高中数学第二章平面向理及坐标表示234平面向量共线的坐标表示学案新人教A版必修409132148.docx

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高中数学第二章平面向理及坐标表示234平面向量共线的坐标表示学案新人教A版必修409132148

2.3.4　平面向量共线的坐标表示

学习目标：

1.理解用坐标表示两向量共线的条件．（难点）2.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线；并掌握三点共线的判断方法．（重点）3.两直线平行与两向量共线的判定．（易混点）

[自主预习·探新知]

平面向量共线的坐标表示

（1）设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），其中b≠0，a，b共线，当且仅当存在实数λ，使a＝λb.

（2）如果用坐标表示，可写为（x1，y1）＝λ（x2，y2），当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a，b（b≠0）共线．

[基础自测]

1．思考辨析

（1）向量（1,2）与向量（4,8）共线．（　　）

（2）向量（2,3）与向量（－4，－6）反向．（　　）

（3）若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）且b≠0，则＝.（　　）

[解析]　

（1）正确．因为（4,8）＝4（1,2），所以向量（1,2）与向量（4,8）共线．

（2）正确．因为（－4，－6）＝－2（2,3），所以向量（2,3）与向量（－4，－6）反向．

（3）错误．当x2y2≠0时＝.

[答案]　

（1）√　

（2）√　（3）×

2．下列各对向量中，共线的是（　　）

A．a＝（2,3），b＝（3，－2）

B．a＝（2,3），b＝（4，－6）

C．a＝（，－1），b＝（1，）

D．a＝（1，），b＝（，2）

D　[A，B，C中各对向量都不共线，D中b＝a，两个向量共线．]

3．已知a＝（－3,2），b＝（6，y），且a∥b，则y＝________.

－4　[∵a∥b，∴＝，解得y＝－4.]

[合作探究·攻重难]

判定直线平行、三点共线

（1）已知A，B，C三点共线，且A（3，－6），B（－5,2），若C点的横坐标为6，则C点的纵坐标为（　　）

A．－13　　　B．9　　　

C．－9　　　D．13

（2）已知A（－1，－1），B（1,3），C（1,5），D（2,7），向量与平行吗？

直线AB平行于直线CD吗？

[思路探究]　

（1）→→

（2）→

（1）C　[

（1）设C（6，y），∵∥，

又＝（－8,8），＝（3，y＋6），

∴－8×（y＋6）－3×8＝0，

∴y＝－9.]

（2）[解]　∵＝（1－（－1），3－（－1））＝（2,4），

＝（2－1,7－5）＝（1,2）．

又2×2－4×1＝0，

∴∥.

又＝（2,6），＝（2,4），

∴2×4－2×6≠0，

∴A，B，C不共线，

∴AB与CD不重合，

∴AB∥CD.

[规律方法]　向量共线的判定方法

提醒：

向量共线的坐标表达式极易写错，如写成x1y1－x2y2＝0或x1x2－y1y2＝0都是不对的，因此要理解并记熟这一公式，可简记为：

纵横交错积相减．

[跟踪训练]

1．已知A（1，－3），B，C（9,1），求证：

A，B，C三点共线.

【导学号：

84352230】

[证明]　＝＝，＝（9－1,1＋3）＝（8,4），

∵7×4－×8＝0，

∴∥，且，有公共点A，

∴A，B，C三点共线.

已知平面向量共线求参数

　已知a＝（1,2），b＝（－3,2），当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？

平行时它们是同向还是反向？

【导学号：

84352231】

[思路探究]　法一：

可利用b与非零向量a共线等价于b＝λa（λ>0，b与a同向；λ<0，b与a反向）求解；

法二：

可先利用坐标形式的等价条件求k，再利用b＝λa判定同向还是反向．

[解]　法一：

（共线向量定理法）ka＋b＝k（1,2）＋（－3,2）＝（k－3,2k＋2），

a－3b＝（1,2）－3（－3,2）＝（10，－4），

当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一实数λ，

使ka＋b＝λ（a－3b）．

由（k－3,2k＋2）＝λ（10，－4），

所以

解得k＝λ＝－.

当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，这时ka＋b＝－a＋b＝－（a－3b），

因为λ＝－<0，

所以ka＋b与a－3b反向．

法二：

（坐标法）由题知ka＋b＝（k－3,2k＋2），

a－3b＝（10，－4），

因为ka＋b与a－3b平行，

所以（k－3）×（－4）－10×（2k＋2）＝0，

解得k＝－.

