人教A版高中数学必修4刷题练习平面向量数量积的坐标表示.docx

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人教A版高中数学必修4刷题练习平面向量数量积的坐标表示

第25课时　平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

对应学生用书P71

知识点一

平面向量数量积的坐标表示

1．设a＝（1，－2），b＝（－3，4），c＝（3，2），则（a＋2b）·c＝（　　）

A．12B．0C．－3D．－11

答案　C

解析　∵a＝（1，－2），b＝（－3，4），c＝（3，2），∴a＋2b＝（－5，6），∴（a＋2b）·c＝（－5）×3＋6×2＝－3．

2．已知点A（－1，1），B（1，2），C（－2，－1），D（3，4），则向量在方向上的投影为（　　）

A．B．

C．－D．－

答案　A

解析　＝（2，1），＝（5，5），向量在方向上的投影为||cos〈，〉＝||＝＝＝．

知识点二

平面向量的模

3．平面向量a与b的夹角为60°，a＝（2，0），|b|＝1，则|a＋2b|＝（　　）

A．B．2C．4D．12

答案　B

解析　由a＝（2，0），得|a|＝2，又|b|＝1，所以a·b＝2×1×cos60°＝1，

故|a＋2b|＝＝2．

4．已知a，b为平面向量，且a＝（4，3），2a＋b＝（3，18），则a，b夹角的余弦值等于（　　）

A．B．－C．D．－

答案　C

解析　∵a＝（4，3），∴2a＝（8，6）．又2a＋b＝（3，18），∴b＝（－5，12），∴a·b＝－20＋36＝16．又|a|＝5，|b|＝13，∴cos〈a，b〉＝＝．

5．已知向量a＝（k，3），b＝（1，4），c＝（2，1），且（2a－3b）⊥c，则实数k的值为（　　）

A．－B．0C．3D．

答案　C

解析　∵2a－3b＝（2k－3，－6）．又（2a－3b）⊥c，∴（2a－3b）·c＝0，即（2k－3）×2＋（－6）＝0，解得k＝3．

6．已知|a|＝1，|b|＝，a＋b＝（，1），则|a－b|＝________．

答案　2

解析　|a－b|2＝（a－b）2＝a2－2a·b＋b2＝4－2a·b．

又因为a＋b＝（，1），

所以（a＋b）2＝4，即a＋2a·b＋b2＝4，

所以a·b＝0，

故|a－b|＝＝2．

7．已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝（1，2）．

（1）若|c|＝2，且c∥a，求c的坐标；

（2）若|b|＝，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ．

解　

（1）设c＝（x，y），∵|c|＝2，

∴＝2，∴x2＋y2＝20．

由c∥a和|c|＝2，

可得解得或

故c＝（2，4）或c＝（－2，－4）．

（2）∵（a＋2b）⊥（2a－b），∴（a＋2b）·（2a－b）＝0，

即2a2＋3a·b－2b2＝0，

∴2×5＋3a·b－2×＝0，整理得a·b＝－，

∴cosθ＝＝－1．

又θ∈[0，π]，∴θ＝π．

知识点三

数量积的应用

8．已知向量＝（2，2），＝（4，1），在x轴上有一点P，使·有最小值，则点P的坐标是（　　）

A．（－3，0）B．（2，0）C．（3，0）D．（4，0）

答案　C

解析　设点P（x，0），则＝（x－2，－2），＝（x－4，－1），

∴·＝（x－2）（x－4）＋2＝x2－6x＋10＝（x－3）2＋1，

故当x＝3时，·最小，此时点P的坐标为（3，0）．

9．已知在平行四边形ABCD中，＝（1，2），＝（－3，2），则·＝________．

答案　3

解析　设AC，BD相交于点O，则＝＋＝＋＝，1＋－，1＝（－1，2）．又＝（1，2），所以·＝（－1，2）·（1，2）＝－1＋4＝3．

10．如图，已知点A（1，1）和单位圆上半部分上的动点B，若⊥，则向量的坐标为________．

答案　－，

解析　依题意设B（cosθ，sinθ），0≤θ≤π，则＝（cosθ，sinθ），＝（1，1）．因为⊥，所以·＝0，即cosθ＋sinθ＝0，解得θ＝．所以＝－，．

11．若等边△ABC的边长为2，平面内一点M满足＝＋，则·＝________．

答案　－2

解析　建立如图所示的直角坐标系，

根据题设条件即可知A（0，3），B（－，0），M（0，2），

∴＝（0，1），＝（－，－2），

∴·＝－2．

对应学生用书P71

一、选择题

1．已知向量a＝（4，－3），b＝（1，2），则向量b在a方向上的投影为（　　）

A．B．C．－D．－

答案　D

解析　向量b在a方向上的投影为＝－．故选D．

2．已知向量a＝（sinθ，2），b＝（1，cosθ），且a⊥b，其中θ∈，则sinθ－cosθ等于（　　）

A．B．C．D．

答案　D

解析　依题意，a·b＝0，即sinθ＋2cosθ＝0．又∵sin2θ＋cos2θ＝1，且θ∈，∴cosθ＝－，∴sinθ＝，sinθ－cosθ＝．

3．如图，在等腰直角三角形AOB中，设＝a，＝b，OA＝OB＝1，C为AB上靠近点A的四等分点，过C作AB的垂线l，设P为垂线上任意一点，＝p，则p·（b－a）＝（　　）

