量”与“率”之间的对应是解题的关键．

关键：

分数应用题经常要涉及到两个或两个以上的量，我们往往把其中的一个量看作是标准量．也称为：

单位“1”，进行对比分析。

在几个量中，关键也是要找准单位“1”和对应的百分率，以及对应量三者的关系

例如：

（1）a是b的几分之几，就把数b看作单位“1”．

（2）甲比乙多，乙比甲少几分之几？

方法一：

可设乙为单位“”，则甲为，因此乙比甲少.

方法二：

可设乙为份，则甲为份，因此乙比甲少.

二、怎样找准分数应用题中单位“1”

（一）、部分数和总数

在同一整体中，部分数和总数作比较关系时，部分数通常作为比较量，而总数则作为标准量，那么总数就是单位“1”。

例如：

我国人口约占世界人口的几分之几？

——世界人口是总数，我国人口是部分数，世界人口就是单位“1”。

解答题关键：

只要找准总数和部分数，确定单位“1”就很容易了。

（二）、两种数量比较

分数应用题中，两种数量相比的关键句非常多。

有的是“比”字句，有的则没有“比”字，而是带有指向性特征的“占”、“是”、“相当于”。

在含有“比”字的关键句中，比后面的那个数量通常就作为标准量，也就是单位“1”。

例如：

六

（2）班男生比女生多——就是以女生人数为标准（单位“1”），

解题关键：

在另外一种没有比字的两种量相比的时候，我们通常找到分率，看“占”谁的，“相当于”谁的，“是”谁的几分之几。

这个“占”，“相当于”，“是”后面的数量——谁就是单位“！

”。

（三）、原数量与现数量

有的关键句中不是很明显地带有一些指向性特征的词语，也不是部分数和总数的关系。

这类分数应用题的单位“1”比较难找。

需要将题目文字完善成我们熟悉的类似带“比”的文字，然后在分析。

例如：

水结成冰后体积增加了，冰融化成水后，体积减少了。

完善后：

水结成冰后体积增加了→“水结成冰后体积比原来增加了”→原来的水是单位“1”

冰融化成水后，体积减少了→“冰融化成水后，体积比原来减少了”→原来的冰是单位“1”

解题关键：

要结合语文知识将题目简化的文字丰富后在分析

例题精讲

【例1】（小数报数学竞赛初赛）甲、乙两人星期天一起上街买东西，两人身上所带的钱共计是元.在人民市场，甲买一双运动鞋花去了所带钱的，乙买一件衬衫花去了人民币元．这样两人身上所剩的钱正好一样多．问甲、乙两人原先各带了多少钱?

【解析】方法一：

把甲所带的钱视为单位“”，由题意，乙花去元后所剩的钱与甲所带钱的一样多，那么元钱正好是甲所带钱的，那么甲原来带了（元），乙原来带了（元）．

方法二：

设甲所带的钱数为份，则甲和乙都还剩份，所以每份是（元），则甲原来带了（元），乙原来带了（元）.

【巩固】一实验五年级共有学生152人，选出男同学的和5名女同学参加科技小组，剩下的男、女人数正好相等。

五年级男、女同学各有多少人？

【解析】根据题意画出线段图，找出量率对应：

题中所给的已知数量虽然没有直接的对应关系，但从中可以看出，如果女工去掉5人就和男工人数的（1－）相对应，因此总人数也应去掉5人，相应的与男工人数的（1－＋1）相对应。

因此男工有：

（152－5）÷（1－＋1）=77（名）女工有：

152－77=75（名）答：

男共有77名，女工有75名。

【巩固】五年级有学生人，选出男生的和名女生参加团体操，这时剩下的男生和女生人数一样多，问：

五年级女生有多少人？

【解析】男生人数为（人），女生有：

（人）．

【例2】甲、乙两个书架共有本书，从甲书架借出，从乙书架借出以后，甲书架是乙书架的倍还多本，问乙书架原有多少本书？

【解析】甲

甲

甲

乙

乙

乙

乙

共本

甲

乙

甲

乙

150本

还剩下~

甲的比乙的多本

甲

乙

甲

乙

150本

甲

乙

甲

乙

150本

甲的比乙多本

同时扩大两倍

这个题目的难点就在于甲乙的数目同时发生了变化，变化之后的关系是两倍还多本，也就是说：

甲的比乙的的两倍还多本，如果能够正确地理解和转化这个条件，这道题也就迎刃而解了，从上图中不难看出，“甲的比乙的的两倍还多本”其实也就是“甲的比乙的多本”，如果同时扩大两倍，他们之间的关系就变成了“甲的比乙多本”，结合“甲乙的和为本”这个条件，这个问题就变成了一个简单的和倍问题了。