这时ka＋b＝＝－（a－3b），

所以当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，并且反向．

[规律方法]　利用向量平行的条件处理求值问题的思路：

（1）利用共线向量定理a＝λb（b≠0）列方程组求解．

（2）利用向量平行的坐标表达式x1y2－x2y1＝0直接求解．

[跟踪训练]

2．已知a＝（1,1），b＝（x2，x＋λ）且a∥b，则实数λ的最小值是________．

－　[因为a∥b，所以x2－x－λ＝0，

即λ＝x2－x＝2－≥－，

所以λ的最小值为－.]

向量共线的综合应用

（1）已知向量a＝（cosα，－2），b＝（sinα，1），且a∥b，则2sinαcosα等于（　　）

A．3B．－3

C．－D．

（2）如图2318所示，已知点A（4,0），B（4,4），C（2，6），求AC与OB的交点P的坐标.

【导学号：

84352232】

图2318

[思路探究]　

（1）先由a∥b推出sinα与cosα的关系，求tanα，再用“1”的代换求2sinαcosα.

（2）要求点P的坐标，只需求出向量的坐标，由与共线得到＝λ，利用与共线的坐标表示求出λ即可；也可设P（x，y），由∥及∥，列出关于x，y的方程组求解．

（1）C　[

（1）因为a∥b，所以cosα×1－（－2）sinα＝0即cosα＝－2sinα，tanα＝－，

所以2sinαcosα＝＝

＝＝－.

（2）法一：

（定理法）由O，P，B三点共线，可设＝λ＝（4λ，4λ），则＝－＝（4λ－4,4λ），＝－＝（－2,6）．

由与共线得（4λ－4）×6－4λ×（－2）＝0，解得λ＝，所以＝＝（3,3），所以P点的坐标为（3,3）．

法二：

（坐标法）设P（x，y），则＝（x，y），因为＝（4,4），且与共线，所以＝，即x＝y.

又＝（x－4，y），＝（－2,6），且与共线，则得（x－4）×6－y×（－2）＝0，解得x＝y＝3，所以P点的坐标为（3,3）．]

[规律方法]　向量共线的坐标表示的应用

1已知两个向量的坐标判定两向量共线.联系平面几何平行、共线知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题.要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行.

2已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值，求轨迹方程.要注意方程思想的应用，向量共线的条件，向量相等的条件等都可作为列方程的依据.

[跟踪训练]

3．如图2319，已知A（4,5），B（1,2），C（12,1），D（11,6），求AC与BD的交点P的坐标．

图2319

[解]　设＝λ＝λ（11－1,6－2）＝（10λ，4λ）．

易得＝（－11,1），

∴＝＋＝（10λ－11,4λ＋1）．

又＝（－8,4），而与共线，

∴4×（10λ－11）＋8×（4λ＋1）＝0，

解得λ＝.

设点P的坐标为（xP，yP），

∴＝（5,2）＝（xP－1，yP－2），

∴

即

故点P的坐标为（6,4）.

共线向量与线段分点点坐标的计算

[探究问题]

1．设P1，P2的坐标分别是（x1，y1），（x2，y2），如何求线段P1P2的中点P的坐标？

提示：

如图所示，∵P为P1P2的中点，

∴＝，

∴－＝－，

∴＝（＋）

＝，

∴线段P1P2的中点坐标是.

2．设P1，P2的坐标分别是（x1，y1），（x2，y2），点P是线段P1P2的一个三等分点，则P点坐标是什么？

提示：

点P是线段P1P2的一个三等分点，分两种情况：

①当＝时，＝＋＝＋＝＋（－）＝＋

＝；

②当＝时，

＝＋＝＋

＝＋（－）

＝＋

＝.

3．当＝λ时，点P的坐标是什么？

提示：

∵＝＋＝＋λ＝＋λ（－）＝＋λ－λ，

∴＝

＝（x1，y1）＋（x2，y2）

＝＋

＝，

∴P.

　已知点A（3，－4）与点B（－1,2），点P在直线AB上，且||＝2||，求点P的坐标.

【导学号：

84352233】

[思路探究]　点P在直线AB上，包括点P在线段AB内和在线段AB的延长线上，因此应分类讨论．

[解]　设P点坐标为（x，y），

||＝2||.