A．－B．

C．－D．

答案　A

解析　因为在等腰直角三角形AOB中，＝a，＝b，OA＝OB＝1，所以|a|＝|b|＝1，a·b＝0．

由题意，可设＝－（b－a）＋λ·（b＋a），λ∈R，

所以p·（b－a）

＝－（b－a）·（b－a）＋（b＋a）·（b－a）

＝－（b－a）2＋（|b|2－|a|2）

＝－（|a|2＋|b|2－2a·b）

＝－（1＋1－0）

＝－．

4．已知向量a＝（1，1），b＝（1，m），其中m为实数，O为坐标原点，当两向量夹角在变动时，m的取值范围是（　　）

A．（0，1）B．

C．∪（1，）D．（1，）

答案　C

解析　设向量a，b的起点均为O，终点分别为A，B．已知＝（1，1），即A（1，1），如图所示，当点B位于B1或B2时，a与b的夹角为，即∠AOB1＝∠AOB2＝，此时，∠B1Ox＝－＝，∠B2Ox＝＋＝，故B1，B2（1，）．又a与b的夹角不为零，故m≠1，由图易知m的取值范围是，1∪（1，）．

5．已知向量a＝（2cosθ，2sinθ），b＝（0，－2），θ∈，则向量a，b的夹角为（　　）

A．－θB．θ－

C．θ＋D．θ

答案　A

解析　解法一：

由三角函数定义知a的起点在原点时，终点落在圆x2＋y2＝4位于第二象限的部分上，设其终点为P，则∠xOP＝θ，∴a与b的夹角为－θ．

解法二：

cos〈a，b〉＝＝

＝－sinθ＝cos，

∵θ∈，∴－θ∈．

又∵〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉＝－θ．

二、填空题

6．已知平面向量a＝（1，2），b＝（4，2），c＝ma＋b（m∈R），且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝________．

答案　2

解析　c＝（m＋4，2m＋2），|a|＝，|b|＝2，

设c，a的夹角为α，c，b的夹角为θ，

又因为cosα＝，cosθ＝，

由题意知＝，即＝，解得m＝2．

7．已知向量＝（1，7），＝（5，1）（O为坐标原点），设M是直线y＝x上的一点，那么·的最小值是________．

答案　－8

解析　设M，则＝，＝，·＝（1－x）（5－x）＋＝（x－4）2－8．当x＝4时，

·取得最小值－8．

8．在直角三角形ABC中，已知＝（2，3），＝（1，k），则k的值为________．

答案　－或或

解析　①当∠A＝90°时，⊥，

∴·＝2×1＋3k＝0，解得k＝－．

②当∠B＝90°时，⊥，∵＝－＝（1，k）－（2，3）＝（－1，k－3），

∴·＝2×（－1）＋3×（k－3）＝0，解得k＝．

③当∠C＝90°时，⊥，∴1×（－1）＋k（k－3）＝0，即k2－3k－1＝0，解得k＝．

三、解答题

9．已知a＝（1，0），b＝（0，1），当k为整数时，向量m＝ka＋b与n＝a＋kb的夹角能否为60°？

证明你的结论．

证明　假设m，n的夹角能为60°，则cos60°＝．

∴m·n＝|m||n|．①

又∵a＝（1，0），b＝（0，1），

∴|a|＝|b|＝1，且a·b＝0．

∴m·n＝ka2＋a·b＋k2a·b＋kb2＝2k，②

|m||n|＝·＝k2＋1．③

由①②③，得2k＝（k2＋1）．∴k2－4k＋1＝0．

∵该方程无整数解．

∴m，n的夹角不能为60°．

10．已知函数f（x）＝m|x－1|（m∈R且m≠0），设向量a＝（1，2cos2θ－1），b＝（2，1），c＝（4sinθ，1），d＝sinθ，1，当θ∈0，时，比较f（a·b）与f（c·d）的大小．

解　a·b＝1＋2cos2θ，c·d＝2sin2θ＋1，

f（a·b）＝2mcos2θ，f（c·d）＝2msin2θ，

于是有f（a·b）－f（c·d）＝2m（cos2θ－sin2θ）＝2m（cosθ＋sinθ）（cosθ－sinθ）．

∵θ∈0，，

∴sinθ>0，cosθ>0，且cosθ>>sinθ，

∴当m>0时，f（a·b）>f（c·d）．

当m<0时，f（a·b）