，，（本），，

（本）…………甲的书本数目

（本）………………………………乙的书本数目

方法二：

设甲原有x本书，，解得，则乙为500本。

【例3】五年级上学期男、女生共有人，这一学期男生增加，女生增加，共增加了人．这一学年六年级男、女生各有多少人?

【解析】方法一：

此题我们用假设法来解答．假设这一学期五年级男、女生人数都增加，那么增加的人数应为（人），这与实际增加的人相差（人）．相差人的原因是把女生增加的看成计算了，即少算了原女生人数的，也就是说这人正好相当于上学期女生人数的，可求出上学期女生的人数：

（人），男生人数为：

（人），这学年女生的人数：

（人），这学年男生的人数：

（人）．

方法二：

本题可以看成男生1份＋女生1份＝13（人），那么男生20份＋女生20份=13×20＝260（人），对比分析可以看出：

300—260＝40（人）对应男生的25—20＝5（份），所以男生有40÷5×（25＋1）＝208（人），女生有300＋13—208＝105（人）。

【巩固】把金放在水里称，其重量减轻，把银放在水里称，其重量减轻．现有一块金银合金重克，放在水里称共减轻了克，问这块合金含金、银各多少克？

【解析】方法一：

设合金含金克，则银有克．依题意，列方程得：

，

解得，所以这块合金中金有克，银有克．

方法二：

本题可以看成金1份＋银1份＝50（克），那么金10份＋银10份=50×10＝500（克），对比分析可以看出：

770—500＝270（克）对应金的19—10＝9（份），所以金有270÷9×19＝570（人），银有770—570=200（人）。

【例4】光明小学有学生人，其中女生的与男生的参加了课外活动小组，剩下的人没有参加．这所小学有男、女生各多少人?

【解析】（用假设法）假设男生、女生都有的人参加了课外活动小组，那么共有（人），比现在多出了（人），这多出的人即为女生的，所以女生人数为

（人），男生人数为（人）．

【巩固】二年级两个班共有学生人，其中少先队员有人，又知一班少先队员占全班人数的，二班少先队员占全班人数的，求两个班各有多少人？

【解析】本题与鸡兔同笼问题相似，根据鸡兔同笼问题的假设法，可求得一班人数为（人），那么二班人数为（人）．

【例5】盒子里有红，黄两种玻璃球，红球为黄球个数的，如果每次取出个红球，个黄球，若干次后，盒子里还剩个红球，个黄球，那么盒子里原有________个玻璃球．

【解析】由于红球与黄球个数比为，所以若每次取个红球，个黄球，则最后剩下的红球与黄球的个数比仍为，即最后剩下个红球，个黄球，而实际上是每次取个红球，个黄球，最后剩个红球，个黄球，每次少取了3个黄球，最后多剩下45个黄球，所以一共取了次，所以球的总数为个．

【巩固】甲乙两班的同学人数相等，各有一些同学参加课外天文小组，已知甲班参加的人数恰好是乙班未参加人数的三分之一，乙班参加人数恰好是甲班未参加人数的四分之一，问甲班没有参加的人数是乙班没有参加的人数的几分之几？

【解析】分别用甲参、甲未、乙参、乙未表示甲、乙班参加和未参加的人数，则：

甲参+甲未=乙参+乙未，

【例6】（年第七届“希望杯”五年级一试）工厂生产一批产品，原计划15天完成。

实际生产时改进了生产工艺，每天生产产品的数量比原计划每天生产产品数量的多10件，结果提前4天完成了生产任务。

则这批产品有件。

【解析】设原计划每天生产份，则实际每天生产份加件，而根据题意这批产品共有份，所以实际每天生产份，所以份与份加件的和相同，所以每份就是件，所以这批产品共有件.或用方程来解.