当P在线段AB上时，＝2，

∴（x－3，y＋4）＝2（－1－x,2－y），

∴解得

∴P点坐标为.

当P在线段AB延长线上时，＝－2，

∴（x－3，y＋4）＝－2（－1－x,2－y），

∴解得

∴P点坐标为（－5,8）．

综上所述，点P的坐标为或（－5,8）．

母题探究：

1.若将本例条件“||＝2||”改为“＝3”其他条件不变，求点P的坐标．

[解]　因为＝3，所以（x－3，y＋4）＝3（－1－x,2－y），

所以解得

所以点P的坐标为.

2．若将本例条件改为“经过点P（－2,3）的直线分别交x轴、y轴于点A，B，且||＝3||”，求点A，B的坐标．

[解]　由题设知，A，B，P三点共线，且||＝3||，设A（x,0），B（0，y），

①点P在A，B之间，则有＝3，

∴（－x，y）＝3（－2－x,3），

解得x＝－3，y＝9，

点A，B的坐标分别为（－3,0），（0,9）．

②点P不在A，B之间，

则有＝－3，同理，

可求得点A，B的坐标分别为，（0，－9）．

综上，点A，B的坐标分别为（－3,0），（0,9）或，（0，－9）．

[规律方法]　在求有向线段分点坐标时，不必过分强调公式记忆，可以转化为向量问题后解方程组求解，同时应注意分类讨论.

[当堂达标·固双基]

1．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的一组基底的是

（　　）

A．a＝（0,0），b＝（2,3）

B．a＝（1，－3），b＝（2，－6）

C．a＝（4,6），b＝（6,9）

D．a＝（2,3），b＝（－4,6）

D　[只有D选项中两个向量不共线，可以作为表示它们所在平面内所有向量的一组基底，故选D.]

2．若向量a＝（，1），b＝（0，－2），则与a＋2b共线的向量可以是（　　）

A．（，－1）B．（－1，－）

C．（－，－1）D．（－1，）

D　[因为a＋2b＝（，－3）＝－（－1，），所以向量a＋2b与（－1，）是共线向量．故选D.]

3．已知两点A（2，－1），B（3,1），则与平行且方向相反的向量a可以是

（　　）【导学号：

84352234】

A．（1，－2）B．（9,3）

C．（－2,4）D．（－4，－8）

D　[由题意，得＝（1,2），所以a＝λ＝（λ，2λ）（其中λ＜0）．符合条件的只有D项，故选D.]

4．已知平面向量a＝（1,2），b＝（－2，m），且a∥b，则2a＋3b等于________．

（－4，－8）　[∵a∥b，∴1×m－（－2）×2＝0，

∴m＝－4，∴a＝（1,2），b＝（－2，－4），

∴2a＋3b＝2（1,2）＋3（－2，－4）＝（－4，－8）．]

5．设O是坐标原点，＝（k,12），＝（4,5），＝（10，k），当k为何值时，A，B，C三点共线？

[解]　∵＝－＝（4－k，－7），

＝－＝（10－k，k－12），

又A，B，C三点共线，

∴由两向量平行的充要条件，得（4－k）（k－12）＋7（10－k）＝0，

解得k＝－2或k＝11.

即当k＝－2或k＝11时，A，B，C三点共线．

精美句子

1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

  2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

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3、大自然的语言丰富多彩：

从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

 4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。

鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。

矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。

蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。

航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。

5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。

 井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。

笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。

山中的石！

当你背靠群峰时，意志就坚了。

水中的萍！

当你随波逐流后，根基就没了。

空中的鸟！

当你展翅蓝天中，宇宙就大了。

空中的雁！

当你离开队伍时，危险就大了。

地下的煤！

你燃烧自己后，贡献就大了

6、朋友是什么？

朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。

朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。

7、一粒种子，可以无声无息地在泥土里腐烂掉，也可以长成参天的大树。

一块铀块，可以平庸无奇地在石头里沉睡下去，也可以产生惊天动地的力量。

一个人，可以碌碌无为地在世上厮混日子，也可以让生命发出耀眼的光芒。

 8、青春是一首歌，她拨动着我们年轻的心弦；青春是一团火，她点燃了我们沸腾的热血； 青春是一面旗帜，她召唤着我们勇敢前行；青春是一本教科书，她启迪着我们的智慧和心灵。