【例7】有若干堆围棋子，每堆棋子数一样多，且每堆中白子都占28％．小明从某一堆中拿走一半棋子，而且拿走的都是黑子，现在，在所有的棋子中，白子将占32％．那么，共有棋子多少堆?

【解析】设每堆棋子为100个有x堆棋子，那么每堆中白子为28个，黑子为72个，那走一半棋子且为黑子时，还剩白子为28x个，黑子为（72x—50）个，所以列方程为：

解得，所以有4堆。

【例8】我从飞机的舷窗向外看去，看见了部分海岛、部分白云以及不大的一块海域，假定白云占窗口画面的一半，它遮住了岛的，因此岛在窗口画面上只占，问被白云遮住的那部分海洋占画面的多少？

【解析】5/12.

【例9】养殖专业户王老伯养了许多鸡鸭，鸡的只数是鸭的只数的倍．鸭比鸡少几分之几？

【解析】方法一：

把鸭看成单位“”，那么鸡就是，鸭比鸡少：

（此时的单位“1”是鸡的只数）．

方法二：

设鸭有份，则鸡有份，所以鸭比鸡少.

【巩固】某校男生比女生多，女生比男生少几分之几？

【解析】方法一：

男生比女生多，则男生有，女生比男生少.

方法二：

设女生有份，则男生有份，所以女生比男生少.

【例10】学校阅览室里有36名学生在看书，其中女生占，后来又有几名女生来看书，这时女生人数占所有看书人数的．问后来又有几名女生来看书?

【解析】把总人数视为“1”，紧抓住男生人数不变进行解答．男生人数是人，后来阅览室的总人数是（名），后来有（名）女生进来．

【巩固】（2009年五中小升初入学测试题）工厂原有职工128人，男工人数占总数的，后来又调入男职工若干人，调入后男工人数占总人数的，这时工厂共有职工人．

【解析】在调入的前后，女职工人数保持不变．在调入前，女职工人数为人，调入后女职工占总人数的，所以现在工厂共有职工人．

【巩固】有甲、乙两桶油，甲桶油的质量是乙桶的倍，从甲桶中倒出5千克油给乙桶后，甲桶油的质量是乙桶的倍，乙桶中原有油千克．

【解析】原来甲桶油的质量是两桶油总质量的，甲桶中倒出5千克后剩下的油的质量是两桶油总质量的，由于总质量不变，所以两桶油的总质量为千克，乙桶中原有油千克．

【例11】

（1）某工厂二月份比元月份增产10％，三月份比二月份减产10％．问三月份比元月份增产了还是减产了？

（2）一件商品先涨价15％，然后再降价15％，问现在的价格和原价格比较升高、降低还是不变？

【解析】

（1）设二月份产量是1，所以元月份产量为：

，三月份产量为：

，因为＞0.9，所以三月份比元月份减产了

（2）设商品的原价是1，涨价后为，降价15%为：

，现价和原价比较为：

0.9775＜1，所以价格比较后是价降低了。

【例12】某校三年级有学生240人，比四年级多，比五年级少．四年级、五年级各多少人？

【分析】比四年级,可以设四年级为4份,（一般情况下可设“比”、“是”、等词后面的实际量的份数为分数的分母），则三年级为5份恰有240人,所以一每份就是,所以四年级就有484192人,同理可设五年级有5份,则三年级有4份恰是240人,所以五年级就有300人.

【巩固】把个人分成四队，一队人数是二队人数的倍，一队人数是三队人数的倍，那么四队有多少个人?

【解析】方法一：

设一队的人数是“”，那么二队人数是：

，三队的人数是：

，，因此，一、二、三队之和是：

一队人数，因为人数是整数，一队人数一定是的整数倍，而三个队的人数之和是（某一整数），因为这是以内的数，这个整数只能是．所以三个队共有人，其中一、二、三队各有，，人．而四队有：

（人）．

方法二：

设二队有份，则一队有份；设三队有份，则一队有份.为统一一队所以设一队有份，则二队有份，三队有份，所以三个队之和为份，而四个队的份数之和必须是的因数，因此四个队份数之和是100份，恰是一份一人，所以四队有人（人）.

【例13】新光小学有音乐、美术和体育三个特长班，音乐班人数相当于另外两个班人数的，美术班人数相当于另外两个班人数的，体育班有人，音乐班和美术班各有多少人？

【解析】条件可以化为：

音乐班的人数是所有班人数的，美术班的学生人数是所有班人数的，所以体育班的人数是所有班人数的，所以所有班的人数为人，其中音乐班有人，美术班有人.

【巩固】甲、乙、丙三人共同加工一批零件，甲比乙多加工20个，丙加工零件数是乙加工零件数的，甲加工零件数是乙、丙加工零件总数的，则甲、丙加工的零件数分别为个、个．

【解析】把乙加工的零件数看作1，则丙加工的零件数为，甲加工的零件数为，由于甲比乙多加工20个，所以乙加工了个，甲、丙加工的零件数分别为个、个．

【例14】王先生、李先生、赵先生、杨先生四个人比年龄，王先生的年龄是另外三人年龄和的，李先生的年龄是另外三人年龄和的，赵先生的年龄是其他三人年龄和的，杨先生26岁，你知道王先生多少岁吗?

【解析】方法一：

要求王先生的年龄，必须先要求出其他三人的年龄各是多少．而题目中出现了三个“另外三人”所包含的对象并不同，即三个单位“”是不同的，这就是所说的单位“”不统一，因此，解答此题的关键便是抓不变量，统一单位“”．题中四个人的年龄总和是不变的，如果以四个人的年龄总和为单位“”，则单位“”就统一了．那么王先生的年龄就是四人年龄和的，李先生的年龄就是四人年龄和的，赵先生的年龄就是四人年龄和的（这些过程就是所谓的转化单位“”）．则杨先生的年龄就是四人年龄和的．由此便可求出四人的年龄和：

（岁），王先生的年龄为：

（岁）．

方法二：

设王先生年龄是1份,则其他三人年龄和为2份,则四人年龄和为3份,同理设李先生年龄为1份,则四人年龄和为4份,设赵先生年龄为1份,则四人年龄和为5份,不管怎样四人年龄和应是相同的,但是现在四人年龄和分别是3份、4份、5份，它们的最小公倍数是60份，所以最后可以设四人年龄和为60份，则王先生的年龄就变为20份，李先生的年龄就变为15份，赵先生的年龄就变为12份，则杨先生的年龄为13份，恰好是26岁，所以1份是2岁，王先生年龄是20份所以就是40岁.

【巩固】甲、乙、丙、丁四个筑路队共筑1200米长的一段公路，甲队筑的路是其他三个队的，乙队筑的路是其他三个队的，丙队筑的路是其他三个队的，丁队筑了多少米？

【解析】甲队筑的路是其他三个队的，所以甲队筑的路占总公路长的；

乙队筑的路是其他三个队的，所以乙队筑的路占总公路长的；

丙队筑的路是其他三个队的，所以丙队筑的路占总公路长的，

所以丁筑路为：

（米）

【例15】（迎春杯决赛）小刚给王奶奶运蜂窝煤，第一次运了全部的，第二次运了块，这时已运来的恰好是没运来的．问还有多少块蜂窝煤没有运来？

【解析】方法一:

运完第一次后，还剩下没运，再运来块后，已运来的恰好是没运来的，也就是说没运来的占全部的，所以，第二次运来的块占全部的：

，全部蜂窝煤有：

（块），没运来的有：

（块）．

方法二：

根据题意可以设全部为份，因为已运来的恰好是没运来的，所以可以设全部为份，为了统一全部的蜂窝煤，所以设全部的蜂窝煤共有份，则已运来应是份，没运来的份，第一次运来份，所以第二次运来是份恰好是块，因此没运来的蜂窝煤有（块）.

【巩固】五

（一）班原计划抽的人参加大扫除，临时又有个同学主动参加，实际参加扫除的人数是其余人数的．原计划抽多少个同学参加大扫除？

【解析】又有个同学参加扫除后，实际参加扫除的人数与其余人数的比是，实际参加人数比原计划多．即全班共有（人）．原计划抽（人）参加大扫除．

【巩固】某校学生参加大扫除的人数是未参加大扫除人数的，后来又有20名同学参加大扫除，实际参加的人数是未参加人数的，这个学校有多少人？

【解析】（人）.

【例16】小莉和小刚分别有一些玻璃球，如果小莉给小刚24个，则小莉的玻璃球比小刚少；如果小刚给小莉24个，则小刚的玻璃球比小莉少，小莉和小刚原来共有玻璃球多少个？

【解析】小莉给小刚24个时，小莉是小刚的（=1一），即两人球数和的；小刚给小莉24个时，小莉是两人球数和的（=），因此24+24是两人球数和的-=．从而，和是（24+24）÷=132（个）．

【巩固】某班一次集会，请假人数是出席人数的，中途又有一人请假离开，这样一来，请假人数是出席人数的，那么，这个班共有多少人？

【解析】因为总人数未变，以总人数作为”1”．原来请假人数占总人数的，现在请假人数占总人数的，这个班共有：

l÷（-）=50（人）．

【例17】小明是从昨天开始看这本书的，昨天读完以后，小明已经读完的页数是还没读的页数，他今天比昨天多读了页，这时已经读完的页数是还没读的页数的，问题是，这本书共有多少页？

”

【解析】首先，可以直接运算得出，第一天小明读了全书的，而前二天小明一共读了全书的，所以第二天比第一天多读的页对应全书的。

所以整本书一共有（页）。

此外，如果对分数的掌握还不是很熟练的话，那么这道题可以采用设份数的方法：

把这本书看作份，那么昨天他看了份，而今天他看了份还多页，两天一共看了份还多页，或者可以表示成（份）。

那么每份是（页），这本书共（页）。

两种方法都可以得到相同的结果。

【例18】某校有学生人，其中女生的比男生的少人，那么男生比女生少多少人?

【解析】方法一：

女生的比男生的少人，，，所以女生比男生的少人．男生人数是（人），女生人数是（人），男生比女生少（人）。

方法二：

通过画图比较女生的份加人恰好等于男生的两份，因此给每份女生加后，男女生总份数就变为份，因此每份有人，男生有女生人数是（人），男生比女生少（人）．

【例19】某校四年级原有两个班，现在要重新编为三个班，将原一班的与原二班的组成新一班，将原一班的与原二班的组成新二班，余下的人组成新三班．如果新一班的人数比新二班的人数多，那么原一班有多少人？

【解析】新三班人数占原来两班人数之和的，所以，原来两班总人数为：

（人），新一班与新二班人数之和为：

（人），新二班人数是：

（人），新一班人数为：

（人），新一班与新二班人数之差为，而新一班与新二班人数之差为（原一班人数原二班人数），故：

原一班人数原二班人数（人），原一班人数（人）．

【巩固】某工厂对一、二两个车间的职工进行重组，将原来的一车间人数的和二车间人数的分到一车间，将原来的一车间人数的和二车间人数的分到二车间，两个车间剩余的140人组成劳动服务公司，现在二车间人数比一车间人数多，现在一车间有人，二车间有人．

【解析】由“将一车间人数的和二车间人数的分到一车间，将一车间人数的和二车间人数的分到二车间”可知，现在一、二两车间的人数之和为总人数的，所以劳动服务公司的140人占总人数的，那么总人数为：

人，现在一、二两车间的人数之和为人．由于现在二车间人数比一车间人数多，所以现在一车间人数为人，现在二车间人数为人．提示：

可以继续求出原来一车间和二车间的人数．由于现在二车间比一车间多20人，所以原来二车间人数的比一车间人数的多20人，那么原来二车间人数比乙车间人数多人，原来一车间有人，原来二车间有人．

【例20】年第十三届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛（小学组）决赛林林倒满一杯纯牛奶，第一次喝了，然后加入豆浆，将杯子斟满并搅拌均匀，第二次林林又喝了，继续用豆浆将杯子斟满并搅拌均匀，重复上述过程，那么第四次后，林林共喝了一杯纯牛奶总量的（用分数表示）。

【解析】大家要先分析清楚的是不论是否加入豆浆，每次喝到的都是杯子里剩下牛奶的，要是能想清楚这一点那么这道题就变了一道找规律的问题了。

喝掉的牛奶

剩下的牛奶

第一次

第二次

（喝掉剩下的）

（剩下是第一次剩下的）

第三次

（喝掉剩下的）

（剩下是第一次剩下的）

第四次

（喝掉剩下的）

所以最后喝掉的牛奶为

【例21】参加迎春杯数学竞赛的人数共有2000多人.其中光明区占，中心区占，朝阳区占，剩余的全是远郊区的学生.比赛结果，光明区有去的学生得奖，中心区有的学生得奖，朝阳区有的学生得奖，全部获奖者的号远郊区的学生．那么参赛学生有多少名?

获奖学生有多少名?

【解析】如下表所示，我们将题中所给的条件列在表格内：

有远郊区参赛的占参赛总数的1-而光明区、中心区、朝阳区获奖学生数占参赛总数的，，.所以有参赛学生数是3、7、5、72、56、90的倍数，即为2520的倍数，而参赛学生总数只有2000多人,所以只能是2520．光明区、中心区、朝阳区获奖学生共35+45+28=108人，占获奖总数的，所以获奖学生总数为108÷=126.即参赛学生有2520名，获奖学生有126名．

【例22】一炉铁水凝成铁块，其体积缩小了，那么这个铁块又熔化成铁水（不计损耗），其中体积增加了几分之几?

【解析】方法一：

设铁水的体积为，则铁块为．现在变回来，那么铁块的体积就要变为单位1，则铁水的体积就为，故体积增加了：

.

方法二：

体积缩小是铁块比铁水缩小,所以可以设铁水为34份,则铁块为33份,铁块又熔化成铁水,体积增加是比铁块增加,所以用差的1份除以铁块的33份就是答案.

【巩固】水结成冰后体积增大它的.问：

冰化成水后体积减少它的几分之几？

【解析】设水的体积是份，则结成冰后体积为份，冰化成水后比冰减少.

【例23】（2008年清华附中考题）在下降的电梯中称重，显示的重量比实际体重减少；在上升的电梯中称重，显示的重量比实际体重增加．小明在下降的电梯中与小刚在上升的电梯中称得的体重相同，小明和小刚实际体重的比是．

【解析】小明在下降的电梯中称得的体重为其实际体重的，小刚在上升的电梯中称得的体重为其实际体重的，而小明在下降的电梯中与小刚在上升的电梯中称得的体重相同，所以小明和小刚实际体重的比是：

．

【例24】某工厂二月份比元月份增产，三月份比二月份减产．问三月份比元月份增产了还是减产了？

【解析】工厂二月份比元月份增产，将元月份产量看作1，则二月份产量为：

，三月比二月减产，则三月份产量为：

，所以三月份比元月份减产了．

【巩固】一件商品先涨价，然后再降价，问现在的价格和原价格比较升高、降低还是不变？

【解析】，所以现在的价格比原价降低了.

【例25】如图⑴，线段将长方形纸分成面积相等的两部分．沿将这张长方形纸对折后得到图⑵，将图⑵沿对称轴对折，得到图⑶，已知图⑶所覆盖的面积占长方形纸面积的，阴影部分面积为平方厘米．长方形的面积是多少？

【解析】如图⑶所示，阴影部分是层，空白部分是层，如果将阴影部分缩小一半，即变为平方厘米，那么阴影部分也变成层，此时覆盖面的面积占长方形纸片面积的，即缩小的平方厘米相当于长方形纸片面积的，所以长方形纸片面积为（平方厘米）.

课后练习

练习1.某小学六年级有三个班，一班和二班人数相等，三班的人数是全年级总人数的，并且比一班多人，六年级共有多少人？

【解析】根据条件“三班的人数占全年级的，并且比二班多3人”可知一班、二班都比全年级的少3人，假设一班、二班都占全年级的，那么将比实际人数多出3×2=6人，比单位“1”多出（＋＋－